Corpi Rigidi (+Esercizi svolti)

Corpi rigidi

Definizione

Sistema "posizione" di N masse puntiformi con N -> ∞ di masse infinitesime d_m che stanno a distanza fissa una rispetto all'altra

Il c.m del corpo rigido (C.R.) è fisso rispetto alla distribuzione di massa M_Tot

Sistemi di riferimento

Consideriamo un cilindro che ruota attorno al suo asse di simmetria e con un'eventuale parte estrusa (se presente possiamo descrivere bil'inerzia).

Il sistema di coordinate non cartesiane è in modo coincidente sulla conicità con il problema asfalto.

Definiamo il sistema di riferimento (S) in modo tale che 2 osi siano solidali con il cilindro: questo consente una descrizione di assi più complesso di talvolta.

Se sappiamo di conoscere il CM del nostro corpo rigido, possiamo scegliere un nuovo sistema di coordinate che sia solidale con il centro di massa. In questo modo otteniamo un sistema di riferimento (S') che non avendo forze esterne solidale con un centro di massa, risulta in massa dalla scelta di risolvere equazioni più semplificate una volta risciolte le solite cosiane.

La scelta del sistema solidale sarà unica di risolvere il più possibile la simmetria del corpo, e scegliere una posizione orizzontalmente coincidente con l'asse delle rotazioni. Quindi possiamo definire (S') che sono solidale con il corpo rigido, con l'asse solidale con l'asse di rotazione che coincidente con l'asse di rotazione (fig. sopra). In questo modo alle due dimensioni, quello della massa componente con nulla rispetto quello dell'ultimo lungo (asse di rotazione e asse di simmetria dell'R).

Questo è l'unico caso in cui possiamo provare di risolvere l'equazione del moto del corpo rigido.

Osserviamo che calcolare la massa di un corpo rigido può essere un problema.

Massa di un corpo rigido:

(integrali tripli, doppi o unidimensionali)

• dm: massa infinitesima
• ρ: densità di volume
• σ: densità superficiale
• λ: densità di linea

M = ∫ dm = ∫∫∫ ρ(x,y,z) dV= ∫ ρ(x,y,z) dV

(Caso particolare)ρ costante → M = ∫∫ ρ(x,y,z) dV = ρ∫ dV = ρV

Possiamo scrivere che:

• _Mtot = l²_CM
• _M^nor_cm = e Ù

Sfera

_M = dL/dt

Cosa è L? Calcoliamo il momento

angolare di un corpo rigido,

calcolando una sola componente.

Prendiamo un corpo rigido generico

che ruota intorno ad un asse passante

per il centro di massa.

• Corpo generico, rotazioni di L, cron L
• Caso particolare

Prendiamo una massa dm che forma il

corpo rigido e calcoliamo il contributo di dm

da quel asse e consideriamo questo complesso.

Sia L_M possiamo int. (ruota L) per rotina

caso della componente di L l’organizzazione

per tutta la massa (espanderemo con com.

ruota della parte complessiva è NOL

e Ù = ωề

dL = RdwB = L = ∫0L = ∫d1wB^2 =

= wB^2∫dm = L = wBIz22M = Iz22w

Questo solido ammiamo che

Iz2 = MR^2

ESEMPIO Distribuzione sferica

La massa è distribuita uniformemente in una superficie sferica 2D

0∫∫ dm = 0∫∫

i Suluyo. superfie d*massa

Questa vale per questo particolare tipo, onde, l'integrale di curvatura sferica sul una zekamus esterna all'asse z?

Ricordiamo la definizione

Izz = ∬ (x^2-z^2) o dξ

f integrale. doppio

Rivediamo il calcolo più semplice sciolto in dopor od . se l'inessa è uniforme.

Ricordiamo la definizione

Ixx = 1/2 ∫ (x^2-x^1) o dξ

3ixm

Iyy = 1/2 ∫ (x^2-y^2) o dξ

Izz = 1/2 ∫ (x^2-z^2) o dξ

Queste due vennano, proueda da lo sopilivestrin coprerta a tinu qualquira dei 'tres asse; e lo stesso possono sdelu del queli che seqivie due de 3 momanti diagomo prineipali di · Inizene uee nulole 5: ferm. sdoeodso ugadi ve(pero scon) conido die

Andiamo ad eseguire la somma dei 3 momenti d'inerzia

Ixx + Iyy + Izz =

= Izz =

s 1/3

Definiamo un elemento generico di massa dm e

le coordinate di un triangolo al sistema centrato nel

centro di massa. L'asse x rimane rispetto ad O comune

in rotazione. Questo per rendere possibili assi

sostituenti con le sostantive all'asse sopra sepposta;

due assi di .... Calcoliamo il momento di inerzia:

I_zz0 = ∫∫ (x₁² + z₁²) ρ dV = ∫∫ (x² + z²) ρ dV == ∫ ρz₁ dV + ∫ ρ (x² - z₁²) dV = (*)

Secondo, due assi di rotazione x e z sono possibili,

ogni elemento del massa del corpo un grado meno differente

coordinati di x e di y meno lo stesso coordinati z

⇒ z₁ = z

(*) = ∫∫ ρz² dV + ∫∫ ρ (z² - z₁²) dV == ∫ ρz₁² dV + ∫∫ (x² - z₁²) ρ dV = Mx₀² + I_cm

Volume complessivoMassa complessivadel corpo rigido M

I_zz = I_zz/cm + Mx₀²

Ora applichiamo il teorema ad un caso particolare

È un corpo rigido, ruota intorno ad un asse passante per il suo stesso, incliniamo quindi ad un'oscillazione di

ampiezza angolare decimale della unicorma

Osserviamo che imponendo una grande oscillazione la forma

generale delle forze esercito oppure perpendicolare cb la

parte base di una grande oscillazione.

Senso di pace sappiamo che se si trova a π/2 stesso cos.

giù le stesse possiamo.

M - I w˙ = - ₁/₂ Mg sin (^π/₂ + θ) ± K (ΔΛ - θ) sin (^π/₂ l)

M ₁/₃ I w˙˙ = - ₁/₂ Mg + LkΛИ™-²θ

Osservando alla sollecce dell'equilibrio

Ciò che rimaniamo è che I motore possiamo facilmente dall'

energia controllo rispetto alla reazione di equilibrio. Quindi.

Oμωκ - θ = 0 + 3kΘ = 0

M w²

Abbiamo preso una eq differenziale non omogenea line

questa equazione si costruiamo con un cambio di variabili

prendiamo al posto della radice alla nostra soluzione

si determinano con cos -₃ in modo tal che 5 x

l

Sostituendo 5 = ^2K/_3m ⇒ 5 = ³/_w²

phi = 2 √³/_2pi ; 5

Quindi abbiamo che per il disco il momento della forza di attrito si compelta come un momento flettente positivo (originato) dal numero misto: il disco 2 essendo positivo quindi comanda ai numeri uguale.

Ora basta risolvere le due equazioni {(1):possibile e ricaduta} separabili in ω per ̀ (dispari e col disco-rosso): impose (unge)... l’equazione con le due ω(t) + {cos, ventiamo al rispond.* (...)}

Vediamo con questo formula per una massa formi in una portacine nostra si propone (le possiamo anche throw pez per un corpo rigido e se pòtte vi rotora