Esercizi Fisica 1 2 svolti

Campo elettrostatico generato da un guscio cilindrico

RZ 1 1 442 3 3 3 3− ⇒ −π(R R ) E(r) = ρ π(R R )r > R Q = dV = ρ2 int 2 1 2 123 4πε r 30R 1 4636

Due superfici cilindriche coassiali di raggio e , individuano una regione di spazio in cui è distribuitaR R1 2una carica elettrica con densità uniforme La carica genera nello spazio un campo elettrico a simmetriaρ.cilindrica radiale il campo in tutto lo spazio.E(r).Calcolare36.1 SvolgimentoIl calcolo del campo, mediante principio di sovrapposizione é un po’ complesso, ma possiamo ricorrere allalegge di Gauss e usare la simmetria della carica per individuare direzione e verso del campo e possiamoscegliere una superficie chiusa di Gauss sulla quale il campo elettrico potrá essere perpendicolare o paral-lelo, semplificando il calcolo formale del flusso. La simmetria cilindrica della carica suggerisce di scegliereuna superficie di Gauss costituita da una scatola chiusa, di forma cilindrica.

con la parete laterale cilindrica, coassiale con la carica. I~ ~ ·φ(E) = E û dΣ Scegliamo come superficie di Gauss il cilindro il cui raggio di base sia la normale alla superficie laterale del cilindro scelto come superficie di Gauss coincide con la direzione radiale e pertanto su questa superficie il campo é sempre ortogonale. I due tappi che chiudono il cilindro sopra e sotto non sono mai attraversati dal campo, perché questo é ortogonale alla normale alla superficie laterale: I Z~ ·φ(E) = E(r)r̂ û dΣ = E(r)dΣ = E(r)Σ = E(r)2πrhn Sup.Laterale dove é l’altezza della scatola cilindrica, inoltre abbiamo usato la proprietá per la quale il modulo del campo elettrico é costante sulla superficie laterale del cilindro di raggio di base. Ora dobbiamo calcolare quantar.carica é contenuta nel volume racchiuso nella superficie cilindrica di raggio e altezza. Osserviamo che la superficie di Gauss non contiene carica, se

La carica è tutta contenuta nella superficie, r < R r > R1 2se invece la quantità di carica racchiusa nella superficie di Gauss dipende daR < r < R r1 2 Q (r)intE(r)2πrh = ε0 ⇒r < R Q = 0 E(r) = 01 int r 2 2−Z ρ (r R )12 2− ⇒R < r < R Q (r) = ρdV = ρπ(r R )h E(r) =1 2 int 1 2ε r0R 1R 2 2−Z ρ (R R )2 2 12 2− ⇒dV = ρπ(R R )h E(r) =r > R Q =2 int 2 1 2ε r0R1 4737 Campo elettrostatico generato da una sfera conduttriceUna sfera di raggio in materiale conduttore è stata caricata con una carica distribuita uniformemente.R qCalcoliamo il campo elettrico in tutto lo spazio.Figura 28: Sfera conduttrice; la sfera è piena ma la carica si distribuisce solo sulla superficie37.1 SvolgimentoLa sfera è in materiale conduttore, per tale motivo la carica si distribuirà sulla superficie, pertanto avremo una densità di carica uniforme, perché la superficie sferica è una

superficie simmetrica, quindi tutti i suoi punti sono equivalenti e tale sarà anche la distribuzione di carica. La densità di carica è uniforme e a simmetria sferica, questo implica che il campo elettrostatico dovrà essere anche esso a simmetria sferica, per il principio di sovrapposizione, perché somma di contributi a due a due simmetrici, eguali in modulo. Inoltre il campo dipenderà solo dalla distanza dal centro della sfera, sia dentro sia fuori la sfera. La simmetria del problema permette di usare la Legge di Gauss per determinare il campo elettrico. Ricordiamo che la Legge di Gauss mette in relazione il flusso del campo attraverso una superficie chiusa e le cariche presenti nel volume racchiuso nella superficie chiusa. Scegliamo come superficie di Gauss una sfera di raggio concentrica con la sfera carica; la normale alla superficie di Gauss coincide con la direzione radiale e pertanto il campo è sempre.

ortogonale alla superficie:
I I~ 2·φ( E) = E(r)r̂ û dΣ = E(r)dΣ = E(r)Σ = E(r)4πrndove abbiamo usato la proprietá per la quale il modulo del campo elettrico é costante sulla superficie sfericadi raggio Ora dobbiamo calcolare quanta carica é contenuta nel volume racchiuso nella superficie sfericar.di raggio Osserviamo che se la quantitá di carica racchiusa nella sfera di Gauss é nulla; ser. r < R r > Rla carica é tutta contenuta nella sfera di Gauss. Q (r)int2E(r)4πr = ε 0⇒r<R Q (r) = 0 E(r) = 0int RZ Z 1 1 1 Q2 2⇒r>R Q = dq = σdΣ = σ4πR E(r) = σ4πR =int 2 24πε r 4πε r0 00 4838 Campo elettrostatico generato da una sfera pienaUna sfera di raggio in materiale isolante, contiene una carica distribuita uniformemente con densità diR, qvolume Calcoliamo il campo elettrico in tutto lo spazio.ρ.Figura 29: Una sfera isolante contiene nel suo interno una carica,

distribuita uniformemente in tutto il volume. Svolgimento: La densità di carica è uniforme e il volume che essa occupa è a simmetria sferica, questo implica che il campo elettrostatico dovrà essere anche esso a simmetria sferica, per il principio di sovrapposizione, perché somma di contributi a due a due simmetrici, eguali in modulo. Inoltre il campo dipenderà solo dalla distanza r dal centro della sfera, sia dentro sia fuori la sfera. La simmetria del problema permette di usare la Legge di Gauss per determinare il campo elettrico. Ricordiamo che la Legge di Gauss mette in relazione il flusso del campo attraverso una superficie chiusa e le cariche presenti nel volume racchiuso nella superficie chiusa. Scegliamo come superficie di Gauss una sfera di raggio concentrica con la sfera carica; la normale alla superficie di Gauss coincide con la direzione radiale e pertanto il campo è sempre ortogonale alla superficie: φ(E) = E û dΣn

2·φ( E) = E(r)r̂ û dΣ = E(r)dΣ = E(r)Σ = E(r)4πrndove abbiamo usato la proprietá per la quale il modulo del campo elettrico é costante sulla superficie sfericadi raggio R. Ora dobbiamo calcolare quanta carica é contenuta nel volume racchiuso nella superficie sfericar.di raggio R. Osserviamo che se la quantitá di carica racchiusa nella sfera di Gauss dipende da r. r < R: la carica é tutta contenuta nella sfera di Gauss. r > R: Q (r)int2E(r)4πr = ε 0rZ 4 ρ3 ⇒r<R Q (r) = ρdV = ρ πr E(r) = rint 3 3ε 00 RZ 4 1 1 4 1 Q3 3⇒r>R Q = ρdV = ρ πR E(r) = ρ πR =int 2 23 4πε r 3 4πε r0 00 4939 Campo elettrostatico generato da una sfera piena con densitá ρ(r)Una sfera di raggio contiene una carica distribuita uniformemente ma con densità che cresce liearmenteR qcon la distanza dall’origine: con costante e distanza dal centro O della sfera. Calcoliamo

Il campo elettrico in tutto lo spazio e la differenza di potenziale tra il centro e la superficie esterna sono dati dalla formula:

ρ(r) = br, b rcampo elettrico in tutto lo spazio e la differenza di potenziale tra il centro e la superficie esternaFigura 30: La sfera é costituita da una carica che riempie tutto il volume, la densitá cresce al crescere di Lar.densitá non é uniforme ma presenta comunque una simmetria sferica, perché non dipende da e ma soloθ φ,da r

39.1 Svolgimento

La densitá di carica é a simmetria sferica e cresce linearmente con r, inoltre il volume che essa occupaé a simmetria sferica, questo implica che il campo elettrostatico dovrá essere anche esso a simmetriasferica, per il principio di sovrapposizione, perché somma di contributi a due a due simmetrici, eguali inmodulo. Inoltre il campo dipenderá solo dalla distanza dal centro della sfera, sia dentro sia fuori la sferar~ La simmetria del problema permette di usare la Legge di Gauss per determinare il campoE(r) = E(r)r̂.elettrico. Ricordiamo che la Legge di Gauss mette in relazione il flusso del campo

attraverso una superficie chiusa e le cariche presenti nel volume racchiuso nella superficie chiusa. Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è dato dalla formula: Φ(E) = ∫ E · dΣ Scegliamo come superficie di Gauss una sfera di raggio r concentrica con la sfera carica; la normale alla superficie di Gauss coincide con la direzione radiale e pertanto il campo è sempre ortogonale alla superficie: Φ(E) = ∫ E(r) · r̂ · dΣ = ∫ E(r) · dΣ = E(r) · Σ = E(r) · 4πr dove abbiamo usato la proprietà per la quale il modulo del campo elettrico è costante sulla superficie sferica di raggio r. Ora dobbiamo calcolare quanta carica è contenuta nel volume racchiuso nella superficie sferica di raggio r. Osserviamo che se la quantità di carica racchiusa nella sfera di Gauss dipende da r. Se r < R, tutta la carica è contenuta nella sfera di Gauss. Se r > R, Q(r) = ∫ E(r) · dΣ = ε₀ ∫ D · dΣ Dovendo integrare sul volume, occorre scrivere il differenziale di volume in coordinate sferiche: dV = r² sinθ dθ dφ dr, è a

simmetria sferica, quindi integriamo sulle variabili angolari e il nostro elemento di volume elementare sarà che possiamo ottenere an che derivando l'espressione del volume rispetto alla sola dV = 4πr dr,dV d 4 43 2 2 2· ·variabile da cuir; = ( πr ) = π 3r = 4π r dV = 4πr drdr dr 3 3r r 4 2Z Z r br3 r 4 ⇒r<R Q (r) = ρdV = 4πb r dr = 4πb[ ] = πbr E(r) =int 04 4ε 00 0R R 44Z Z r 1 πbR 1 QR 43 ⇒r>R Q = ρdV = 4πb r dr = 4πb[ ] = πbR E(r) = =int 0 2 24 4πε r 4πε r0 00 0 5040 Potenziale elettrostatico generato da un guscio sfericoTra due superfici sferiche concentriche di raggio e è distribuita una carica elettrica con densitàR R > R1 2 1di carica uniforme. Determinare l'espressione del potenziale elettrostatico in funzione della distanza dalρ rcentro del sistema40.1 SvolgimentoIl calcolo del potenziale elettrico può essere effettuato calcolando l'integrale

del campo elettrico.
rZ d~l~− − ·V (r) V (∞) = E∞
Utilizziamo il risultato dell’esercizio 35 e stavolt