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Simulazione del 16/12/2021
Esercizio n.1. Date X e Y distribuzioni congiunte
X\Y 0 1 P[X=x] 0 a b 1/2 1 1/2 - a 1/2 - b 1/2 P[Y=y] 1/2 1/2 1a) Completare la tab. determinando quali sono i valori di a ammissibili (tabella deve essere una distrib. di prob.).
- 2/6 = 1/3
- c = 1/2 - b
- b = 1/2
- a = 1/2 -> a ∈ [0, 1/2]
b) Determinare per quali a le variabili X e Y sono indipendenti.
Indipendenza per: FXY(x,y) = FX(x) ⋅ FY(y)
Quattro es. facili la prima: FXY(0,0) = FX(0) ⋅ FY(0) = 1/2 ⋅ 1/2 = pa
verificata per a=1/4 vale anche per le altre.
FXY(0,1) = FX(0) ⋅ FY(1) = 1/2 ⋅ 1/2 = 1/2 - a - b = 1/4 = 1/2 - a => a=1/4.
c) Per a=1/3 calcolare E[Y|X=1] condizionata da X=1.
E[Y|X=1] = 0 ⋅ P[Y=0|X=1] + 1 ⋅ P[Y=1|X=1] = 1 ⋅ P[Y=1|X=1] / P[X=1] = 2/3 / 2/3
Valgono i cos' che in alto la prob. condizionata.
d) Per α= 1⁄3 calcolare speranza di ln (X+1) ⁄ 1+Y2 :
E [ln (X+1) ⁄ 1 + Y2 ] = ∑k E [X | yk] P [Y = yk ]
= ∑x=0,1 ln (x+1) ⁄ 1 + y2 | P[X = x, Y = yj] =
= ln(2) ⁄ 1 | P[X = 1, Y = 0] + ln (2) ⁄ 2 | P[X = 1, Y = 1] =
= ln(2) ⁄ 6 + ln(2) ⁄ 3 = ln(2) ⁄ 3 :
e) Per α = 1⁄3 calcolare il coeff di correlazione di X e Y :
Sx,y = COV[X,Y] ⁄ √VAR[X].VAR[Y]
= COV[X,Y] ⁄ σx . σy
COV[X,Y] = E[XY] – E[X] .E[Y]
E[X] = 1⁄2 e E[Y] = 1⁄2
- E[X,Y]= 1⁄3 -> COV[X,Y] = 1⁄3 - 1⁄4 = 1⁄12.
VAR[X] = E[X2] - E[X]2 = 12. 1⁄2 – (1-. 1⁄2 )2 = 1⁄2 - 1⁄4 = 1⁄4.
VAR[Y] = E[Y2] – E[Y]2 = 1⁄4.
Sxy = COV[XY] ⁄√VAR[X]. VAR[Y]3 =
1⁄12 ⁄√1⁄4 . 1⁄4
= 1⁄12 ⁄√1⁄16 = 1⁄22 = 4⁄12 ⁄1⁄4 = 1⁄3.
d) Sapendo che sono uscite 2T, probabilità che moneta sia truccata?
IP[Truccata | 2 T su 4 lanci] =
b) Sapendo che la moneta è equilibrata, qual'è la prob. di ottenere la IIa testa al IVo lancio?
p = 1⁄2
n = 4
k = mo occur.
Formula binom:
P[Tk=n] = ( n-1⁄k-1) pk (1-p)n-k
= ( 4-1⁄2-1) P2 (1 - 1⁄2)2 = 0,1875 → 19%
Esercizio 2.2.2
F(x) =
- 0 x < 0
- 1/2 0 < x < 1
- 1/2 x < 2
- 2/3 x < 3
- 1 x ≥ 3
1) Quanto vale P[X > 1/2]?
P[X > 1/2] = 1 - P[X ≤ 1/2] = 1 - F(1/2) = 1/2
2) P[2 < X < 4] = F(4) - F(2) = 1 - 11/12 = 1/12.
3) P[2 ≤ X ≤ 4] = P[1 ≤ X ≤ 4] = F(4) - F(1) = 1 - 2/3 = 1/3.
4) P[X < 3] = F(2) = 11/12
5) Determinare la densità di X?
Indico con p la densità di X, vale p(x) = 1/2 F(x) - 1/6
P(0) = 1/2 - 0 = 1/2 ; P(1) = 1/2 = 1/6 ; P(2) = 11/12 - 2/3 = 1/4 ; P(3) = 1 - 11/12 = 1/12.
e P(x) = 0 per ogni altro x.
Esercizio 2.2.3
P(♡) = 1/2; P(♢) = 1/4; P(♣) = P(♠) = 1/8 una selettiva di codice trasforma in codici binari:
♡ → 0; ♢ → 10; ♣ → 110; ♠ → 111. Sia X bit del codice, calcolare:
1) La densità di X?
P(0) = 1/2 ; P(10) = 3/4 ; P(110) = 7/8 ; P(111) = 1/2.
Esercizio 1.3.8
(lanci di 2 dadi: uniforme)
Ordiniamo i primi 7 numeri naturali; P che 1 e 2 siano di seguito ed adiacenti (2 dopo 1).
P[1, 2, ..., 7]
INTERESSANTISSIMI!!!
CALCOLO La II estratta
- oppure P["pas a 2 ganci semi"].
- juste 2 palline attaccate in 6 pas
- (6)C3 = 7!(7-1)(7-1).... = 7*6/6 = 1/7 = 9*1x2x3
Esercizio 1.3.19
Due carte estratte a caso da un mazzo di 52.
- P["entrambe picche"] = (13/2)(/
- P["senz nome"] = (13/2)(4/52) = 0,235
mio modo: 1*12/52 = 0,235
- P["abbiamo steso numero"] = (13/2)(4/52) = 0,0588
mio modo: (3/52)1 + 3/3/51 = 0,0588
- P["una via di picche e l'altra di cuori"] = (43/2)(23/52) = 0,127
mio modo: (13/52 * 13/52 + 13/52) = 0,127
- P["prima di picche e seconda di cuori"] = 13*13/52*51
mio modo: 13/52 = 0,0637
2) P["capiti al self-service esattamente due volte"]:
R = 3 self
B = 5 non self.
n = 5 giorni.
K = 2 giorni al self.
P["2 volte self."] = Bin(n, p) = Bin(5, 3/8) =(5/2) (3/8)^2 (1-3/8)^5-2 = 0.343 OK!
3) Calcolare P[eventi - punto 1 e 2, supponendo che non abbia riferimento mai alla stessa situazione].
punto 1) P["riferimento al selfservice il II giorno"]:
= P["I self-service"] P["II selfservice"] + P["I no self"] P["I self"]
= 3/8 . 2/7 + 5/8 . 3/7 = 6+15/56 = 21/56 = 3/8 = 0.375. OKAY!
punto 2) P["self-service 2 volte"]
= P[I e II self] + P[I e III self] + P[II e III] + P[II e IV] + P[III e IV] + P[I e IV] + P[I e V]+ P[II e V] + P[III e V] + P[IV e V] =sono dieci combinazioni.
= P[I e II] * 10 * perché indir = 10(3/8 . 2/7 . 5/8 . 3/7) = 15/28 = 0.536. OK!
4) Trovare approssimativamente probabilità che, per 100 esaminandi, che rispondono a caso, il totale delle risposte corrette sia compreso tra 36 e 104 (inclusi).
In questo caso 100 studenti per 5 domande, quindi 500 domande in totale.
In media 100 risposte corrette, ci si chiede di calcolare la prob. di avere tra le 36 e 104 risposte corrette, un errore scarto di quattro risposte dalla media.
Prova esercizio con binomiale:
IP[|^P-p| ≤ ε] = IP[36 ≤ ^P ≤ 104] = IP[36 ≤ X1 + X2 + ... + X500 ≤ 104] =
∑k=36104 ( n\k ) Pk (1-p)n-k = ∑k=46104 ( \begin{pmatrix} 500 \\ k \end{pmatrix} ) ( \frac{1}{5} )k ( 1-\frac{1}{5} )500-k = 0,385
n=500 e p=\frac{1}{5}
Ora provo a risolvere con il TLC: ε=
IP[μ-ε ≤ \frac{X1 + ... + Xn}{n} ≤ μ+ε ] = IP[36 ≤ \frac{X1 + ... + Xn}{n} ≤ 104 ] =
ora standardizzare:
= IP[86-μ ≤ \frac{X1 + ... + Xn}{n} - μ ≤ 104-μ] = IP[-ε ≤ \frac{X1 + ... + Xn}{n} - μ ≤ ε] =
= IP[ - \frac{ε}{σ/√n} ≤ \frac{X1 + ... + Xn}{n} - μ ≤ \frac{ε}{σ/√n} ] = IP[ - \frac{ε}{σ/√n} ≤ Z ≤ \frac{ε}{σ/√n} ]
= Φ( \frac{√n ε}{σ} ) - Φ( - \frac{√n ε}{σ} ) = 2φ( b - E[X] \over √VAR[X] )
- 1 = 2φ(√ \frac{104 + 500 \cdot \frac{1}{5}}{500 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5}}) - 1 =
φ(2,22,36) - 1 = 3 φ(2,22,36) = 2 \cdot 0,6136 - 1 = 0,347
Uso formula di De moivre-laplace: approssimazione normale alla gaussiana.
IP[ Z ≤ b - E[X] \over √VAR[X] ]
E[X] = n \cdot p
b = [intervallo superiore.]
VAR[X] = n \cdot p( 1-p )
per la Binomiale: una
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