Esercizi geometria

LEZ. 4: sistemi

x - 2y + 3z + t = 22x - 5y + 9z = 5x - y + 3t = 1

A = 1 -2 3 12 -5 9 0-1 0 0 3

AB = 1 -2 3 1 22 -5 9 0 5-1 0 0 3 1

rang (A) = 2 -31 3= -(-18-6) - (-15-9) = -24 + 24 = 0

simboli a parte3

= -(-15-2) - (-5-12) = 0

3 0

= (-54 a sbaglio) – (-9 – 6a) = 0

_r 1

^{0 3}

= (27) - (9 + 18) = 0

_r3

^{0 3}

rang (A) = 2rang (A, B) = 2il sistema è compatta

N =-1 -22

→ _u = -1

x – 2y = z – 3_h – _k

2x – 5y = 9h + 5

x = (-5)(2 - 3_h - _k) – (-2)(5 - 9_h) - 10 + 45_h + 5_k + 105 - 9_h –_k – 1

= (1) / 1 – 3_h + 2_k = 3_h-5_k

y = (1) (2 - 3_h - _k)1 5 - 9_h

= -1 – 3_h + 2_k

-^u

S = { (3_h - 5_k, 3_h-2_k-1, _h, _k) | _h , _k ∈ ℝ }

{

x+3y+3z+2t=0

2x+6y+9z+5t=0

3y+3z-t=0

A =

| 1 2 3 2 |

| 0 3 3 5 |

| 0 -3 3 -1 |

M =

| 3 3 | 27 18 9

| 6 9 |

H_B =

| 1 3 3 | (18-18) - (-27+18) = 9

| 0 6 9 |

| 0 -3 3 |

rang(A) = rang(A,B) = 3

{

x+3y+3z=-2k

2x+6y+9z=-5k

3y+3z-k

X =

| -2k 3 3 |

| -5k 6 3

| k -3 3 | = (-18-2k)+(27k+15k-3)-(-18k+27(t+2k)+9(-8k))

z =

(-36k+27k+u5k-18k)-5u8k+4u5k = 9k/9 = k

y =

| 1 -2k 3 | (-15k+6k)-(9k-12k) = -6/9 k = -2/3 k

| 2 -5k 9 |

| 0 k 3 |

z =

| 1 3 -2k | (6k+12k)-(15k+6k) = 3k/9 = 1/3 k

| 2 -5k

| 0 -3 |

S = {(k,-2/3 k, 1/3 k, k) | k∈R}

V = ℝ³

v₁ = (3, 2, 0) v₂ = (0, 2, 1) v₃ = (0, 0, 5) base di ℝ³?

Per un Teorema 3 i _e max l.i. di V = [< ℝ³ >] v₁, v₂, v₃ sono generatore di V quindi è una base di ℝ³ < {v₁, v₂, v₃}.

S ⊂ ℝ³ S = f(x, y, z) ∈ ℝ³ | x = y > sottospazio di ℝ³? dim?

1. ⊂ ℝ³ 0 0 0 > y = 0 e x = 0
2. V ⊂ S > {x, y, z} ∈ ℝ³ | x = y > {x, y, z} ∈ ℝ³ | x₂ = y₂
3. VE ⇒ {x, y, z} ∈ ℝ³ | x = y > α∈ ℝ

dV = d(x, y, z) = |dx, x, y, z|

base: y = 0 z = 0 v₁ = (1, 1, 0) y = 0 z = 1 v₂ = (0, 0, 1)

V₁ e V₂ sono l.i.?

• y₁ x₁
• rank(A) = ⟦ 0 -1 ⟧
• V₁ e V₂ sono generatori?
• y, x, 2vz

Quindi {v₁, v₂} base di S

V₁ = (1, x, 0) V₂ = (-1, 0, k) V₃ = (-k, k, k)

per quali k sono e.i.?

l.i. x ≠ -k³ 0 > K ≠ 0

V₁ = (0, 1, k) V₂ = (1, -k, k) V₃ = (k, 1, k)

per k ∈ ℝ - k sono e.i.

Lez. 13: Diagonalizzazione

Controlliamo

A = [5 -1]       [-1 5]diagonalizzabile?

• det(A - λI) = |0 - (-1)/(-1)(-1)| + S = -1 - λ + λ + 1² - 5 = λ² – 4
• 5-λ -1| = 0 ⇒ λ² + u = 0 <> λ = √4 ⇒ λ = √4 non reale

A non è diagonalizzabile

A = [3 1]    [0 1]

diagonalizzabile? ≤ ≠?

• det(A - λI) = |3-λ 1| = 0 ⇒ 3 - λ ⋅ 1. -3 - 1 + 1₁ = 0 ⇒ λ² - (λ + 3) = 0                   [0 1-λ]
• ⇒ λ = 3 ⊕ v λ = 1 reali ⇒ diagonalizzabile 2.auth.e.c.

• Δ = [0 3] del 1° criterio autovettori chete d'appe

Per calcolare c devo trovare gli autosparti di λ₁ e λ₂

1. AX - λ₁X ⇒ AX=X ⇒ [0 1][y] = [y]    yⁱ[3x + y] x        y₁ [x] y       4 = x          [x]

• 3x + y = x
• = − 2 ⇒ 4 = −½ex

E₁={_F2, ₁∈β₃ ={}⋅{-½ ;}ְ; 4 ∈}

X₁={!2}

AX - λ₁X ⇒AX - 3X  [3 1][X]}[3x]           ⇒ [0 1][y]}[y]  3x + 34    (3x + 4)   [34]= 2, y=34y=0  y = 34   y = 0