Esercizi numeri complessi, Analisi matematica I

Esercizio Numeri Complessi

1. Rappresentare nel piano i seguenti numeri z = 3 + 2i W = 2 - 3i V = -1 + i u = -2 - 2i

• (x,y) coordinata sul piano reale
• y coordinata sulla ordinata

Ricordo

2. Rappresentare nel piano complesso i seguenti numeri: z = 2 (cos_π/3 + i sinπ/3) V = 1,4 (cos_-5π/6 + i sin_-5π/6) W = 1,4 (cos_5π/6 + i sin_5π/6) μ = cos_-π/4 + i sin_-π/4

• z = ρ(cosθ, i sinθ)
• θ angolo tra il vettore z e il semiasse reale positivo
• ρ distanza dall'origine

Ricordo

3. Stabilire il legame che intercorre tra la forma cartesiana e quella trigonometrica di un C: z = X + iy = ρ(cos<eta;, i sinθ) → X = ρ cosθ iy = ρ sinθ

4) Danno \( w, z \in \mathbb{C} \).

Stabilire il significato di \( w=z \) in forma algebrica e trigonometrica.

Forma algebrica

\( w = z \rightarrow x_w + i y_w = x_z + i y_z \)

• \( x_w = x_z \)
• \( y_w = y_z \) \(\Rightarrow\) \([ \Re (z) = \Re (w) ]\)
• \([ \Im (z) = \Im (w) ]\)

Forma trigonometrica

\( w = z = \rho (\cos \varphi z + i \sin \varphi z) = \sigma (\cos \varphi + i \sin \varphi) \)

• \( \rho = \sigma \)
• \( \varphi z = \varphi + 2k \pi \) \( k \in \mathbb{Z} \)

5) Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri:

1. \( z = 2 + 2i \)
2. \( w = 2 - \sqrt{12} i \)
3. \( v = -\sqrt{3} + i \)
4. \( u = -6i \)
5. \( t = -3 - 4i \)

Ricordo:

\(\rho = \sqrt{x^2 + y^2} \)

\(\varphi z = \operatorname{arctg} \frac{y}{x} \)

1. \( z = 2 + 2i \)

   \( z = 2 \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \)

2. \( w = 2 - \sqrt{12} i \)

   \( \rho = \sqrt{4 + 12} = 4 \)

   \( \varphi z = \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{12}}{2} = \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \)

   \(\Rightarrow w = 4 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) \)

7)

1. z = 3 + 2i
2. w = 2 [cos ^π/₆ + i sen ^π/₆]
3. u = 2 - 3i
4. v = 3 [cos(^-π/₃) + i sen(^-π/₃)]

scrivi in COMPLESSI CONIUGATI

z = x + iy

z = x + i(-y)

• z = β[cos rθ + i sin rθ]
• z = β[cos(-rθ) + i sin(-rθ)]

Ricordo

1. z = 3 - 2i
2. w = 2 [cos^-π/₆ + i sen^-π/₆]
3. u = 2 + 3i
4. v = 3 (cos ^π/₃ + i sen ^π/₃)

8)

Dati

1. u = 3 + 2i
2. w = 2 - 5i
3. v = 3 - 2i

calcolare

• u + w → 5 - 3i
• u + v → 6
• v + w → 5 - 7i
• u - v → 4i
• w - u → 1 - 7i

u v = (3 + 2i)(3 - 2i) = 9 + 4 = 13

u w = 6 + 10 - 15i + 4i = (16 - 11i)

v w = 6 - 10 - 15i - 4i = -4 - (19i)

9)

calcolare e scrivi in forma algebrica i seguenti numeri

1. z = ^{3 + i}/_{2 - 3i}
2. v = -i
3. w = ²/_{i - 3}

Ricordo

• z₁ z₂ z₁ - z₂ = ^{z₁ z₂ - z₁}/_z2²

1. z = ^{3 + i}(2 + 3i) = ^{6 - 3}/₁₃ = ^{9 + 2}/₁₃ i = ³/₁₃ + ¹¹/₁₃ i
2. z = ^{i (4 - i)}/₃₂ = ¹/₈ + i /₈

1)

Risolvere l'equazione

z⁴ - z² - 2₄i = 0

z⁴ = t² t ε ℂ

t² - t - 2i = 0

t = ^{1 + i½}

\sqrt{1+i} = w   w ε ℂ

w² = \sqrt{2} \left( cos\frac{\pi}{4} + isin\frac{\pi}{4} \right)

ρ = \sqrt{2}, 2θ = \frac{\pi}{4} + 2k\pi

w₀ = \sqrt[4]{2} \left( cos\frac{\pi}{8} + isin\frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} \left( 0.92 + 0.38i \right) = 1.09 + 0.45i

w₁ = \sqrt[4]{2} \left( cos\frac{9\pi}{8} + isin\frac{9\pi}{8} \right) = \sqrt{2} \left( -0.92 - 0.38i \right) = -1.09 - 0.45i

w = (1.05 + 0.45i)

t₀ = \frac{1 + 1.05 + 0.45i}{2}, \frac{2.09 + 0.45i}{2}

t₁ = \frac{-1.09 - 0.45i}{2}, \frac{-0.09 - 0.45i}{2}

z² = (1.05 + 0.23i)

z³ = (0.05 - 0.23i)

Poi Risolvo

Ho i z₀ = 1.05 + 0.23i   z₃ = -1.05 - 0.23i

bel terzo quarto valore z₀, z₁, z₂, z₃

21)

Individuare e disegnare in C

∪_2 = { z ∈ C t.c. | 7z+1 | ∠ 121 }

∪_2 = { z ∈ C t.c. | z / (z + 1 - i) | ≤ √3 }

∪_n = |z| > |z + 1 - i| ⟺ z ≠ i - 1

tutti i punti più distanti da (0,0) che da (-1,1)

la retta ha equazione y = x + 1

P₆ { W ∈ C t.c. W³ = 2, z ∈ R }

W = 2 → W³ = 2

arg W = 0

0 ≤ β arg W ≤ 2π³ = 2π

0 ≤ 2k arg W ≤ uπ∧(6)

W₀ → 0 ≤ β arg W ≤ arg 6

0 ≤ π⁶ + 2kπ = 3

W₁ → W_β ∈ [2/3 π/3 ... 2π]

I_m(x² + ixy - ix + xyq - iq + y - iy - ix - i + y - 1) = 0

x₁x - xy - 4 - x + 1 = 0

2x - 4 - 1 = 0

y = -2x - 1

b) Calcolare

a) (√(1 + 4i i))⁶

a) z₀ = 1 + 4i

⇒ z₀ = 1 + 4i

z₁ = (1 + 4i) (1 - √3 i) / 2 = -1 + √3 + 4 i

z₂ = (1 + 4i) (-1 + √3 i) / 2 = -4 - 3i

z₃ = -1 - 4i

z₄ = (1 + 4i) (1 + √3 i) / 2 = -1 - 4 - 3i

z₅ = (1 + 4i) (-1 - √3 i) / 2