Esercizi generali di Analisi 1

ES4

|x (1-3x)| ≤ 1 + x²

• |x| da valori positivi ma non applichiamo cosa tra l'unione dei due casi
• A)
• x > 0
• x < 0

x > 0 ∪ x < 0

-1 - (1-3x) < 1 + x²

-3 - 3x + x² > 0

parabola con concavità verso l'alto

x < 0 x > 2

-2 - 3x > 0

il sistema indica insieme intersezione

(x-2)(x-1) > 0

unione tra le due delle soluzioni di quella di 2

Soluzioni: ℝ \ {0}

ES2

|x+2| ≤ |x| + 4

Si può risolvere anche attraversa il grafico

Retta y = x + 2 x > 0

Retta y = -(x+2) x < 0

Soluzioni x ∈ [-1/2

Se no 3 casi:

x ≥ 0 ∪ -2 ≤ x < 0 ∪ x < -2

x + 2 ≤ x + 4 ∪ x + 2 ≤ -x+4 ∪ -x-2 ≤ -x+4

Visto che sono entrambe positive → elevare al 2^o così tolgo il valore assoluto

(|x+2|)1/22 ≤ (|x|+1|)1/22

x² +4x+4 ≤ x² +2|x|+1+1

2x−|x|+3 ≤ 0

{_{x ≥ 0} x ≤ 0

2x−x+³/₂ ≤ 0     ∪     2x+x+³/₂ ≤ 0

{ _{x ≥ 0} ∪ x ≤ 0

x ≤ ⁻³/₂     ↓     x ≤ ⁻¹/₂

⊕     ⊕   ↓   x ≤ ⁻¹/₂

soluzione x= ⁻¹/₂

Es 3

^x−1/_1−x ≥ −2 → quando c’è C.E. x≠1

un numero si può cambiare segno al numerare e al denominatore

2x−1+2−2x ≥ 0 ∪ 2x−4−2+2x ≥ 0

¹/_1−x ≤ 0 ∪ ^4x−3/_1−x ≥ 0

x ≤ 2  →  x ≥ −2

x ≥ ³/₄ ∪ ³/₄ ≤ x ≤ 1

soluzione  x ≥ ³/₄ ∪ x ≠ 1

[ ³/₄ ∇ ] ∪ 1+∞ [

Modulo di un modulo → studi tutti i casi e primati i liberi del primo poi pensati perdoni

Es. 4

1 < (¹/₃)^5x−1 ≤ 9

Es. 1

f(x) = log (1 - (x - 1)² - 4)

Ragiona sul grafico

1 - (x - 1)² - 4 > 0x > 21 > (x - 1)² - 1

• Se x - 1 ≠ 0-4 - 1 ≠ 4

SoluzioneD(f) = {x ∈ ℝ | 1 < x < 2 } = ]1, 2[

Es. 2

f(x) = log (arcos |x - a| - π/3 )

Inverti il segno quando è decrescente

• arcos |x - a| - π/3 > 0
• arcos |x - a| ≥ π/3

|x - 4| ≤ 1x ≤ 2 => 0 ≤ x ≤ 2x - 4 ≤ 1

SoluzioniD(f) = ]1/2, 3/2 [

Limiti

f: x → ℝx ∈ ℝX₀ ∈ ℝd'accumulazione per xL ∈ ℝè il limite di f in x₀se per ogni Ɛ > 0 dsi esite J₃ x₀ intorno di x₀ tale che∀ x ∈ J₃ ∩ |f(x) - L| < Ɛ

Supponiamo X₀ ∈ ℝ L ∈ ℝ:lim f(x) = L△Ɛ > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀ x ∈ X0 < |x-x₀| < δ => |f(x) - L| < Ɛ

ES.1

lim x→0 4x²sen√x + (4-cosx)^1/2 = lim x→0

√x·2senh√x/x² + x³ (e^x-1/x)³

= lim x→0

[4/x^5/2 (senx/x + 3x^1/2 (1-cosx/x)²)

= 4

senh x²/x² + x^1/2 (e^x-1)3

e^x = 1 + x + o(x), x→0

(e^x)² = (1 + x + o(x))² = (1 + x + o(x)) (1 + x + o(x)) = 1 + x + o(x) + xk² +

devo sviluppare il quadrato

+ k o(x) + o(x) (1 + x + o(x))

, grado 2, i se usato nel 2 perdo dei valori

(e^x)² = (1 + x + x²/2 + o(x⁴)) (1 + x + x²/2 + o(x²))

= 1 + x + x²/2 + o(x²) + x + x²/2

+ x²/2 o(x²) + o(x²) (1 + x + x²/2 + o(x²))

= 1 + 2x + 2x² + o(x²)

e^2x = 4 + 2x + 4x²/2 + o(4x²) = 4 + 2x + 2x² + o(x²)

(o(x²))

e (1 + x + o(x)) = 4 + x + o(x) + o x · c(x))²

+ o(x o(x)) +

^{x2 + 2o(x)} + o(x)² + o(x²) = 4 + x + o(x)

se vuoi calcolare un altro ordine devi sviluppare

o(x←0 qualcosa area più velocemente)

lim _n->+∞ n ( e ^{1/ln ln n - 1} ) = lim _n->+∞ n e ^{1/ln ln n -1}

ln ( n + 2 ) + ln ( n + 1 )

L'ometto in evidenzia un'an

= lim _n->+∞ n ( 1/ln n + 0 ( 1/ln n ) ) + e ^-1 = lim _n->+∞ ln n + o ( 1/ln n )

2 ln n + ln ( 1 + 2/n ) + ln ( 1+ 4/n¹ )

= lim _n->+∞ ln n + ln ( 1 + o (1 /ln n )

n

= 1/2

Es 4

lim _n->+∞ ( n² + ln ( n ! ) + cos n ) ( sin 1/n | ln ( n + 1) - arctg 1/n ln ( n - 1 ) )

lim _n->+∞ ln ( n ! ) = ∞

lim _n->+∞ ln ( n ! ) = +∞

cos n = 0 per n->+∞

n²

Prima parte : n² + ln ( n ! ) + cos n = n² + o ( n² )

Seconda parte : sin 1/n ( ln n + ( 1+ 4/n ) )- arctg

1/4 ( ln n + ln ( 1 - 1/n ) ) =

quando va a +∞ o ( 1/n + o ( 1 / n ) ) ( ln n + o ( 1/n ) ) (

o ( 1/n )

( ln n - 4/n + o ( 1/n ) )/ ( ln n - 1

utilizzo degli sviluppi : ln n + 1/n + o ( ln n ) - ln n = 1/n

n²

ln n

o ( ln n / n )

o ( ln n / ln n )

lim _n->+∞ ( n² + o ( n² ) ) o ( ln n ) = F . indefinida

o ( ln n/n )

- bisogna essere più precisi con gli sviluppi , quindi risulta :

sin 1/n ( ln n + ( 1+ 4/n ) ) - arctg 1/4 ( ln n + ln ( 1 −1/n ) ) =

= ( 4/ n − 1/ 6n³ + o ( 1/n³ ) ) [( ln n + 1 - 4/ n + o ( 1/n ) ) - ( 4/1 n

n³ ) - 1 4/π³ + o ( 1/n³ ) ] ( ln 1 −1/n - 1 / n 2/sup>+0 /sub> (

n/sup>₄¹/_n² ) ] = ln n+n

n² + o ( 1/n² )

ln n/n

-ln n + 1 / 2n³ + o ( 1/n³ )+ ln n + 4/1⁶ⁿ⁴

-ln n

n - 4/1⁶ⁿ⁴ + o ( 1/n ^{5 )+ o ( ln n₂/n2 ) + o ( 1/n4 )+o ( 1/n}

Serie di Bertrand

β ∈ R

• se β = 1 converge se e solo se α > 1
• se β > 1 converge ∀ α ∈ R
• in tutti gli altri casi diverge

Dim.:

- caso β < 1

1. n^{1 - β} / (ln n)^α → +∞
2. per n grande 1 / n^β(ln n)^α ≥ 1 / n ⇒ la serie diverge

- caso β > 1

1. n cerco ∈ R tale che: -β < 0 δ> 0
2. n^β(ln n)^α = 0 nu^{1 + /2} (ln n)^α

Es. 6

∑ ln(n(e^{1/n - λ}) - _d/n) λ ∈ R

e^1/n = 1/n + 1 + o(1

ln(n(1 _{+ 1/n + 1/2n²} + o(1/n²))

se d _{≠ 1/2 ln(1 + (1/2 - d)(1/n + o(1/n)))} diverge

se d = 1/2 ln(1 + o(1/ln))

∑ xⁿ/n! = e^x

e^1/n = 1 + 1/n + 1/2n² + 1/6n³ + o(1/n³)

minimo relativo

per x<0 √₃ / ₂ è un minimo rel.

f'(x) = 2 + ⁴/ _(1+x)² per x>0 che è sempre >0 e quindi non ci sono

flessi ed è convessa.

ES. 3

Discurete il numero minimo di soluzioni di e^x = x + d al variare di dεℝ

Studiamo il grafico di f(x) = e^x - x

lim _x→-∞ e^x-x = lim _x→+∞ e^x (1 - ^x/ _e^x) = +∞

lim _x→0 e^-x-x = +∞

c'è sicuramente un minimo perché la funzione è continua.

Segno e^x - x > x

∀ x εℝ

f(x) = e^x - 1 ≥ 0 e^x ≥ 1 ⇔ x ≥ 0

f(0) = e⁰ - 0 - 1

x=0 è un punto di minimo

è un minimo per f f(x)=d

Se d<1 allora f(x)=d φ

Se d=1 f(x)=d ha una sola solu.

x=0

Se d>1 f(x)=d ha due soluzioni

una positiva e una negativa