Esercizi di Econometria

5.1

Si suppone che un ricercatore, usando i dati sulla dimensione delle classi (CS) e il punteggio medio nei test per 100 classi di terza elementare, stimi la regressione OLS,

^

TESTSCORE = 520,4 - 5,82 x CS

R² = 0,08

SER = 11,5

1. Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 95% per β₁, la pendenza della regressione

^

β₁ - 1,96 * SE(β₁)

- 5,82 - 1,96 * 2,21 =

= -10,15

^

β₁ + 1,96 * SE(β₁)

- 5,82 + 1,96 * 2,21 =

= -1,49

2. b) Si calcoli il P-VALUE di un test bilaterale per l'ipotesi nulla H₀: β₁ = 0. Si rigetta l'ipotesi nulla al livello di significatività del 5%? Al livello dell'1%?

H₀ : β₁ = 0

H₁ : β₁ ≠ 0

P-VALUE = 2Ф(-|t*|)

t* = (β₁ - 0) / SE(β₁)

t* = -5,82 - 0 / 2,21 = -2,63

P-VALUE = 2Ф(-2,63) = 2 * ( -2,63 ) = 2 * 0,0063 = 0,0126

P-VALUE < 5%. Rigetto l'ipotesi nulla

Il coefficiente β₁ è diverso da zero, quindi la class size è rilevante nel determinare il TESTSCORE.

9) Si calcoli il P-VALUE per un test bilaterale per l’ipotesi nulla

H₀: β₁ = 5.6

Senza calcoli aggiuntivi si determini se 5.6 è contenuto nell’intervallo di confidenza al 95% per β₁.

H₀: β₁ = 5.6

H₁: β₁ ≠ 5.6

t* = ( -5.82 + 5.6 ) / 2.21 = -0.0995

P-VALUE = 2(φ(|t*|)) = 2 φ(-0.099)

P-VALUE = 0.4204

P-VALUE > 5% => non infitto l’ipotesi nulla

10) Si costruisce un intervallo di confidenza al 99% per β₀

β₀ - 1.96 * SE(β̂₀) = 520.4 - 1.96 * 20.4 = 480.42

β₀ + 1.96 * SE(β̂₀) = 520.4 + 1.96 * 20.4 = 560.38

5.2 Si supponga che un ricercatore, utilizzando i dati su 250 lavoratori maschi selezionati casualmente e 280 femmine, stimi le equazioni: OLS

WAGE = 12.52 + 2.12 x MALE

MALE

1 = maschio

0 = femmina

WAGE = 12.52 + 2.12 x 1 = 14.64

WAGE = 12.52 + 2.12 x 0 = 12.52

Si calcoli il R² per ognuna delle regressioni.

Regressione 1-D

• 4000-1
• (1-0.176)=0.176

Regressione 2-D

• 4000-2-1
• (1-0.190)=0.189

Regressione 3-D

• 4000-3-1
• (1-0.194)=0.193

(6.1) Usando i dati della colonna 1:

1. I lavoratori laureati, in media guadagnano più dei lavoratori con solo il diploma? Quanto più? Un lavoratore laureato guadagna 5.46 $ in più (all'ora) di un lavoratore diplomato.
2. In media gli uomini guadagnano più delle donne? Quanto di più? Un uomo guadagna 2.64 $ in più rispetto ad una donna, a parità di altre condizioni.

(6.2) Usando i risultati delle regressione nella colonna 2:

1. L'età è una determinante importante delle retribuzioni? Sì, perché un anno in più di età permette di guadagnare 0.29 $ all'ora in più
2. Sally è una donna laureata di 29 anni e Betty è una donna laureata di 34 anni. Si predicono le retribuzioni di Sally e di Betty.

ΔHESally=4.40 + 5.40 × 1 + (-2.62) × 1 + 0.29 × 29 = 15.67 $

ΔHEBetty=4.40 + 5.40 × 1 + (-2.62) × 4 + 0.29 × 34 = 17.12 $

Intervallo di confidenza dell'1%.

• Limite inferiore → β₃ - 2.58 SE(β₃) = 0.29 - 2.58 · 0.04 = 0.19
• Limite superiore → β₃ + 2.58 SE(β₃) = 0.29 + 2.58 · 0.04 = 0.39

(7.5) La regressione mostrata nella colonna 2 è stata stimata nuovamente usando dati relativi al 1992 (4000 osservazioni).

• AHE = 0.27 + 5.29 COLLEGE + 2.51 FEMALE + 0.40 AGE
• (_0.96) (_0.21) (_0.18) (_0.03)
• SER = 5.85
• R² = 0.21

Paragonando questa regressione a quella della colonna 2, si evidenzia una variazione statisticamente significativa del coefficiente di COLLEGE?

H₀: β_{1, 1998} - β_{1, 1992} = 0

H₁: β_{1, 1998} - β_{1, 1992} ≠ 0

t* = (β̂_{1, 1998} - β̂_{1, 1992}) - 0 / SE(β̂_{1, 1998} - β̂_{1, 1992})

SE(β̂_{1, 1998} - β̂_{1, 1992}) = √(SE(β̂_{1, 1998}))² + (SE(β̂_{1, 1992}))² =

= √(0.21)² + 0.20² = 0.29

t* = 5.98 - 5.29 - 0 / 0.29 = 0.655 / 172

(|t*| < 1.96) → accetto H₀

B) Del confronto tra le colonne 1, 2, si ritiene che sia meglio usare SIZE o _ln(SIZE) per spiegare il prezzo delle abitazioni?

C) Usando la colonna (2), qual è l'effetto stimato sul prezzo della presenza di una piscina (si faccia attenzione a utilizzare l'unità di misura corretta)? Si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per questo effetto.

A_Pool ≠ 1 (perché è una variabile binaria)

ΔPRICE = 100/β₂ A_Pool

- 100 ⋅ 0.071 ⋅ 1 = (100 ⋅ 0.071 ⋅ 1)/- 7.1%

Il prezzo delle case aumenta del 7.1% se è presente la piscina tenendo costanti gli altri fattori.

100 ⋅ (β̂ ₂ + 1.96 ⋅ SE (β̂ ₂)) ⋅ A_Pool

100 ⋅ (0.071 + 1.96 ⋅ 0.034) ⋅ 1 = 13.764%

D) La regressione della colonna 3 aggiunge il numero delle camere da letto alle altre variabili. Qual è l'effetto stimato di una camera da letto in più? Questo effetto è statisticamente significativo? Perché l'ho stimato è così piccolo?

ln[PRICE] = β₀ + β₁ ln[SIZE] + β₂ Pool + β₃ VIEW + β₄ CONDITION + β₅ BEDROOM

ΔBDR = 1

ΔPRICE = 100/β₃ ΔBDR

(100 ⋅ 0.0036 ⋅ 1)/- = 0.36%

H₀: β₃ = 0

H₁: β₃ ≠ 0

t = (β̂ ₃ - β₃) / SE (β₃) = 0.0036 - 0 / 0.034 = 0.097

Non rigetto l'ipotesi nulla. β₃ non è significativamente diverso da zero.

Nella regressione si inserisce una dummy:

OVEST = 0 se la sede è occidentale1 se la sede si trova ad est

FATALITYRATE_it = β₁ BEERTAX_it + β₂ DAL18_it + β₃ DAL19_it + β₄ DAL20_it + β₅ JAIL_it ++ β₆ sull male _it + β₇ unemployment_it + β₈

10.4

Usando la regressione Y_it = β₀ + β₁ X_it + γ₂ D_2i + ... + γ_n D_ni + u_it

quali sono la pendenza e l'intercetta per:

1. L'unità 1 nel periodo 1?Intercetta: β₀, Pendenza: β₁
2. L'unità 1 nel periodo 3?Intercetta: β₀, Pendenza: β₁ [perché non ci sono Dummy temoreal]
3. L'unità 3 nel periodo 1?Intercetta: β₀ + γ₃, Pendenza: β₁
4. L'unità 3 nel periodo 3?Intercetta: β₀ + γ₃, Pendenza: β₁

10.5

Si considera il modello con un singolo regressore Y_it = β₁ X_{1, it} + α_i + λ_t + + μ_it tale modello può essere scritto anche come:

Y_it = β₀ + β₁ X_it + δ  B2_i + ... + δ  B_i + ... + γ_n D_ni + μ_it

dove B2_i = 1 se t = 2, 0 altrimenti; D2_i = 1 se i = 2 e 0 altrimenti

e così via. Qual è la relazione tra i coefficienti (β₁, δ_i, ... , δ_n) per(γ_n) e i coefficienti (α_i, ... , α_n, λ_y, λ_x)?