Esercizi di analisi matematica

Esercizio 1

Risolvi il problema di Cauchy

^y'⁄_y = 4⁄_x - y²

y(1) = 1

Soluzione

L'equazione è di Bernoulli con α=2, possiamo risolverla

con la sostituzione

w = y^-1 → y = w^-1

Dunque   w' = 4/x - y²

sostituendo otteniamo

w' - w/x = -2

w(1) = 1

w' + w/x = 2   il fattore integrante è dato da

∫x^-1dx = log(x)

pertanto

w(x)x = e^-∫x(c + ∫e^∫x B(x) dx)

w(x)x = x^-(∫(c + ∫x dx)

= -x^{-(c + x2/2)}

→ w(x) = c/x + x²/2

Sostituiamo la condizione iniziale del problema di Cauchy

per trovare la soluzione particolare:

x = C + 1/2 → C = 1/2

Pertanto w(x) = 1/2x + x²/2 poiché ϕ = w^-1 ho

ϕ(x) = 2x + 2/x² = x + x²/ex

Poiché la soluzione si può di senso per x = 0 la soluzione

massimale è detta per x > 0.

Ora controllo punti sulla frontiera mediante il metodo di sostituzione

f(x, 2-x) = x(2-x) + (2-x)² - x(2-x)

= - x(x-2)

Faccio il gradiente e trovo 2x + 2 = 0

Ora calcolo i punti sulla funzione

f(P₁) = 0

f(P₂) = 0

f(P₃) = 0

f(P₄) =

• -1
• 8
• 3
• 3
• -
• 3
• = -
• 27

Punto di Minimo

P₄(¹⁄₃, ¹⁄₃)

f(P₅) = ¾

Punto di Massimo

P₅(³⁄₄, ¹⁄₄)

Es. 9

Risolvere il problema di Cauchy

• y'' - 2y' + 5y = x
• y(0) = 0
• y'(0) = 0

Soluzione

Poiché non è un'equazione omogenea annulliamo e risolviamo

l'equazione omogenea ad essa associata

r² - 2r + 5 = 0 da cui

c₁ = 2 ± i

c₂ = 1 - 2i

Poniamo l'integrale generale dato da y₀(x) = c₁e^x + c₂e^2x + c₃sin(x)

Poiché il termine noto x non è soluzione dell'omogenea abbiamo

una soluzione particolare nella non omogenea y_px(x) = Ax

y''(x) = y₀(x) = 0 - Sostituendo c₁ - 2 + 5 = 1 ⇒ h≠75

Ora analizziamo i vari punti sullo frontiera.

Poiché il dominio è simmetrico rispetto all'asse x e all'asse y lo possiamo studiare nell'insieme {x>=0, y>=0, x+y=1}. Utilizzo il metodo della sostituzione y = 1-x.

f(x, y) = x(1-x)² = x(1-2x+x²) = x-x²+x³

Trovo il gradiente e lo impongo uguale a zero:

3x²-6x+x = 0 -> x₁ = 1 e x₂ = 1/3 ->

y₁ = 0 e y₂ = 2/3

Ho i punti: P₂(1,0) P₃(1/3, 2/3) con le rispettive simmetrie P₄(-1,0) P₅(-1/3, 2/3) P₆(-1/3, -2/3) P₇(1/3,-2/3)

Ora valuto i sette punti nella funzione:

f(P₁) = 0 ,

f(P₂) = f(P₄) = 0

f(P₃) = f(P₅) = 4/27 -> max f

f(P₇) = f(P₆) = -4/27 -> min f

(S3)

Calcolare l'integrale doppio:

∬_E x/(x+1) dxdy

E = {(x, y): x²+y² ≤ 9, x > 0}

Soluzione:

Per prima cosa attraverso un cambio di variabile trovagi:

estremi di integrazione

x = y

2x² = 3 → x = ± √3/2

pertanto ho P₁ = (-√3/2, √3/2)

P₂ = (-√3/2, -√3/2)

P₃ = (√3/2, √3/2)

da cui

• f(P₁) = f(P₂) = -5/2 → \max ∴
• f(P₃) = f(P₄) = -5/2 → \min κ

Es. 3

Calcola il seguente integrale doppio

∫∫_E (x²y²) / (x² + y²) dx dy

dove E è l'insierma

E = {(x,y) : x ≤ y ≤ 4-x}

soluzione

Possiamo integrare in coordinate polari (r, θ), e

calcolare gli estremi di integrazione

• r cosθ = x
• r sinθ = y

eliminate cosθ e sinθ otteniamo

• r² ≤ 4 ← 0 ≤ r ≤ 2
• 0 ≤ θ ≤ π/4

y(x) = ⁷/₃₆ e^-4x - ⁸/₆ e^x + ¹/₆ - ¹/₃x e^x

Es.3.

Calcolare il seguente integrale doppio

∫∫_E log₂(x + y²) dxdy.

Dove E={ (x,y) ; x² + y² ∈ [0,3] }

Soluzione

Utilizziamo le coordinate polari

x = e cos θ

y = e sin θ

I cerchiamo gli estremi di integrazione

e² cos² θ + e² sin² θ ≤ 3

e² ≤ 3, 0 ≤ e ≤ √3

0 ≤ θ ≤ 2π

∫∫_C log₂(x² + y²) dxdy =

∫^π√3₀dθ ∫^√3₀log₂(e²) e de

Pongo t = e²

dt = 2e de

= 2π[_√3∫³₁] log₂(t)¹/₂2

= π∫³₁log₂(t)/t dt

= per parti = t log₂(t) - t dt

= π [ t log₂(t) - ∫ t dt

= π

[ (e²log₂e¹ - e²)]³₁

= π(9 log₂-9)

= -8 π(2log₂3 - 1 )