Geometria e Algebra Lineare - Esercizi Risolti

GEOMETRIA

ESERCIZI

COLOREASSORTITO

Metodo di eliminazione di Gauss

"Mosse di Gauss"

• A = 100 101 102 25 26 27 150 151 152

• A_2 = A_2 - A_1

• A^1 = 100 101 102 25 25 25 50 50 50

• A_3 = A_3 - 2A_2

• A^2 = 100 101 102 25 25 25 0 0 0

• det(A) = det(A') = 0

3 mosse

1. scambiare 2 righe/col (det cambia segno)
2. moltiplicare una riga/col per un numero ≠ 0
3. sommar e/sottrarre un multiplo di una r(l)/c(k) ad altri

Det(A') = k det(A)

Det(A") _avanzate: = Det(A") ^{qui si trovano indicati con S il nomer di cambi mentre detA'} =c det(A)

Det(A) = e ^k det(A')

Matrici elementare: 1/k Matrice Fiomo

k scambi passaggi per cicli prodotto delle costanti moltiplicative per colonne/righe

m=3

M=3

(3X + 2Y - 5Z = 5

X - Y + 7Z = 7

5X + Y - 8Z = 4

A =

• 3 2 -5
• 1 -1 7
• 5 1 -8

A~ =

• 3 2 -5
• 1 -1 7
• 5 1 -8
• 0 0 0

KA3 → A3 =

A1 =

• 0
• -5 -5
• 0 4 -29

A1A3 = ...

• ...

A2 =

• 0
• -1 9
• 0 5 -1

rg(A) = X pivoti = 3

A1A3 =

• -5 19
• 5 -19 49

rg(A1) =

rg(A) = rg(A~) = 3

3 ≠ 3

Sistema compatibile

P = M = 3

SISTEMA NORMALE ammette una ed una

sola con il regola di CRAMER

• 3 2 5 5 li
• 5 -1
• 9
• 40 -10
• 9 40
• 3 19
• 5 2 -1

x=y=z=1

-8

1 10

A2 3 0 -2

-73

c =

• 5 5
• 5 =
• 5 5 10

• A3 = 3A3 = SA1 3
• 5 367
• -49
• 49 40
• 0 -38
• -19

X(1) = ...

• (-9 -19
• -(390 - 729)

X =

• x
• -x
• z

= 2 2 1

x + 2y + t = 2

x + 2y + t = 3

x + 2y - t = 2

(a - 2) (a - 1)

PM - SISM NORMALE

sist. compatibile

det(A) = 8

Esercizio:

sistemi non omogenei al variare del parametro

(a - 2)(a)

A²

A - I

X = λ

I = (a - 2) (a - 1)

0x1

P = 2 m = 3

-(x - 3)

A = 0

m(A)=2

P = 2

sist. compatibile

(k=3)

X =

x + y = 1 - 2

2x + y = 2 - 3

-1 - 2 + 3λ = -1 - 2λ

y =

Z =

(0, -1)

(k = 3)

X = (1 - 2λ)

∀λ∈ℝ

CASO λ=1

2x+y+z=4 x+y+2z=3 2x+3y+z=2

A=(1 0 2 | 4) (0 1 2 | 3) (2 0 1 | 2)

A⁽²⁾ =(1 0 2) (0 1 2) (2 0 1)

A⁽³⁾ =(1 0 0) (0 1 -2) (0 0 1)

R⁴=A^{(1)-1A=A(1)-1}

x_d=0.5b+v₁

• y∈ℝ
• z∈ℝ

X=(y-d-b/2 0 d)∀ y, d, β ∈ ℝ

λ=-1

X

A=(2 4 1 | 0) (2 3 2 | 0) (2 1 5 | 3)

X=(2d-3/3 3-n/3-1d)∀ d ∈ ℝ

Applicazioni lineari

f: R² → R²

f((x, y)) = (x+y, 2y) ∀ (x, y) ∈ R²

Verifichiamo che f è lineare

1. f(x+y) = f((x, y)) + f((x', y')) = f((x + x', y + y')) = (x+x'+y+y', 2y+2y') = (x, y) + (x', y')
2. f(λ(x,y)) = λf(x,y) = f((λx, λy)) = λ(x+y, 2y) = λf((x,y))

Esempio f₁ non è un' applicazione lineare:

f: R³ → R²

f((x,y,z)) = (x+y+1, z)

f((x,y,z) + (x',y',z')) = f((x+x', y+y', z+z')) = (x+x'+y+y'+1, z+z')

f((x,y,z)) + f((x',y',z')) = (x+y+1, z) + (x'+y'+1, z') = (x+x'+y+y'+2, z+z')

Sia A =

• B =
• C =
• D =
• E =
• F =

Autovalori di A: λ₀ = 0 — μ₀ = 1

λ₁ = 2 — μ₁ = 2

B_v = λ₀ = 0 - v₀ = 1

B_v = λ₁ = 2 - v₁ = 2

Autovalori ripetuti. B diagonale.

B è simile ad A

C = λ₀ = 0 — μ₀ = 1

λ₁ = 2 — μ₁ = 2

diag.onale, autovalori diversi da A

P P^-1 CP = C A

C non è simile ad A

D = λ₀ = 0 — μ₀ = 2

λ₁ = 2 — μ₁ = 4

D non simile ad A

E = λ₀ = 0 — μ₀ = 2

λ₁ = 2 — μ₁ = 2

P = P^-1 EP = A

E è simile ad A

E

No autovalori diversi da A

1) sistema del piano π della retta l.

l: x-2y+z=1 h: x-2y+z=0

K=

l} x-2y+z-1=0 h} x-2y+z=0

x=2-2/3

la retta k è perpendicolare a π e passate per l'origine.

d(t,π,o) = d(a,o) =

Q(x) = x^TAx x∈ R³

3)

A = (√3 0)

( 0 1)

λ = -2

B_V1 = (√3 1 0)

B_V2 = (-√3 0 1)

λ =1

lä=2 μ=2 μ=1

μ=1

4) autovaloridi A

(-√3 0 0)

(-1 -3) (-√1) (√1) (σ-1)

X∈ R³ | x-√3y=0 | z=0

B_V2= (-√3)

09/07/13

1D B ℓ_n, ℓ₂, ℓ₃

L: ℝ³ ⟹ ℝ⁴

L (ℓ_n + 2ℓ₂) = ¹/₃/

L (ℓ₃) = ³/₃/

L (ℓ₂) = ⁶/

L (ℓ_q) = ⁴/ - L (ℓ_n + ℓ₂)

L (ℓ_q) = ¹/

rg A = 3

a)

• A:

b) Dim Lm = zg(A) = 3

= dim Ker L

Dim N = 2

Im L

L (2)

(6 — 36-60)

1

Rg = 1

)