Esercizi geomatica

ESERCIZIO n.1

(544638)² = 2,36 · 10¹⁰

m = 286 m

Σ_i=1¹⁰ V_i = 0

Σ_i=1¹⁰ V_i² = 0,85721 m²

Stima della media

m = Σ_i=1¹⁰ x_i / m = 2864,87 / 10 = 286,487 m

Stima della varianza

σ² = Σ_i=1⁹ V_i² / m-1 = 0,85721 / 9 = 0,0852 m²

Errore quadratico medio

σ = ± √√σ² = ± √√0,0852 = ± 0,3085 m

Tolleranza

t = ± 3σ = ± 0,3255 m

Stima della varianza delle medie

σ_m² = σ²_m/n = 0,0352/10 = 0,00352 m²

Errore della media

σ_m = ± √σ_m² = ± √0,00352 = ± 0,0376 m

Valore più probabile

x = m ± σ_m = (286,4870 ± 0,0376) m

286,3854 m ≤ x ≤ 286,5846 m

Nota: Per possiamo applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Il minimo condizionato della funzione Σρᵢ·vᵢ² corrisponde al minimo

della funzione:

G(v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆) = Σρᵢ·vᵢ² - k₁(q₁v₁ + q₂v₂ + q₃v₃ + q₄v₄) +

- k₂(b₄v₄ + b₅v₅ + b₆v₆)

Il minimo della funzione si ha quando:

∂G = 0

∂vᵢ

v₁: - 2v₁ρ₁ - k₁q₁ = 0 ⇒ v₁ = k₁q₁ = -k₁ = 1,2748 k₁

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2·ρ₁ 2·0,9382

v₂: - 2v₂ρ₂ - k₁q₂ = 0 ⇒ v₂ = k₁q₂ = -k₁ = 0,3750 k₁

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2·ρ₂ 2·0,95128

v₃: - 2v₃ρ₃ - k₁q₃ = 0 ⇒ v₃ = k₁q₃ = -k₁ = 1,3243 k₁

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2·ρ₃ 2·0,93724

v₄: - 2v₄ρ₄ - k₁q₄ + 2k₂b₄ = 0 ⇒ v₄ = k₁q₄ - k₂b₄ = -k₁k₂ = 1/(k₁-k₂)

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2·ρ₄ 2·0,4645

v₅: - 2v₅ρ₅ - k₂b₅ = 0 ⇒ v₅ = k₂b₅ = -k₂ = 0,865 k₂

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2·ρ₅ 2·0,95181

v₆: - 2v₆ρ₆ - k₂b₆ = 0 ⇒ v₆ = k₂b₆ = -k₂ = 1,55 k₂

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2·ρ₆ 2·0,6423

Il complesso di queste equazioni (gradiente) e delle equazioni di condizione alle

connessioni, che prende il nome di sistema normale risolve il nostro

problema ridotto e le soluzioni si prendono dalle 6 + 2 equazioni nella

6 + 2 incognite (v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆,k₁,k₂)

I

{ v₁ = 1,2748 k₁

v₂ = 0,375 k₁

v₃ = 1,3243 k₁

v₄ = 1

k₁+k₂

v₅ = 0,865 k₂

v₆ = 1,55 k₂

И

{ v₁ + v₂ + v₃ + v₄ + 0,0502 = 0

v₄ + v₅ + v₆ + 0,071 = 0

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Sostituendo le equazioni (I) nelle (II) si ottiene un sistema

lineare di 2 equazioni nelle due incognite k₁,k₂.

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6

Q1Q6 le coordinate parziali x_A \* y_i

x_A = 0

x_(ca) = d_ab · sen g_ac = 117,5678 · sen 100 = 117,5678 m

x_(cb) = d_bc · sen g_bc = 123,0723 · sen 62,0318 = 106,7893 m

x_(dc) = d_cd · sen g_cd = 122,1822 · sen 333,0416 = -106,0448 m

x_(ec) = d_de · sen g_ed = 143,0226 · sen 278,7024 = -135,0835 m

x_(fc) = d_ea · sen g_eA = 87,7836 · sen 187,7462 = 16,736 m

y_A = 0

y_(ca) = d_ab · cos g_ac = 117,5678 · cos 100 = 0,0000 m

y_(cb) = d_bc · cos g_bc = 123,0723 · cos 62,0318 = 72,4364 m

y_(dc) = d_cd · cos g_cd = 122,1822 · cos 333,0416 = 60,5788 m

y_(ec) = d_de · cos g_ed = 143,0226 · cos 278,7024 = -46,3585 m

y_(fc) = d_ea · cos g_eA = 87,7836 · cos 187,7462 = -86,1624 m

Errore di chiusura

Δx = Σ x_i = 0,0120 m

Δy = Σ y_i = -0,0462 m

ΔE = √(Δx² + Δy²) = 0,0482 m

Tabellina lineare (per poligonale chiusa)

t_L = (√(Σ L²) ÷ 6000 + 0,5) m = (1 ÷ 6000 √533,5751 + 0,5) m = 0,5041 m

Essendo ΔL < t_E posso compensare

Cx = -Δx ÷ Σ l · sen_i = -0,0120 ÷ 482,2886

m K = -0,0120 ÷ 482,2886

Cy = -Δy ÷ Σ l · cos_i = -0,0467 ÷ 266,1371

m J = -0,0467 ÷ 266,1371

X₁₁ = X₀ + d₆₁₁ ⋅ sen δ₁ = 117,565 + 38,334 ⋅ km 284,740 = 79,686 m

Y₁₁ = Y₀ + d₆₁₁ ⋅ cos δ₁ = 0,000 + 38,334 ⋅ cos 284,740 = -3,258 m

X₁₂ = X₀ + d₆₁₂ ⋅ sen δ₁₂ = 117,565 + 76,076 ⋅ km 353,168 = 72,028 m

Y₁₂ = Y₀ + d₆₁₂ ⋅ cos δ₁₂ = 0,000 + 76,076 ⋅ cos 353,168 = 69,842 m

∆_B04:

• d_B04 = d₁₀₃ ⋅ 6/9 ⋅ Z_B04 + h_G - h_P = 42,660 ⋅ 6/9 ⋅ 88,094 + 7,611 - 1,131 = 1,785 m
• ∆_B08 = d₁₀₈ ⋅ 6/9 ⋅ Z_B08 + h_G - h_P = 47,688 ⋅ 6/9 ⋅ 88,008 + 1,611 - 1,243 = 1,108 m
• ∆_B03 = d₁₀₃ ⋅ 6/9 ⋅ Z_B13 + h_G - h_P = 25,029 ⋅ 6/9 ⋅ 101,203 + 1,611 - 1,135 = -0,302 m
• ∆₁₀ = d₁₁₀ ⋅ 6/9 ⋅ Z₃₁₀ + h_G - h_P = 23,432 ⋅ 6/9 ⋅ 85,412 + 1,611 - 1,38 = 0,685 m
• d₆₁₁ = 38,334 ⋅ 6/9 ⋅ Z₅₁₁ + h_G - h_P = 38,334 ⋅ 6/9 ⋅ 100,722 + 1,611 - 1,110 = 0,025 m
• ∆_B12 = d₆₁₂ ⋅ 6/9 ⋅ Z_B12 + h_G - h_P = 76,076 ⋅ 6/9 ⋅ 88,867 + 1,611 - 1,350 = 1,725 m
• d_AG = d_AG ⋅ 6/9 ⋅ Z_AG + h_G - h_P = 117,5678 ⋅ 6/9 ⋅ 39,861 + 1,666 - 1,814 = -0,096 m

Quote di punti d'attoglio:

• Q_B = Q_A + ∆_AB = 52,453 - 0,096 = 52,377 m
• Q_L = Q_B + ∆_B07 = 52,377 + 1,785 = 54,166 m
• Q_G = Q_G + ∆_B08 = 52,377 + 1,108 = 53,685 m
• Q₃ = Q₀ + ∆_B03 = 52,377 - 0,302 = 52,075 m
• Q₁₀ = Q₀ + ∆_B10 = 52,377 + 0,685 = 53,062 m
• Q₁₁ = Q_S + ∆_B11 = 52,377 + 0,025 = 52,402 m
• Q₁₂ = Q_B + ∆_B12 = 52,377 + 1,725 = 54,152 m