Esercizi Probabilità e Statistica

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Mcon un voto superiore al 28. Dal momento che i voti degli studenti sono indipendenti si avrebbe ma, dato che la M Bin (100, 0.0099) probabilità di successo è molto ridotta possiamo approssimare con M una Poisson, ovvero P(M ≤ 5) = 1 - 0.3751 = 0.6249.

Tre diversi tipi di allergia hanno colpito una popolazione.

Esercizio 2. L'allergia di tipo A ha colpito il 20% della popolazione, l'allergia di tipo B ha colpito l'1% della popolazione, l'allergia di tipo C ha colpito il 99% della popolazione. Su un campione di 601 persone:

1. Con quale probabilità il numero di allergici di tipo A è compreso tra 5 e 15?
2. E il numero di allergici di tipo B?
3. Con quale probabilità il numero di allergici di tipo C è maggiore di 57?

Sia X il numero di allergici tra le 60 persone. Allora:

Soluzione. P(5 ≤ X ≤ 15) = P(X ≤ 15) - P(X ≤ 4) = 0.6249 - 0.0099 = 0.615.

1. X 15). p = 0.2,n = 60 > 20 np = 12 > 5 n(1 p) = 48 > 5e quindi possiamo usare l’approssimazione normale della binomiale:correzione di continuità

   P(5 <= X <= 15) = P(4.5 <= X <= 15.5)

   ↓

   ∑ · ·4.5 60 0.20 X np 15.5 60 0.20

   P(4.5 <= X <= 15.5) = · · · ·60 0.20 (1 - 0.20) np(1 - p) 60 0.20 (1 - 0.20)

   | {z }N (0,1)! !

   · ·15.5 60 0.20 4.5 60 0.20

   p p= · · · ·60 0.20 (1 - 0.20) 60 0.20 (1 - 0.20)

   = (1.130) ( 2.421) = 0.8708 (1 - 0.9922)

   = 0.8786 .

2. 2. In questo caso, e, poichép = 0.01, ⇡n = 60 > 20 np = 0.6 1dobbiamo usare l’approssimazione di Poisson. Abbiamo ⇡ PX (np) =3P (0.6)P(5 <= X <= 15}) = 1 < 5) > 15)

   P(5 <= X <= 15) = P(0.6 <= X <= 15)

   ↓

   ∑ X Xk k0.6 0.60.6 0.6

   P(0.6 <= X <= 15) = 1 e ek! k!

   k=0 k=16' 1 0.9996055 0 = 0.0003945 .

3. 3. Ora invece non possiamo applicare a nessuna delle due approssi-Xmazioni precedenti. Osserviamo tuttavia che il numero di individuil’allergia C tra i

è la v.a.senza ⇠ ⇡60 Y = 60 X B(60, (1 0.99))Pertanto,P · P(60 0.01) = (0.6).P(X P(60 P(Y> 57) = X < 3) = < 3)2X k0.60.6= e = 0.87949 .k!k=0

Il “Crazy Boat” è un battello a due motori utilizzato perEsercizio 3.le crociere sul Tamigi. I due motori lavorano indipendentemente e ilnumero di piccoli guasti in una singola crociera è modellizzabile tramiteuna v.a. di Poisson di parametro per il primo motore, e da unaX 1v.a. di Poisson di parametro per il secondo.Y 21. Qual è la densità di ?Z = X + Y2. Calcolare la probabilità che non avvenga alcun guasto in una datacrociera.3. Se in una crociera si verificano esattamente guasti, qual è lanprobabilità che di questi siano imputabili al primo motore?k4. Determinare la densità di condizionatamente all’evento {XX +È una densità notevole?Y = n}.Dal mese di giugno il “Crazy Boat” effettua una crociera tutte le set-timane.

Al rientro da ogni crociera, i motori vengono completamente revisionati, in modo che il numero di guasti in crociere diverse possono assumersi tutti indipendenti tra loro.

5. Calcolare la probabilità che la prima settimana in cui avviene almeno un guasto sia la seconda.

46. Se nelle prime settimane non si è verificato nessun guasto, qual è la probabilità che non se ne verifichino neppure nelle successive?

27. Se nelle prime settimane si sono verificati almeno guasti, qual è la probabilità che non se ne verifichi nessuno nelle successive?

28. In settimane, qual è la probabilità che almeno crociere si concludano senza nessun guasto?

9. E, sempre in settimane, qual è la probabilità che si siano verificati in tutto più di guasti?

401. è la somma di due v.a. indipendenti di Poisson Soluzione. Z = X +Y di parametri e rispettivamente, quindi è una v.a. di Poisson di parametro cioè1 + 2 = 3, PZ =

1. (3) .2. L'evento in questione è rappresentabile tramite l'insieme {X + Y = 0}, quindi P(X ∩ Y = 0) = 0.04979.
2. Dobbiamo calcolare la probabilità condizionata P(X = k | X + Y = n) = P(X ∩ (X + Y = n)) / P(X + Y = n) = P(X ∩ (Z + Y = n)) / P(Z + Y = n) = P(X = k)P(Y = n - k) perché X e Z sono indipendenti = (n choose k) * (1/2)^k * (1/2)^(n-k) = (n choose k) * (1/2)^n.
3. Nella formula precedente riconosciamo la densità binomiale di parametri n e p = 1/2. condizionatamente all'evento {X + Y = n}.
4. Introduciamo la v.a. T = min{X,Y} in cui si verifica il primo guasto. Allora P(T = 2) = [1 - (1 - e^(-1/2))]^2 = e^(-1).
5. Per l'assenza di memoria della densità geometrica, P(T > 2 + 2 > T > 2) = [1 - (1 - e^(-1/2))]^2 = e^(-1).
6. Sia

Ora la v.a. Z è il numero di guasti nella settimana Z = i-esima. Allora è una successione di v.a. indipendenti, con P(Z1), P(Z2), ..., P(Z3).

Inoltre, poniamo il numero di guasti nelle prime due settimane N1 = Z1 + Z2 e il numero di guasti nelle seconde due settimane N2 = Z3 + Z4.

Vogliamo calcolare P(N1 = 0, N2 = 5) = P(Z1 + Z2 = 0, Z3 + Z4 = 5).

Per l'indipendenza di P(Z1 + Z2 = 0, Z3 + Z4 = 5) = P(Z1 + Z2 = 0) * P(Z3 + Z4 = 5).

Perché P(Z1 + Z2 = 0) = P(Z1 = 0) * P(Z2 = 0) = (3/4) * (1/2) = 3/8.

La probabilità è la stessa del punto precedente.

Sia ora la v.a. W che vale 1 se l'i-esima crociera si conclude senza guasti e 0 altrimenti. Possiamo pensare che siano v.a. di Bernoulli i.i.d., con p per il punto 2.. Pertanto la loro somma è S = W1 + W2 + ... + W10.

Il numero di crociere senza guasti tra le 10 è S = W1 + W2 + ... + W10 ~ B(10, p).

La probabilità cercata vale P(S = 1) = 1 - P(S = 0) = 1 - (1 - p)^10 = 1 - (1 - 0.3)^10 ≈ 0.0855.

Il numero di guasti in settimane

. . , X ) t)1 2 nnY nP(X = t) = (t)kk=1(c) ⇤ 100P(X ⇡> 2.8) = 1 (2.8) 0.2267(d) 1 1⇤ nP(X () ()> 2.8) > 1 (2.8) > n 2712 2

La variabile aleatoria X rappresenta la frazione di memoria principale allocabile di un server richiesta da un job qualsiasi. Si assume che abbia la seguente densità:

X f (x) = 2xI (x)(0,1)

1. Determinare la probabilità che un job richieda meno di un terzo della memoria allocabile.

2. Determinare (senza approssimazioni) la probabilità che, su 20 job lanciati (in modo indipendente l'uno dall'altro), almeno il 10% abbiano richiesto meno di un terzo di memoria allocabile.

3. Supponiamo ora che vengano lanciati 200 job, in modo indipendente l'uno dall'altro; calcolare in modo approssimato la probabilità che almeno il 10% abbiano richiesto meno di un terzo di memoria allocabile.

1. Sia X la variabile che rappresenta la frazione di memoria richiesta da un job. Per determinare la probabilità che un job richieda meno di un terzo della memoria allocabile, dobbiamo calcolare P(X < 1/3).

2. Per determinare la probabilità che almeno il 10% dei 20 job lanciati richieda meno di un terzo di memoria allocabile, dobbiamo calcolare P(X < 1/3) per almeno 2 job su 20.

3. Per calcolare in modo approssimato la probabilità che almeno il 10% dei 200 job lanciati richieda meno di un terzo di memoria allocabile, possiamo utilizzare l'approssimazione della distribuzione binomiale con la distribuzione normale.

1. < 1/3) = 2 xdx = 1/902. Ogni job lanciato è una prova di Bernoulli con probabilità di successo p = 1/9. Poniamo Y il numero di job (sui 20 lanciati) che richiedono meno di un terzo di memoria allocabile; allora ⇠Y Bin(20, 1/9). Dobbiamo calcolare: ✓ ◆202 19 'P (Y 2) = 1 P (Y = 0) P (Y = 1) = 1 (8/9) 0 (8/9) 1/9 0.668113. Sia T il numero di job (sui 200 lanciati) che richiedono meno di un terzo di memoria allocabile. In questo caso si ha⇠T Bin(200, 1/9); Allora, usando la correzione di⇥ ⇥ '200 8/9 > 200 1/9 22.22 > 5.continuità !T 200/9 19.5 200/9> p pP (T 20) = P (T > 19.5) = P >1600/81 1600/81✓ ◆200/9 19.5' '= (0.625) 0.729940/98
2. Nel compilare il modello 730 il contribuente deve arrotondare ogni spesa all'intero più vicino, e supponiamo di modellizzare l'arrotondamento espresso in euro, come una variabile aleatoria uniforme A, sull'intervallo (0.5; 0.5).
3. Si scriva la

Densità della variabile aleatoria A.

Si calcolino media e varianza della variabile aleatoria A.

Si supponga ora di avere voci di spesa nel modello 730 e di sommare i valori già arrotondati di ogni singola spesa. Calcolare, in modo approssimato, la probabilità che il numero otte