Esercizi generali di Analisi 1

ES1

x(1 - 3x) < 1 + x²

• |x| → da valori positivi ma non sappiamo cosa sia - unione dei due casi
• Condizioni d'esistenza
• C.E. x ≠ 0

1. x > 0

   • 1 - 3x < 1 + x²
   • x(x + 3) > 0 → parabola con concavità verso l'alto
   • x > 3 ∪ x < 0

2. x < 0

   • -1(1 - 3x) < 1 + x²
   • -x² - 3x + 2 > 0
   • x > 2 ∪ x < 1
   • x < 1 ∪ x > 2
   • Il sistema indica intersezione

Unione tra le due di quella di 2:

x > 0 ∪ x < 0

Soluzioni: ℝ\{0}

ES 2

|x + 2| ≤ |x| + 4

Si può risolvere anche attraverso il grafico

• |x + 2|
• Retta y = x + 2 x > 0
• Retta y = -(x + 2) x < 0
• |x| + 1 → traslata di 1
• Soluzioni x ≤ -1/2

Se no 3 casi:

-2 ≤ x ≤ 0 ∪ x > 0

• x + 2 ≤ x + 4
• -2 ≤ x ≤ 0 ∪ x ≤ 0 ∪ x ≤ 2
• x + 2 ≤ -x + 4
• -x - 2 ≤ -x + 4

ES. 1

x(1 - 3x) < 1 + x²

|x| -- valori positivi ma non sappiamo cosa sia - Unione dei due casi

1. x > 0
• 1 - 3x < 1 + x²
2. x < 0
• -1(1 - 3x) < 1 + x²

1. x > 0
• x(x + 3) > 0
• Parabola con concavità verso l'alto
• x < -3 ᑌ x > 0
2. x < 0
• x² - 3x + 2 > 0
• x < 2 ᑌ x > 1

Unione tra le due soluzioni di quella di 2

• x > 0
• x < 0

Soluzioni: ℝ \ {0}

ES. 2

|x + 2| ≤ |x| + 4

Si può risolvere anche attraverso il grafico

|x + 2| retta y = x + 2 x > 0 retta y = -(x + 2) x < 0

|x| + 4 trabiata di 1

Soluzioni: x ≤ -1/2

Se no 3 casi:

• x ≥ 0
• x + 2 ≤ x + 4
• -2 ≤ x ≤ 0
• x + 2 ≤ -x + 4
• x < -2
• -x - 2 ≤ -x + 4

Visto che sono entrambe positive → elevare al 2° così tolgo il valore assoluto

^{(|x+2|)2 ≤ (|x1 1|)2}

^{(|x1 1|)2 = (|x+2|)2}

x²+4x + 4x ≤ x² 2 2 |x| 1 1

2x-|x| 3 ⁄ 2 ≤ 0

{ x ≥ 0

2x-x-3 ⁄ 2 ≤ 0   ∪

{ x < 0

2x+x 3 ⁄ 2 ≤ 0

{ x ≥ 0   ∪   x ≤ -4 ⁄ 2

x ≤ -3 ⁄ 2

∅   ∪   x ≤ -1 ⁄ 2

Soluzione   xε[-¹⁄₂]

Es 3

&fracl;[ 2x-1 ]]

____ ≥ 2

&fracl;[ 1-x ]] → C.E.   X

un numero l si può

cambiare segno al numero

&fracl;[ 2x-1 < -2 ]]

&lnearr; X > 2

=== |

&fracl;[ 2 x-1⁺ 2]

1-x

______ ≤ 0

∥

&fracl;[ 2x-4-2 2x ≥ 0

_______ <= τ

⁄[1-x&GPIO;

∥

4x-3 ≥ 0

____

&fras;l[ 1-x[' 3

x > 1   ∪   4 ≤ x < 1

Soluzione x^≥3 ⁄ ₄ e x#1

[³ ⁄₄] ∪ [$ll→

Modolo di un moduolo → studi tutti i casi e primitive liberi dei primo poi usati 2°

Es. 4

1 < (¹ ⁄₃)^5x+1 ≤ 9

sotto la radice metti sempre qualcosa di positivo no

1° ^5x+4/_(4/3)

5x+4 ≤ 9

(4/3) ^(1/3) ≤ (1/3) 5x+4

5x+4 ≤ (4/3) ^-2

5x+4 < 0

x > 3/15

Soluzione: -3/5 ≤ x ≤ -4/5

ES 5

|x| - 1 ≥ x + 2

C.E. |x| - 1 ≥ 0

|x| ≥ 4

Due casi:

• |x-4| ≥ x+2

positivo posso fare

x-1 ≥ x ≥ 2 + 4-4x

x ≥ 4

x+2 + 5 ≤ 0

x - 2 sempre

Quindi

x 2 U -2 ≤ x ≤ -1

-2 ≤ x ≥ x + 2

-2 ≤ x -1

-x -1 ≥ x 2 + 4+4x

-2 ≤ x x-1

x 2 + 5 + 5 ≤ 0

-5-√5 ≥ -2

-5-√5 ≥ -4-√5 ≥ 0 N O-5 + √5 ≥ -2

√5 ≥ 4

• Soluzioni

x ≤ -5 + √5 / 2

ES 6

√3x-8 - √x+5 > √5x+3

• x ≥ 8|3x ≥ -5x ≥ -315

3x-8 ≥ 0x + 5 ≥ 05x + 3 ≥ 0

√3x-8 > |x+5 +√5x+3

x ≥ 8|33x - 8 > x + 5 + 5x + 3 + 2 (x+5)(5x+3)

√x ≥ 8|3-3x - 16 > 2 (√x+5)(5x+3)

Se x ≥ 8|3 è positivo - 3x -16 < 0 , non può mai essere maggiore di 2 (√x+5)(5x+3) > 0.Quindi soluzioni: ∅

ES.7

f(x) = log 1/2 (√3-x² - 2)

DOMINIO + POSITIVITÀ

√3-x² - 2 ＞ 0√3-x² ＞ 2

3-x² ≥ 0

3-x² ≥ 4-√3 ≤ x ≤ √3

Funzione non ben definita

ES. 8

f(x) = log_1/2 (√3-x² - 2)

Dominio + Positività

√3