Esercizi risolti fluidodinamica parte seconda

D

V = · V → da quest'espressione si vede che il valore di V dipende da V ,

2 1 2 1

22

D D e D , quindi la velocità V NON è una variabile

1 2 2

INDIPENDENTE; per questo motivo non è corretto

aggiungere V tra le variabili di interesse del problema.

2

Capitolo 7, esercizio 7.13

L'azione di trascinamento ₯ esercitata su una rondella posizionata in direzione normale ad una

corrente può essere espressa come: ₯ = f ( d , d , V , μ , ρ )

1 2

dove d è il diametro esterno, d il diametro interno, V la velocità della corrente, μ la viscosità del

1 2

fluido e ρ la sua densità. Si vogliono progettare delle prove sperimentali in galleria del vento per

determinare l'azione di trascinamento ₯ . Proporre una scelta adeguata dei parametri

adimensionali da utilizzare per organizzare i risultati dei test.

Risoluzione

Il testo del problema dice che ₯ è funzione di d , d , V, μ e ρ :

1 2

₯ = f ( d , d , V , μ , ρ )

è una forza 1 2

Le variabili indipendenti del problema sono: ₯ , d , d , V , μ , ρ → 6 variabili

1 2

Si esprimono ora le variabili secondo le grandezze fondamentali: M è la massa, L è la lunghezza,

T è il tempo

· - 2

₯ = M · L · T Per esprimere le variabili secondo le

·

d = L grandezze fondamentali si guarda l'unità di

1 misura: es. pressione → N / m =

2

·

d = L = (kg · m/s ) / m = kg · m · s

2 2 -1 -2

2 → M · L · T

-1 -2

· - 1

V = L · T 2

M · L/T · T

· - 1 - 1

μ = = M · L · T

2

L

· - 3

ρ = M · L

Le grandezze fondamentali sono: M , L , T → 3 grandezze fondamentali

Numero di gruppi adimensionali = variabili - grandezze fondamentali = 6 - 3 = 3

Quindi si devono trovare 3 gruppi Π. Le variabili ripetute sono 3

poiché le grandezze fondamentali

Come variabili ripetute si sono scelte: d , V e ρ .

1 sono 3

Ogni gruppo Π consiste in una variabile che non fa parte della terna di riferimento moltiplicata per

la terna di riferimento elevata a degli esponenti incogniti.

1a b c

Π = ₯ · d · V · ρ

1

Per trovare il valore degli esponenti, si sostituiscono alle variabili le rispettive grandezze

0 0 0

fondamentali e poi si eguaglia tutto a 1 (scritto così: M · L · T ) perché gli esponenti incogniti

devono essere tali da rendere il gruppo adimensionale:

- 2 a - 1 b - 3 c 0 0 0

(M · L · T ) · (L) · (L · T ) · (M · L ) = M · L · T

- 2 a b - b c - 3c 0 0 0

M · L · T · L · L · T · M · L = M · L · T

1 + c 1 + a + b - 3c - 2 - b 0 0 0

M · L · T = M · L · T

1 + c = 0 c = - 1

1 + a + b - 3c = 0 → 1 + a + (- 2) - 3(- 1) = 0

- 2 - b = 0 b = - 2

c = - 1 c = - 1

1 + a - 2 + 3 = 0 → a = - 2

b = - 2 b = - 2

₯

1- 2 - 2 - 1

Π = ₯ · d · V · ρ =

1 12 2

d · V · ρ

Ora si passa al secondo gruppo Π:

1d e f

Π = d · d · V · ρ

2 2

d - 1 e - 3 f 0 0 0

(L) · (L) · (L · T ) · (M · L ) = M · L · T

d e - e f - 3f 0 0 0

L · L · L · T · M · L = M · L · T

f 1 + d + e - 3f - e 0 0 0

M · L · T = M · L · T

f = 0 f = 0

1 + d + e - 3f = 0 → d = - 1

- e = 0 e = 0

d 2

1- 1 0 0

Π = d · d · V · ρ =

2 2 d 1

Adesso resta da calcolare l'ultimo gruppo Π:

1g h i

Π = μ · D · V · ρ

3 - 1 - 1 g - 1 h - 3 i 0 0 0

(M · L · T ) · (L) · (L · T ) · (M · L ) = M · L · T

- 1 - 1 g h - h i - 3i 0 0 0

M · L · T · L · L · T · M · L = M · L · T

1 + i - 1 + g + h - 3i - 1 - h 0 0 0

M · L · T = M · L · T

1 + i = 0 i = - 1

- 1 + g + h - 3i = 0 → - 1 + g + (- 1) - 3(- 1) = 0

- 1 - h = 0 h = - 1

i = - 1 i = - 1

- 1 + g - 1 + 3 = 0 → g = - 1

h = - 1 h = - 1

μ

1- 1 - 1 - 1

Π = μ · d · V · ρ =

3 d · V · ρ

1

Si può infine scrivere che il gruppo Π è una funzione degli altri gruppi adimensionali Π e Π :

1 2 3

Π = ϕ ( Π , Π )

1 2 3

cioè ₯ d μ

2

= ϕ ,

12 2

d · V · ρ d d · V · ρ

1 1

Capitolo 7, esercizio 7.14

Si assuma che la portata Q di un gas in uscita da una ciminiera sia funzione della densità dell'aria

esterna ρ , della densità del gas all'interno della ciminiera ρ , dell'accelerazione di gravità g ,

a g

dell'altezza h e del diametro d della ciminiera. Determinare un insieme opportuno di gruppi Π,

utilizzando ρ , d e g come variabili di riferimento.

a

Risoluzione

Il testo del problema dice che Q è funzione di ρ , ρ , g , h e d :

a g

Q = f ( ρ , ρ , g , h , d )

a g

Le variabili indipendenti del problema sono: Q , ρ , ρ , g , h , d → 6 variabili

a g

Si esprimono ora le variabili secondo le grandezze fondamentali: M è la massa, L è la lunghezza,

T è il tempo

· 3 - 1

Q = L · T Per esprimere le variabili

· secondo le grandezze

- 3

ρ = M · L

a fondamentali si guarda l'unità di

misura: es. pressione →

· - 3

ρ = M · L

g N / m = (kg · m/s ) / m =

2 2 2

= kg · m · s →

-1 -2

· - 2

g = L · T M · L · T

-1 -2

·

h = L

·

d = L

Le grandezze fondamentali sono: M , L , T → 3 grandezze fondamentali

Numero di gruppi adimensionali = variabili - grandezze fondamentali = 6 - 3 = 3

Quindi si devono trovare 3 gruppi Π. Le variabili di ripetute

sono 3 perché le grandezze

Il problema dice di prendere come variabili ripetute: ρ , d e g . fondamentali sono 3

a

Ogni gruppo Π consiste in una variabile che non fa parte della terna di riferimento moltiplicata per

la terna di riferimento elevata a degli esponenti incogniti.

aa b c

Π = Q · ρ · d · g

1

Per trovare il valore degli esponenti, si sostituiscono alle variabili le rispettive grandezze

0 0 0

fondamentali e poi si eguaglia tutto a 1 (scritto così: M · L · T ) perché gli esponenti incogniti

devono essere tali da rendere il gruppo adimensionale:

3 - 1 - 3 a b - 2 c 0 0 0

(L · T ) · (M · L ) · (L) · (L · T ) = M · L · T

3 - 1 a - 3a b c - 2c 0 0 0

L · T · M · L · L · L · T = M · L · T

a 3 - 3a + b + c - 1 - 2c 0 0 0

M · L · T = M · L · T

a = 0 a = 0 1

3 - 3a + b + c = 0 → 3 - 3 · 0 + b + - = 0

2

- 1 - 2c = 0 1

c = - 2

a = 0 5

b = - 2

1

c = - 2 Q

0 - 5/2 - 1/2

Π = Q · ρ · d · g =

1 a 5/2 1/2

d · g

Ora si passa al secondo gruppo Π:

ad e f

Π = ρ · ρ · d · g

2 g

- 3 - 3 d e - 2 f 0 0 0

(M · L ) · (M · L ) · (L) · (L · T ) = M · L · T

- 3 d - 3d e f - 2f 0 0 0

M · L · M · L · L · L · T = M · L · T

1 + d - 3 - 3d + e + f - 2f 0 0 0

M · L · T = M · L · T

1 + d = 0 d = - 1

- 3 - 3d + e + f = 0 → - 3 - 3 · (- 1) + e + 0 = 0

- 2f = 0 f = 0

d = - 1

e = 0

f = 0 ρ g

a- 1 0 0

Π = ρ · ρ · d · g =

2 g ρ a

Adesso resta da calcolare l'ultimo gruppo Π:

ag h i

Π = h · ρ · d · g

3 - 3 g h - 2 i 0 0 0

(L) · (M · L ) · (L) · (L · T ) = M · L · T

g - 3g h i - 2 i 0 0 0

L · M · L · L · L · T = M · L · T ATTENZIONE a non confondere il

g esponente calcolato con il sistema

g 1 - 3g + h + i - 2i 0 0 0

M · L · T = M · L · T con la g accelerazione di gravità

che è una variabile

g = 0 g = 0

1 - 3g + h + i = 0 → h = - 1

- 2i = 0 i = 0

h

a0 - 1 0

Π = h · ρ · d · g =

3 d

Si può infine scrivere che il gruppo Π è una funzione degli altri gruppi adimensionali Π e Π :

1 2 3

Π = ϕ ( Π , Π )

1 2 3

cioè Q ρ h

g

= ϕ ,

5/2 1/2

d · g ρ d

a

Capitolo 7, esercizio 7.15

La prevalenza manometrica Δp prodotta da una pompa può essere espressa come:

Δp = f ( D , ρ , ω , Q )

dove D è il diametro della girante, ρ la densità del fluido, ω la velocità di rotazione angolare della

girante e Q la portata pompata. Determinare un insieme opportuno di gruppi adimensionali per lo

studio di questo problema.

Risoluzione

Il testo del problema dice che Δp è funzione di D, ρ, ω e Q :

Δp = f ( D , ρ , ω , Q )

Le variabili indipendenti del problema sono: Δp , D , ρ , ω , Q → 5 variabili

Si esprimono ora le variabili secondo le grandezze fondamentali: M è la massa, L è la lunghezza,

T è il tempo

2

M · L/T

· - 1 - 2

Δp = = M · L · T Per esprimere le variabili

2

L secondo le grandezze

fondamentali si guarda l'unità di

·

D = L misura: es. pressione →

N / m = (kg · m/s ) / m =

2 2 2

· - 3

ρ = M · L = kg · m · s →

-1 -2

M · L · T

-1 -2

· - 1

ω = T 2

L · L

· 3 - 1

Q = = L · T

T

Le grandezze fondamentali sono: M , L , T → 3 grandezze fondamentali

Numero di gruppi adimensionali = variabili - grandezze fondamentali = 5 - 3 = 2

Quindi si devono trovare 2 gruppi Π.

Poiché le grandezze fondamentali sono 3, bisogna scegliere 3 variabili ripetute; in questo c