Esercizi esternalità, beni pubblici e monopolio naturale

Esercizio 1 - Esternalità

Una ditta che opera in concorrenza perfetta vende il suo prodotto ad un prezzo P = 12€

La sua funzione di costo totale è data da CT(Q) = 1/2 Q²

Nella fase produttiva l'impresa emette dei fumi che provocano un danno al vicino. Il danno totale dipende dalle quantità prodotte ed è dato da D(Q) = 2Q

"Individua la scelta ottima in termini sociali e di mercato"

1. In termini di mercato (Q^P)

In concorrenza pefetta sappiamo che: P=Dmg e la condizione di ottimalità è data da:

Cmg = 2mg → Riguarda tutti i mercati

Cmg = 1 P = 12 → Cmg^P = Q → Rmg = Cmg → Q^P=12 (→) (clemenza di Cmg^P)

2. In termini sociali (Q^S)

Cmg^S = Cmg^P + Dmg → dobbiamo intendere il danno e quindi dobbiamo portare l'impresa a ragionare in termini di costo mg sociale

Cmg^S = Q+2 → considerando che: il beneficio marginale coincide al ricavo marginale (=12), la condizione di ottimalità è data da:

Dmg = Cmg^S

Q^S=10

Se Q = 12 allora D(Q) = 24

Se il mercato fosse monopolistico avremmo una funzione di domanda PI. Dovremmo ricavare la derivata marginale che ha pendenza doppia rispetto al P(Q).

Esercizio 1 - Esternalità

Una ditta che opera in concorrenza perfetta vende il suo prodotto ad un prezzo P = 12€

La sua funzione di costo totale è data da CT(Q) = 1/2 Q²

Nella fase produttiva, l'impresa emette dei fumi che producono un danno al vicino. Il danno totale dipende dalle quantità prodotte ed è dato da: D(Q) = 2Q

"Individua la scelta ottima in termini sociali e di mercato"

1. In termini di mercato (Q^p)

   In concorrenza perfetta sappiamo che: P=Dmg e la condizione di ottimalità è data da:

   Cmg = Dmg → Riguarda tutti i mercati

   Cmg = 1 ⟹ (P = 12 ⟹ P = Cmg) Cmg^p = Q (derivata di CT)

   Q^p = 12

2. In termini sociali (Q^S) → Dovremo internalizzare il dano e quindi dovremo portare l’impresa a ragionare in termini di costo mg sociale

Cmg^S = Cmg^p + Dmg ⟹ Cmg^S = (Q + 2) derivata di (CT+D)

Il beneficio marginale corrisponde al ricavo marginale (=12)

La condizione di ottimalità è data da:

Dmg = Cmg^S

Quindi: 12 = Q + 2 ⟹ Q^S = 10

P

_________¹²_____| /| / | / | / | / | / | / |/ |2______10____12 Q Dmg

Se Q = 12, allora D'(Q) = 24

Se il mercato fosse monopolistico, avremmo una funzione di domanda P(Q). Dovremmo ricavare il ricavo marginale che ha pendenza doppia rispetto al P(Q):

P

_____________________| /| /| /| /| /| /| /| /| ////Pmg/Q

ESERCIZIO 2 - BENI PUBBLICI

Abbiamo 3 individui: A, B, C la cui domanda per un BENE PUBBLICO è data da:

P_A = 6 - ¹/₄ Q

P_B = 9 - ²/₃ Q

P_C = 15 - ¹¹/₁₂ Q

Queste sono le DISPONIBILITÀ MARGINALI A PAGARE

Impiegare questo bene ha un Cmg = 8

"Individua la quantità ottima di bene pubblico"

1) MODELLO DI SAMUELSON

La domanda aggregata del bene pubblico è data dalla somma delle disponibilità a pagare:

P(Q) = P_A + P_B + P_C -> P(Q) = 6 - ¹/₄ Q + 9 - ²/₃ Q + 15 - ¹¹/₁₂ Q

P(Q) = 30 - ²²/₁₂ Q

La QUANTITÀ OTTIMA è data da Cmg = Bmg → 30 - ²²/₁₂ Q = 8

2) MODELLO DI LINDHAL

Per trovare T (quota di contribuzione) sostituisco Q* in ogni disponibilità a pagare:

P_A = 3 P_B = 1 P_C = 4

→ Sommandole T ottengo 8, che corrisponde al Cmg, quindi il bene verrà prodotto.

Che succede se B è free rider? P_B = 0

P_A + P_C = 6 - ¹/₄ Q + 15 - ¹¹/₁₂ Q → P(Q) = Cmg → Q* = 11

La quantità ottima è minore rispetto a prima, e in termini di prezzo, il guadagno del free rider (che si trova il bene pubblico senza pagarlo) è dato da:

P_B = 9 - ²/₃ Q → guadagna → P_B = 9 - ²/₃ 11 → P_B = 1/6

Esercizio 3 - Monopolio Naturale

Abbiamo un'unica impresa che offre un servizio di pubblica utilità.Ha una funzione di costo data da: CT = 12 + 2Q

"Rappresenta graficamente il costo medio (CMe),il costo medio variabile (CMeV) e il costo marginale (Cmg)"

CMe = CT/Q CMeV = CV/Q → CMeV = 2

Ipotesiamo di avere una funzione di domanda inversa data da:P(Q) = 10 - QDato che l'impresa ragiona in termini monopolisticila quantità prodotta sarà QM e sarà venduta a un prezzo PM.

Soluzione del Mercato

• Dmg = Cmg → 10 - 2Q = 2, → QM = 4

Soluzione Socialmente Ottima

• P = Cmg → 10 - Q = 2 → Qs = 8
• In questo caso ci sarà una perdita di profitti:Π(Q) = PQ - CT → Π(Q) = (2·8) - (12 + 2·8) → Π(Q) = -12

Esercizio 4 - Esternalità

Abbiamo una funzione di domanda e una funzione di offerta che sono date da:

Q^D = 5 - 3P

Q^S = 3 + 2P

Supponiamo che ci siano delle esternalità negative date da: Cmg_S = 1/2 + 1/2Q

"Determiniamo l'equilibrio nel mercato e l'equilibrio socialmente efficiente"

1. Equilibrio nel mercato

   Per avere equilibrio nel mercato è necessario che Q^D = Q^S quindi:

   5 - 3P = 3 + 2P → 5 = 3P + 3 + 2P → 5 = 5P + 3 → 2 = 5P

   P^* = 2/5 = 0.4 → P^* = 0.4

   Per trovare Q^* sostituisco per mezzo della funzione di domanda:

   Q^* = 5 - (3 · 0.4) → Q^* = 3.8

2. Equilibrio socialmente efficiente

   In presenza di esternalità negative è necessario che Bmg_P = Cmg_S

   Per trovare Bmg_P calcolo la funzione di domanda inversa:

   Q = 5 - 3P → 3P = 5 - Q → P(Q) = 5/3 - 1/3Q

   5/3 - 1/3Q = 1/2 + 1/2Q → 5/3 - 1/2 = 1/3Q + 1/2Q

   10/3 - 3/2 = 3Q/2 → Q^* = 7/5 = 1.4

   Per trovare P^* sostituisco Q^* in P(Q):

   P(Q) = 5/3 - (1/3 · 1.4) → P^* = 1.2

Esercizio 5 - Esternalità

P(Q) = 110 - 2Q _{(Cmgi = 10 + 2Q , Dmg = 20)}

1. In termini di mercato

In concorrenza perfetta, P = Cmg_i e la condizione di ottimalità è data da Cmg_i = 2mg quindi:

• Dmg = 10 - 2Q = 10 + 2Q -> 10 - 2Q = 10 + 2Q -> Q* = 25

2. In termini sociali

Internalizzo il danno: Cmg_s = (Cmg_i + Dmg)

Cmg_s = 10 + 2Q + 20 -> Cmg_s = 30 - 2Q

La condizione di ottimalità è Bmg = Cmg_s

Emitta totale del danno

20 x 25 = 500

110 - 20 = 30 - 2Q

4Q = 120 : 30

Q^*_s = 20

Esercizio 6 - Monopolio naturale

Un'unica impresa ha una funzione di costo:

CT = 2000 + 2Q

Ha una funzione di domanda data da P = 2000 - 1/2 Q

Il costo marginale è Cmg = 2

Cme = CT ⁽¹⁾ -> 2000 + 2Q

Cme _V = cv ⁽²⁾ -> 2 Q

CT = {Q : 2] -> 3996 = QT -> Q_T = 7992

CT = 5000 + (2 x 3996) -> CT = 9992

Perdita = -2000