Esercizi generali di Fisica 1

ESERCIZIO N. 1

1.22 DATI

• legge oraria: x(t) = At + Bt³ + Ct⁴
• A = 5m
• B = 10 m/s³
• C = -2 m/s⁴

x(0) = 5m

v(t) = 3 Bt² + 4 Ct³ = 0 m/s

O = 30 t² - 8t³

O = t² (30 - 8t)

t_1,2 = 0

8t = 30, t = ³⁰/₈, s = ¹⁵/₄, s = 3,75 s

a(t) = 6 Bt + 12 Ct² = 60 . ¹⁵/₄ - 24 . (¹⁵/₄)² = - 4125 m/s²

ESERCIZIO N. 2

1.5 DATI

• Δx = 100 m
• V₀ = 80 km/h
• v = ^dx/_dt

a = ^dv/_dt

a = ^{v - vo}/_Δt Δv = v - v₀

Quindi: x - x₀ = ∫₀^t v(t)dt = ∫₀^t (v_t + at) dt

x(t) = x₀ + v₀t + ^Δ/₂ at²

v²(x) = v₀² + 2a Δx

θ = - ^v_o2/_{2 Δx} = - (^{80 km/h:3,6})² = -2,5 m/s²

^{80 km/h}/_2,5 = Δt = 8,19 s

Δt = 6,0 s a = ?

(100 m - 80 km/h * 6 ) / 3,6

2 / 6²

a = - 1,85 m/s²

v(x) = v₀ + a Δt = 30 km/h * 3,6 - 1,85 * 6 = 41,4 m/s ->

40,4 km/h

ESERCIZIO N.3

1.27 DATI

ω = 1,55 rad/s

A = 7 cm

x(0) = 9,22 cm

Φ = sin^-1 (x₀ / A) = 0,40 rad

ESERCIZIO N.4

1.28 DATI

T = 0,628 s

t = 0

x₀ = 0,45

v₀ = 2 m/s

x(t) = A sin (ωt + Φ)

v(t) = ω A cos (ωt + Φ)

ω = 2π/T = 10 rad/s

x₀ = A sin Φ

v₀ = ωA cos Φ

⇔ Φ = 0,64 rad

A = x₀ / sin Φ = 0,25 m

a(t) = -Aω² sin (ωt + Φ)

a(t) = -ω²x

ESERCIZIO N.4

1.25 DATI

T = 75 = 1 / K

x_f = 1,8 m

a = -kv → moto esponenzialmente smorzato

6.35

m₂ = 2 kg

d = 0,15 m

m₁ = 6 kg

R = 0,1 m

Equilibrio

x: Rv_x = 0

y: Rv_y - Mg + F = 0

La molla non dà nessun contributo nei momenti

braccio nullo

Mg (d + R) - F(2d + 2R) = 0

F = ^{Mg (d + R)} / _{2d + 2R} = 49,05 N

b) F = 0, ω(θ = π/2) = ?

∑ M_o = Iφ

θ = 0   H_p = Mg (d + R)

θ ≠ 0   H_p = Mg (d + R) cos θ

H₀ = Mg (d + R) cos θ

μ + cos θ   α = &domega; / &dtheta; = &omaga; dō/ dt

∫_0^π/2 dθ = ∫ ω dω = ¹/₂ ω² - ¹/₂ ω₀

d(θ) = ^H(θ)/ _IP

Teorema di Huygens-Steiner

I_P = ¹/₃ Md² + ¹/₂ mR² + mR(c + d)² + ¹/₁₂ mD² + m (c + d + 2R)² = 9,785 kgm²

∫0π/2 Mg (D + C) cos θ dθ / I = 1/2 ωf2

ω_f = √^2Mg(c+d+R) / _I = 7.890 rad/s

METODO 2

Δ E_k = W^Tot

i = θ = 0

f = θ = π/2

Ék_f - E´k_i = W_Mg = -ΔU

3.8 m = 10³ kg

r_A = 6.6 · 10³ km

r_B = 6.8 · 10³ km

W_s?

T₂-T₁=?

E_m = Ek + Ep = 1/2 mv² - δmM/r = 1 M δ/r - δmM/r = 1/2 Ep

W_sg = 1/2 Ep₂ - 1/2 Ep₁ = 1/2 mmg(1/r₁ - 1/r₂) = 9.8 · 10^-3

v = ωr

Θ = ωt

T = 2π/ω

T₁ = 2π/ω₁ = 2π/v₁ = 2π/√^r3mT/r

= 5340s

T₂ = 2π√^r3/δmT = 5588s

T₂ - T₁ = 245s

8.M m = 300 kg

r = 7104 km

m_a = 3/5 m

m_B = 2/5 m

Θ = 30°

V_A=?

V_B=?

E_mA, E_mB subito dopo l'esplosione

∑F_e = 0 = dp/dt => p_i = p_e appena prima e dopo l’esplosione

↓

scomponiamo lungo x e y

• x: p_ix= mv
• p_ix= m₁v₁cosΘ + m₂v₂cosΘ
• y: 0= m_v1senΘ - m_v2senΘ
• mv = (m_AV_A + m_BV_B)cosΘ
• 0 = (m_AV_A - m_BV_B)senΘ

F_c=Fg prima dell’esplosione

v₂ = δmT/r

v₂ = √^mT/r = 2387 m/s

mA V_A = mB V_B

V_A = 2/3 V_B

• V_B = 514 V/cosΘ = 3445 m/s
• V_A = 213 V_B = 2297 m/s

E_m=?

E_m < 0 orbita ellittica

E_m = 0 orbitabitoia

ϕ(E) = qint / ε₀

3.14 q = 4.5·10⁻⁸

ρ = 10⁻⁸ C/m³

d = 2 cm

E(x) = ?

indefiniti → in tutti punti se ho campo è lungo x

Strategia:

1. Flusso di E con gauss attraverso una superficie intelligente
2. ϕ(E) definizione
3. ϕ(E)g = ϕ(E)₀

1. ϕ(E) = qint / ε₀ = ρVint / ε₀ = ρ / ε₀2xA
2. ϕ(E) = ∫ΣĒ ds = ∫Ab₁Ē ds + ∫Ab₂Ē ds + ∫eĒ ds =

= 2 ∫AbĒ ds = 2 ∫AbE(x) ds = 2E(x)A

3. ρ / ε₀2xA = 2E(x)A ⇒ E(x) = ρx / ε₀ quando x ≤ d/2

e per x ≤ d/2

ϕ(E) = qint / ε₀ = dAp / ε₀

ϕ(E) = 2E(x)A E(x) = dp / 2ε₀ = cost. non dipende da x

FE = qE(x)

d = 8 cm

WE = -qVE = -q [V(x=d/2) + h - V(x=0)]

Vb - Va = -∫aⁿbĒds = q ∫d/2hE(x) dx =

= q ∫d/2E(x) dx + ∫d/2hE(x) dx]

ES.7

F = ma = 0.7 kg · 2 m/s² = 1.4 N

T - mg = ma

T = 8.83

ES.8

-P_m1 + T = m₁a

P_m1 = m₁gsinθ

P₂ - T = m₂a

T = m₂ g - m₂a = m₂ (g-a)

a = ^{m₂ - m₁ sinθ}/_{m1 + m2} g

ES.9

m_A = 3 kg

m_B = 2 kg

F = 2t N (t in secondi)

Tmax = 40 N

istante di rottura = ?

F + mgsenθ = ma

T + m_Bgsenθ = m_Ba

a = ^{mgsenθ - T}/_mB

-F + mgsenθ + 40 = ma (mgsenθ - T)