Esercizi Modello Geometria

Equazioni cartesiane dei piani che contengono v1 e S1

S1: {x + 4y - z = 0 2y - z - 1 = 0

S3: {x + 2 y = 2 z = 1

Pds [(-4,1,2)]

Pds [(1,1,0)]

Pds [(2,0,1)]

Piano contenente v1

| -2 2 | -1 z () | 1 0 x - 2 | (x-2) | | y-() | += 0 0 0 2x - 4y + 2z - 2 => x-y+z+2=0

Le coordinate del punto H proiezione ortogonale di P su S

P (1,0,2) S {x-y-z-1=0 z-1=0

Trovo il piano passante per l’ortogonale a S

Pds [(1,1,0)]

π: 1(x-1)+1(y-0)+0(z-2) x-1+y=0 => x+y-1=0

{ x-y-z-1=0 z-1=0 x+y-1=0 { -y-x-1=0 => y=-1/2 z=1 x=-y+1 x=1/2 1 = 3/2

P(3/2,-1/2,1)

Equazione piano contenente 2 rette incidenti

y₁

• x + z - 2 = 0
• y + 3z = 0

y₁ ∩ S₁

• x + z - 2 = 0
• y + 3z = 0
• y₅ = 0
• 2x - z - 4 = 0

S₁

• x = 2
• y₅ = 0
• z = 0

y₁

• x = t
• y = 0
• z = 2t - 4

y₁ ∩ S₁

• x = 2
• y₅ = 0
• z = 0

(2,0,0) punto d'incidenza

|x - 2 |y z||-1 3 1 ||x 1 - |

-6(x-2) + 3y + 3z

-6x +12 + 3y + 3z

2x - y - z - 4 = 0

Un'equazione cartesiana della superficie Q ottimo tromke .

di: V: x + y - z = 0 ∧ z + 2 = 1

allora ad a: x = y = 0

{x = -z + 1y = zz = -z + 1}

O(_x ± 1) ⊂ (y - y) ± 1 ⊂ (z ± z ± 1)

z + z - 1 = 0

Ap(0, 0, d)

p. da L(0, 0, z ± 1)

d(AKL) = √((-t ± 1)² + (t² + (-t ± 1)²)

√{ t² - 2t + 1 + t² + t² - 2t + 1}

√3t² - 4t + 2

{(x - 0)² + (y - 0)² + (z - 0)² = 3t² - 4ξt + 2}z = z + 1

{λ ± 4y² + z² = 3 (z ± 1) - 4(2z + 1) + 2t = 2z + 1}

x² + 4y² + z² = 3z² + 6z + 3 - 4z - 4 + 2

x² + 4y² - 2z² - 2z - 1 = 0

Coniche

Perforare i punti doppi: interseco le prime due righe di matrici come per trovare il centro nelle coniche generali

Sì, determinano equazioni cartesiane delle tangenti alle coniche da P (1,0)

C: x²+y²+2xy-4x=0

Faccio la polare del punto e la interseco con la conica

1. 1 0 1
   1. 1 1 0
   2. 1 -1 2
   3. 0 -2 0
2. 1 1-2
   1. x-y=0 => x=y
   • {x²+x²+2x²-4x=0 => 2x²=2x=0 => x(x-1)=0
   • x=y

1. x=0
   1. (0,y,1)
      1. 1 1 0
      2. 1 -1 2
      3. 0 -2 0
   2. -2y=0 => y=0
2. k=1
   1. (1,1,1)
      1. 1 1 0
      2. 1 -1 2
      3. 0 -2 0
   2. t+1 1+1-2=2
   3. x-1c=0
   • {y=0
   • x-1=0

Contorno

ha un asintoto parallelo alla retta y:

ℓ: x²+ky²-2xy+2x+1=k

r: x-3y=0

r/(3,1,0) sostituisco nella conica

y+k-6=0 => k=-3

l2 x² + 2k×y ± (k+1)² + 2y = 0

r: 3x + 3y + 120

{ x=z 3y=z-1

g: -t/3

(1-1) (A)

x-2k k+1 -x

k=1

l: x² + 4k y² + 2x - 2g + x - 120

r: 2x + ry + 0

esoliamo lo polore

1-2 1 (A)

x₁x₂x₃

h: 2x-(2k+1)y+u+z

s(2-2k-1 k+ 1 -1)

{ -2k-1 = 1k+z=1k=-1x=-1