Esercizi Matrici, Norme matriciali e Gram Schmidt

Determinare il rango di A

A = 1 0 1 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 -1 1 1 1 4 2

B = 1 1 4 2 1 1 0 1 0 0 1 1 -1 1 0 1 2 1

C = 1 1 4 2 1 1 0 1 0 0 -1 1 1 0 3 2

D = 1 1 4 2 0 0 3 2 0 -1 1 1 0 3 2

E = 1 1 4 2 0 -1 1 1 0 3 2 0 3 2

F = 1 1 4 2 0 -1 1 1 0 3 2 0 0 0 0

Rango(A) = 3

Numero di righe linearmente indipendenti.

Esercizio:

Dato:

1. ||u||₁ = |1| + |1| + |1| = 3
2. ||u||₂ = √(1² + 1² + 1²) = √3
3. ||u||_∞ = 1

Esercizio:

Dato:A = | 1+iλ 0 -1 | | i 1-iλ 1 | | 1 2i 1+2iλ|x = | 1 | | 0 | |-1 |Ax = | 1+2i | | 0 | | 3-i |

1. ||Ax||₁ = Σ |Ax_i| = √5 + √10
2. ||Ax||₂ = (Σ |Ax_i|²) = √15
3. ||Ax||_∞ = max |Ax_i| = max {√5, √10, 0} = √10

Esercizio:

Si consideri il vettore w = α, 0, 1^T dipendente dal parametro reale α.Si calcoli, al variare di α, la norma ∞ di w e si dica qual è l'unico valore di α che rende w un vettore unitario in norma 1 e 2.

||w||_∞ = max |w_i| = max {|α|, 0, 1} = Si fa una considerazione

|α| se |α| ≤ 1 → |α| < 1|α| se 1 ≤ |α| → con α ≤ -1 ∧ 1≥1

||w||₂ = √(|α|² + 0 + 1²) = √(|α|²+1)||w||₁ = |α| + 0 + 1 = |α| + 1

Le due norme sono contemporaneamente unitarie se e solo se α = 0.

Esercizio: A partire dai seguenti vettori:

u₁ = ⁻¹/₁ ¹/₀ ¹/₀u₂ = ¹/₀ ⁰/₀u₃ = ¹/₀ ⁰/₀u₄ = ⁰/₁ ²/₀

Si crei mediante il metodo di Gram-Schmidt una base di vettori ortonormali B = { q₁, q₂, q₃, q₄ }. Si consideri poi la matriceA = { q₁, q₂, q₃, q₄ }. Si dica se questa è ortogonale e poi si indichi la sua inversa.

t₁₁ = ||u₁|| = 2

q₁ = u₁/t₁₁ = ^−1/2/_1/2 ^1/2/₀

t₁₂ = ( q₁, u₂ ) = 1

q₂^~ = u₂ − t₁₂q₁ =⁰/₁ ⁰/₁ − ^1/2/_1/2 = ^1/2/_−1/2

t₂₂ = ||q₂^~|| = 1

q₂ = q₂^~/t₂₂ = ^1/2/_−1/2

t₁₃ = ( q₁, u₃ ) = 1/2

t₂₃ = ( q₂, u₃ ) = 1/2

t₃₃ = ||q₃^~|| = √2 / 2

q₃ = q₃^~/t₃₃ = ^√2/₀ ^−√2/₀

t₁₄ = ( q₁, u₄ ) = ⁻¹/_−1/2 = −1/2

t₂₄ = ( q₂, u₄ ) = ⁰/₁ ⁰/_−1/2 = 3/2

t₃₄ = ( q₃, u₄ ) = ⁰/_√2 ⁰/₀ = 1/√2

t₄₄ = ||q₄^~|| = √2

q₄^~ = u₄ − t₁₄q₁ − t₂₄q₂ − t₃₄q₃ =⁰/_1/2 ⁰/_−1/2 ⁰/₀ =⁰/_1/√2 ⁰/_−1/√2

q₄ = q₄^~/t₄₄ = ⁰/_1/√2 ⁰/_−1/√2

B =      1  -2   6    -2   5 -15     6 -15  46

B^-1 = ?

det(A) = 1|   5   -15  -15   46|+2|-2 -15   6   46|+6|-2    5   6 -18|= 5 - 9 = -1 ≠ 0

Metodo cofatori a₁₁ = (-1)¹⁺¹| -15   6 -15  46|= 5

a₁₂ = (-1)¹⁺²| -2 -15   6   46|= 2

a₁₃ = (-1)¹⁺³|-2   5  6 -18|= 0

a₂₁ = (-1)²⁺¹| -2   6 -15  46|= 2

a₂₂ = (-1)²⁺²|1   6 6  46|= 10

a₂₃ = (-1)²⁺³|1  -2 6 -18|= +3

a₃₁ = (-1)³⁺¹|-2   6 5  -15|= 0

a₃₂ = (-1)³⁺²|1   6 -2 -15|= +3

a₃₃ = (-1)³⁺³|1  -2 -2   5|= 1

La matrice inversa sarà

B^-1 =|5  2  0 2 10  3 0  3  1|

r₃₃ = <q₁, v₃> = -²/_√13

r₂₃ = <q₂, v₃> = -¹/_√6 = √6/6

q₃ = v₃ - r₁₃ q₁ - r₂₃ q₂

r₃₃ = ||q₃|| = √¹/₄ + 1/4

= 1/√2 = √2/2

q₃ = q̃₃/r₃₃ = |^√2/2| |⁰| |-¹/_√2|

C = Q^TQ

Essendo C ortogonale, gli autovalori di C sono tutti 1.

Si considerino le matrici:

A = ֲ 0 αא -2 0-α 0 2B = [³ 0 ΰ ² ϡ β 0ל = [³ 0 ° 1 00 0½]

Si determinino i valori dei parametri α e β cherendono A e B l'una l'inversa dell'altra everificare che C sia una matrice ortogonale.

La condizione per cui si rende A e B l'una l'inversa dell'altra è:

AB = BA = I

ֲ 0 α][³ 0 ;] = ֱ 0 0א -2 0 ְ ² >]ְ 1 0-α 0 2 ֱ β 0]]ְ 0 1

[³ 0 ]ֲ 0 α] = ֱ 0 0א ² >א -2 01 β 0]-α 0 2]ְ 0 1

޴³ + C = 1

-2β/5 = 1

G + β/5 = 1}

{α = 1}

β = -5/2

Per α = 1 e β = -5/2 le matrici A e B sono una l'inversa dell'altra