Esercizi Fisica 1 2 svolti

U P

NIVERSIT Á ARTHENOPE

D I

IPARTIMENTO DI NGEGNERIA

Esercizi di Fisica generale per Ingeneria IBeT

Prof. Camilla Di Donato

Gruppo: IBeT

Indice

1 Prodotto Scalare 4

4

1.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Prodotto Vettoriale 4

4

2.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Moto Rettilineo uniforme 6

6

3.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Moto Rettilineo uniformemente accelerato 7

7

4.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Moto Verticale 8

8

5.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Moto Verticale 2 9

9

6.1 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.2 Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Moto vario 10

10

7.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Moto Circolare Uniforme 11

11

8.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Moto Circolare Uniforme (2) 12

12

9.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Moto Parabolico 13

13

10.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Moti relativi 14

14

11.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 Piano inclinato senza attrito 16

16

12.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Piano inclinato con attrito 17

17

13.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Moto su un piano in presenza di attrito 19

19

14.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 Moto di un sistema in presenza di attrito 21

21

15.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 Masse collegate con un filo ideale tramite le carrucole 22

22

16.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 Forze elastiche 24

24

17.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 Il centro di massa 25

25

18.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 Asta orizzontale in equilibrio 26

26

19.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 Il moto di rotolamento 27

27

20.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 Equilibrio di una scala poggiata alla parete 29

29

21.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

22 Urto elastico tra due punti materiali 31

31

22.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 Urto completamente anelastico tra due punti materiali 32

32

23.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 Esplosione 33

33

24.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 Urto di un punto materiale su barretta libera 34

34

25.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 Urto di un punto materiale su barretta vincolata 36

36

26.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 Forza elettrostatica 37

37

27.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 Forza elettrostatica generata da 4 cariche uguali 38

38

28.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 Forza elettrostatica generata da 4 cariche a due a due uguali 39

39

29.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 Forza elettrostatica generata da 4 cariche 40

40

30.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 Campo elettrostatico generato da una bacchetta curva 42

42

31.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 Campo elettrostatico generato da una bacchetta rettilinea 43

43

32.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 Potenziale elettrostatico generato da una bacchetta rettilinea 44

44

33.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 Campo elettrostatico generato da una bacchetta rettilinea 45

45

34.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 Campo elettrostatico generato da un guscio sferico 46

46

35.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 Campo elettrostatico generato da un guscio cilindrico 47

47

36.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 Campo elettrostatico generato da una sfera conduttrice 48

48

37.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 Campo elettrostatico generato da una sfera piena 49

49

38.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 Campo elettrostatico generato da una sfera piena con densitá 50

ρ(r) 50

39.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 Potenziale elettrostatico generato da un guscio sferico 51

51

40.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 Potenziale elettrostatico generato da due conduttori sferici concentrici 52

52

41.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 Capacitá di un condensatore sferico 53

53

42.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 Forza di Lorentz 54

54

43.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

44 Campo generato da più fili paralleli percorsi da corrente 55

55

44.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 Campo generato da più fili paralleli percorsi da corrente (2) 57

57

45.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 Campo generato da un filo percorso da corrente di forma assegnata 58

58

46.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 Campo generato da un filo percorso da corrente di forma assegnata 60

60

47.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 Spira che esce dal campo magnetico 61

61

48.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 Una bacchetta scorre su una guida conduttrice 62

62

49.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 Corrente variabile nel tempo 63

63

50.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Calcolo Vettoriale

1 Prodotto Scalare ~b

Dati due vettori e quanto vale l’angolo tra le loro direzioni?

~a = (a , a , a ) = (b , b , b )

x y z x y z

1.1 Svolgimento

Usiamo le proprietá del prodotto scalare tra due vettori. Il prodotto scalare tra due vettori é uno scalare, pari

al prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo tra essi compreso:

~b

·

~a = ab cos θ

dove é l’angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare si puó calcolare anche in altro modo, facendo la somma

θ

dei prodotti delle componenti dei due vettori:

~b

·

~a = a b + a b + a b

x x y y z z

Se mettiamo insieme le due equazioni si vede che, note le componenti dei due vettori é possibile calcolare

il coseno dell’angolo tra essi, usando il prodotto scalare:

a b + a b + a b

x x y y z z

cos θ = ab

a b + a b + a b

x x y y z z

θ = arccos ab

2 Prodotto Vettoriale

~b

Dati due vettori e calcolarne il prodotto vettore

~a = (a , a , a ) = (b , b , b )

x y z x y z

2.1 Svolgimento

Il prodotto vettore tra due vettori é un vettore, la cui direzione é ortogonale al piano che contiene i due vettori

che stiamo moltiplicando. Il modulo del prodotto vettore é dato dall’area del parallelogramma che ha per lati

i due vettori ed é data da: ~b|

|~a × = ab sin θ

É possibile calcolare il prodotto vettore usando il metodo matriciale: si calcola il determinante della matrice

in cui alla prima riga mettiamo i versori della terna cartesia, alla seconda mettiamo il primo termine del

prodotto e alla terza riga il secondo termine del prodotto

û û û

x y z

~b

× − − −

a a a

~a = = (a b a b )û + (a b a b )û + (a b a b )û

x y z y z z y x z x x z y x y y x z

b b b

x y z 4

Cinematica del Punto Materiale

La sezione comprende una collezione di esercizi con svolgimento guidato, per diversi livelli di difficoltà. La

cinematica del punto materiale studia il moto del punto, privo di dimensioni, dal punto di vista geometrico:

conoscendo le caratteristiche del moto, quali accelerazione, velocità, spostamento, possiamo conoscere il

cammino percorso dal punto nel suo moto. Le definizioni di accelerazione e velocità istantanee sono il punto

di partenza. La velocità è la derivata dello spostamento, nel tempo:

d~r (1)

= ~v (t)

dt

e l’accelerazione è la derivata della velocità: d~v (2)

= ~a

(t)

dt

Nota la legge oraria è possibile ricavare la velocità e l’accelerazione, derivando rispetto al tempo. Viceversa,

nota la accelerazione, risolvendo le equazioni differenziali, è possibile ricavare la velocità e trovare quindi la

legge oraria Le equazioni scritte sono vettoriali, quindi, se il moto è nello spazio, avremo una equazione

~r (t).

per ogni coordinata. Se il moto è unidimensionale e su una retta allora se il moto è lungo una

~r (t) = x(t);

·

curva, di cui conosciamo l’equazione allora dove con indichiamo il vettore tangente alla

~r (t) = s(t) ŝ, ŝ

traiettora nel punto considerato.

Applichiamo quanto detto a casi specifici. 5

3 Moto Rettilineo uniforme

Un punto si muove lungo l’asse con velocitá costante, La posizione iniziale é

x v = 0.4m/s. x = –0.5m.

0

Scrivere la legge oraria, calcolare la posizione al tempo e lo spazio percorso nell’intervallo di tempo

t = 5s

da a

t = 0 t = 5s.

3.1 Svolgimento

Il moto avviene con velocitá costante, in modulo direzione e verso, pertanto trattasi di moto rettilineo

dx ·

uniforme. La legge oraria può essere ricavata integrando la velocitá: da cui

= v dx = v dt

dt

x(t) t

Z Z · −→ − · −

dx = v dt x(t) x = v (t 0)

0

x 0

0 · ·

Pertanto la legge oraria è data da La posizione al tempo è

x(t) = x + v t. t = 5s x(5) = x + v 5 =

0 0

−0.5m · Lo spazio percorso nell’intervallo di tempo da a è dato da

+ 0.4m/s 5s = 1.5m. t = 0 t = 5s

−

∆x = x(5) x = 1.5m + 0.5m = 2m.

0 6

4 Moto Rettilineo uniformemente accelerato

Un’automobile in moto con velocità frena uniformemente fino a fermarsi; l’accelerazione

v(0) = 120km/h

2

vale . Calcolare il tempo di arresto e lo spazio di arresto .

a = –3.0m/s t x

a a

4.1 Svolgimento

Il moto é decelerato ovvero é un moto accelerato con accelerazione negativa. Scriviamo l’equazione della

velocitá e la legge oraria, partendo dall’accelerazione e usando le condizioni iniziali:

d~v = ~a

(t)

dt

dv ·

da cui si ha che da cui

= a dv = a dt

dt v(t) t

Z Z · −→ − · −

dv = a dt v(t) v = a (t 0)

0

v(0) 0

Il tempo di arresto é dato dalla condizione per cui si ha che

t v(t ) = 0,

ST OP ST OP 3

·

v(0) 120 (10 m/3600s)

· →

− − −

v(t ) = v(0) + a t = 0 t = = 11.1s

=

ST OP ST OP ST OP 2

−3.0m/s

a dx

Lo spazio di arresto é fornito dalla legge oraria, che puó essere ricavata dalla definzione di velocitá: = v

dt

· ·

da cui con

dx = v(t) dt v(t) = v(0) + a t

x(t) t

Z Z 1 2

· · − · ·

dx = (v(0) + a t) dt =−→ x(t) x = v(0) t + a t

0 2

x 0

0

La legge oraria ci dice che lo spazio percorso dall’istante iniziale al tempo di arresto sará:

1 2

− · ·

x(t ) x = v(0) t + a t

ST OP 0 ST OP ST OP

2

2 3 2

·

v(0) 1 v(0) 1 v (0) 1 (120 (10 m/3600s))

2

· · − −

= v(0) (− ) + a (− ) = = = 185m

2

−3.0m/s

a 2 a 2 a 2 7

5 Moto Verticale

Calcolare la profondità di un pozzo sapendo che il tempo tra l’istante in cui si lascia cadere un sasso, senza

velocità iniziale, e quello in cui si ode il rumore, in conseguenza dell’urto del sasso con il fondo del pozzo, è

Si trascuri la resistenza dell’aria e si assuma la velocità del suono pari a

t = 4.8s. 340m/s.

5.1 Svolgimento

Il tempo che intercorre tra l’istante in cui si lascia cadere il sasso e si ode il tonfo é la somma del tempo di

caduta del sasso piú il tempo impiegato dal rumore a percorrere la distanza pari alla profonditá del pozzo.

Scegliamo il sistema di riferimento proposto in figura: Il sasso cade con moto rettilineo uniformemente

Figura 1: Un sasso cade nel pozzo da una altezza e quando tocca il fondo produce un tonfo

h

accelerato, nel sistema indicato in figura l’accelerazione é lungo l’asse ed é negativa:

y

−gû

~a = y

La velocitá sará data dall’integrale dell’accelerazione e dato che il moto é rettilineo lungo l’asse si ha che:

y

− ·

v = v (0) g t

y y

e la legge oraria sará data dall’integrale della velocitá: 1 2

·

− g t

y(t) = y(0) + v (0)t

y 2

Poniamo le condizioni iniziali del moto: il corpo cade dalla quota incognita, e cade partendo con velocitá

h,

nulla per cui la legge oraria diventa

v (0) = 0,

y 1 2

− ·

y(t) = h g t

2

Il sasso impiegherá un tempo pari a per toccare il fondo del pozzo, che corrisponde alla quota

t f ondo p

pertanto il sasso arriverá a produrre il rumore del tonfo dopo Il suono

y(t ) = 0, t = 2h/g.

f ondo f ondo

si propaga a velocitá costante, pertanto esso impiegherá un tempo pari a . Chi ha lanciato

t = h/v

suono suono

il sasso sentirá il suono dopo che é la somma di due termini

t = 4.8s p

4.8s = t + t = 2h/g + h/v

f ondo suono suono

risolaviamo rispetto ad h p

− −

h/v t = 2h/g

suono

2 2 2 −

h /v + t 2th/v = 2h/g

suono

suono

2 2 2 −

h /v + t 2h(t/v + 1/g) = 0

suono

suono

2 2 2 2

−

h 2h(tv + v /g) + v t = 0

suono suono suono

da cui p

2 2 2 2 2

± −

h = +(tv + v /g) (tv + v /g) v t

suono suono

suono suono suono

p

2 2 2 2 2 2

· −

· ± (4.8s 340m/s + (340m/s) /9.8m/s ) (340m/s4.8s)

h = +(4.8s 340m/s + (340m/s) /9.8m/s )

1 √

p 2 2 2

± − ± − −

= 1632m + 11796m (1632m + 11796m) 1632 m = 13428 180311184 2663424 = 13428 13328 =

99.5m 8

6 Moto Verticale 2

Un oggetto viene scagliato verticalmente verso il basso da un’altezza con una velocitá iniziale

h = 40m,

Calcolare: a) la velocità con cui arriva al suolo, b) il tempo impiegato.

v = 16m/s.

0

6.1 Soluzione

Il corpo compie un moto verticale, dunque unidimensionale, con una velocitá iniziale diversa da zero. La

velocitá in funzione del tempo e la legge oraria possono essere ricavate partendo dalla definizione delle

grandezze fisiche: −gû

~a = y

La velocitá sará data dall’integrale dell’accelerazione e dato che il moto é rettilineo lungo l’asse si ha che:

y

− ·

v (t) = v (0) g t

y y

e la legge oraria sará data dall’integrale della velocitá: 1 2

·

· − g t

y(t) = y(0) + v (0) t

y 2

Poniamo le condizioni iniziali del moto: il corpo cade dalla quota incognita, e cade partendo con velocitá

h,

−v

rivolta verso il basso, perché viene scagliato, con per cui la legge oraria diventa

~v (0) = û v = 16m/s,

0 y 0

1 2

·

− · − g t

y(t) = h v t

0 2

Il corpo arriva al suolo quando che ci dará il tempo impiegato dal corpo a toccare il suolo:

y(t ) = 0,

suolo 1 2

− · − ·

h v t