Esercizi risolti di fluidodinamica parte prima

CS

della paratoia. Trascurare il peso della paratoia

e l'attrito nella cerniera. F

y 1

Fig. P2.80

Risoluzione

d = 2 m , h = 10 m , α = 30°

L'asse y ha origine nella cerniera.

Nello svolgimento dell'esercizio si considerano le pressioni relative (p = 0 Pa).

atm 3

Dall'appendice A del libro si legge che per l'acqua marina γ = 10,1 kN/m

In blu è stato disegnato il solido delle pressioni, il quale ha una forma trapezoidale; b indica la base

minore del trapezio e B indica invece la base maggiore.

F è applicata al centro di spinta, che coincide con il baricentro del solido delle pressioni, cioè col

baricentro del trapezio blu;

F invece è applicata al baricentro della paratoia circolare, cioè al centro di essa.

1

y → coordinata del baricentro della paratoia circolare

G

y → coordinata del centro di spinta

CS

G si trova alla distanza d/2 dall'origine dell'asse y, quindi y = d/2 = 2 m / 2 = 1 m

G h 2b + B

Per un trapezio generico si sa che il baricentro si trova alla distanza di · dalla sua

3 b + B

base maggiore (con h si intende l'altezza di un generico trapezio, mentre b è la base minore e B la

base maggiore). (Dopo la risoluzione di questo esercizio è riportata la dimostrazione della formula

del baricentro di un trapezio)

Quindi nel trapezio che si sta analizzando in questo esercizio, essendo l'asse y diretto verso il basso,

si ha: d 2b + B

y = d - ·

CS 3 b + B

Essendo un solido delle pressioni i valori di b e B saranno in Pa;

b = γ · h

B = γ · (h + d · sin α)

Quindi: d 2b + B d 2 · γ · h + γ · (h + d · sin α)

y = d - · = d - · =

CS 3 b + B 3 γ · h + γ · (h + d · sin α)

d 2h + h + d · sin α d 3h + d · sin α

= d - · = d - · =

3 h + h + d · sin α 3 2h + d · sin α

2 m 3 · 10 m + 2 m · sin 30°

= 2 m - · = 1,02 m

3 2 · 10 m + 2 m · sin 30°

Mediante un'equazione di equilibrio dei momenti delle forze attorno alla cerniera:

F · y - F · y = 0

1 G CS Ricordare che p = F / A

p · A · y - p · A · y = 0 (A è l'area della paratoia) (pressione = forza / area)

1 G CS

p · y - p · y = 0 → p = p · y / y

1 G CS 1 CS G

Scrivendo p si intende la pressione nel baricentro della paratoia dal lato esterno:

d

p = γ · h + · sin α

2 d y CS

Quindi: p = p · y / y = γ · h + · sin α · =

1 CS G 2 y G

2 m 1,02 m

3 3

= 10,1 · 10 N/m · 10 m + · sin 30° · = 108 kPa

2 1 m

Il documento sopra è stato scaricato gratuitamente online dal sito internet di Zanichelli.

Capitolo 2, esercizio 2.82

Una grande parete verticale separa l'acqua di mare dall'acqua dolce. Sapendo che l'acqua di mare

arriva ad un'altezza pari a 7 metri rispetto alla base della parete, determinare l'altezza dell'acqua

dolce affinché la forza risultante sulla parete sia nulla. In queste condizioni, è nullo anche il

momento dovuto alle spinte esercitate dai due fluidi? Motivare la risposta.

Risoluzione

h = 7 m

M y θ

Dall'appendice A del libro si legge:

3 3

γ = 10,1 · 10 N/m ,

M θ

3 3

γ = 9,80 · 10 N/m

D

θ = 90°

F → spinta dell'acqua di mare (verso sinistra)

M

F → spinta dell'acqua dolce (verso destra) x

D

F = ∫ γ · y · sin θ dA =

M M M

A Con L si indica la

M larghezza della parete

h L h L

M M

= ∫ ∫ γ · y · sin θ dx dy = ∫ γ · y · sin θ · ∫ dx dy =

M M

0

0 0 0

h h

M M

= ∫ γ · y · sin θ · L dy = γ · sin θ · L · ∫ y dy =

M M

0 0

M2

γ · sin θ · L · h

M

h

2

= γ · sin θ · L · [y /2] =

M

M 0 2 D2

γ · sin θ · L · h

D

L

h

M

F = ∫ γ · y · sin θ dA = ∫ ∫ γ · y · sin θ dx dy =

D D D D

0 0

A 2

D

Si scrive un'equazione di equilibrio delle forze orizzontali:

F = F

M D M2 D2

γ · sin θ · L · h γ · sin θ · L · h

M D

=

2 2

M2 D2 D2 M2

γ · h = γ · h → h = h · γ / γ

M D M D

M2 3 3 3 3

h = ± √ h · γ / γ = ± h · √ γ / γ = ± 7 m · √ 10,1 · 10 N/m / (9,80 · 10 N/m ) =

D M D M M D

7,11 m

= - 7,11 m → questa soluzione ovviamente non è fisicamente accettabile

h = 7,11 m

D

Per dire se è nullo il momento dovuto alle due spinte è necessario calcolare la posizione dei

rispettivi centri di spinta.

Come si è discusso nella risoluzione dell'esercizio 2.80, le forze sono applicate nei rispettivi centri

di spinta; l'altezza del centro di spinta dal terreno corrisponde all'altezza del baricentro del solido

delle pressioni (nel nostro caso sono due triangoli). (Nella risoluzione dell'esercizio è stata

considerata p = 0 Pa, però se si fosse deciso di svolgere i calcoli considerando p = 101 kPa i

atm atm

solidi delle pressioni sarebbero stati due trapezi)

Per un triangolo il baricentro si trova a h / 3 dalla base (con h si indica l'altezza); quindi:

y = h / 3 = 7 m / 3 = 2,33 m

M M

y = h / 3 = 7,11 m / 3 = 2,37 m

D D

La parete non è piantata nel terreno, quindi essendo

le due forze una verso sinistra e l'altra verso destra e

dato che y ≠ y il momento risultante sarà diverso

M D

da zero. CS D CS D

Capitolo 2, esercizio 2.86

Una paratoia rettangolare alta 1,8 m e larga 1,5 m,

posizionata sulla parete laterale di un serbatoio

aperto è tenuta in equilibrio dalla forza F come

indicato in Fig. P2.86. Il peso della paratoia è

trascurabile e la cerniera è priva d'attrito. (a)

Determinare l'altezza h dell'acqua sapendo che la

linea d'azione della forza F si trova a 0,8 m dal

fondo del serbatoio. (b) Per il valore di altezza = h'

trovato al punto (a), determinare il modulo della F

spinta idrostatica. (c) Determinare la reazione P

d =

vincolare della cerniera in quest'ultima condizione.

larghezza y

Risoluzione della paratoia Fig. P.2.86

d = 0,8 m , h' = 1,8 m , L = 1,5 m 3 3

Dall'appendice A del libro: γ = 9,80 · 10 N/m

Nei calcoli si considera p = 0 Pa.

atm h'

h' L

F = ∫ ∫ γ · (y + h - h') · sin 90° dx dy = ∫ L · γ · (y + h - h') dy =

P 0 0 0

h' h' 2

= L · γ · [ ∫ y dy + (h - h') · ∫ dy ] = L · γ · [h' / 2 + (h - h') · h'] =

0 0

2 2 2

= L · γ · [h' / 2 + h · h' - h' ] = L · γ · (h · h' - h' / 2) h'

h' L

M = F · y = ∫ ∫ γ · (y + h - h') · sin 90° · y dx dy = ∫ L · γ · (y + h - h') · y dy =

P P P 0

0 0 h'

h' 2 3 2

= L · γ · [ ∫ y dy + (h - h') · ∫ y dy ] = L · γ · [h' / 3 + (h - h') · h' / 2] =

0

0

3 2 3 2 3

= L · γ · [h' / 3 + h · h' / 2 - h' / 2] = L · γ · (h · h' / 2 - h' / 6)

Adesso si scrive un'equazione di equilibrio dei momenti delle forze:

F · (h' - d) = M P

Però da un'equazione di equilibrio orizzontale si ricava che F = F , quindi l'equazione di equilibrio

P

dei momenti diventa:

F · (h' - d) = M → F · (h' - d) = M

P P P

2 2 3

L · γ · (h · h' - h' / 2) · (h' - d) = L · γ · (h · h' / 2 - h' / 6)

2 2 3

(h · h' - h' / 2) · (h' - d) = (h · h' / 2 - h' / 6) 2

h' · (h - h' / 2) · (h' - d) = h' · (h · h' / 2 - h' / 6)

2

(h - h' / 2) · (h' - d) = (h · h' / 2 - h' / 6)

2 2

h · h' - h · d - h' / 2 + h' · d / 2 = h · h' / 2 - h' / 6

2 2

h · h' - h · d - h · h' / 2 = h' / 2 - h' · d / 2 - h' / 6

2 2

6h · h' - 6h · d - 3h · h' = 3h' - 3h' · d - h'

2 2

h · (6h' - 6d - 3h') = 3h' - 3h' · d - h'

2 2 2

3h' - 3h' · d - h' 2h' - 3h' · d 2h' - 3d

h = = = h' · =

6h' - 6d - 3h' 3h' - 6d 3h' - 6d

2 · 1,8 m - 3 · 0,8 m

= 1,8 m · = 3,6 m

3 · 1,8 m - 6 · 0,8 m

Ora che si conosce il valore di h si può calcolare il valore di F :

P

2 3 3 2

F = L · γ · (h · h' - h' / 2) = 1,5 m · 9,80 · 10 N/m · [3,6 m · 1,8 m - (1,8 m) / 2] =

P M

= 71,4 kN

Le forze F e F generano momenti sulla cerniera; poiché si suppone che la massa della cerniera sia

P

nulla, non essendoci nè forze verticali nè forze orizzontali applicate alla cerniera, la reazione

vincolare di essa è nulla.

Capitolo 2, esercizio 2.96

Un serbatoio aperto è suddiviso in due

scomparti mediante una superficie verticale;

quello di destra contiene benzina di densità ρ

3

= 700 kg/m fino ad un'altezza di 4 m rispetto

alla base (Fig. P2.96). I due scomparti sono

divisi da una paratoia alta 4 m e larga 2 m,

libera di ruotare intorno alla cerniera sul lato

inferiore e mantenuta in equilibrio

dall'appoggio in corrispondenza di quello

superiore. Nello scomparto di sinistra viene

versata lentamente dell'acqua: qual è il

minimo livello h che causa l'apertura della Fig. P2.96

paratoia?

R