Esercizi d'esame con svolgimenti con tutti i passaggi

Formulario ed esercizi d’esame svolti con procedimenti per tutte le tipologie d’esame Analisi 2 (Prof. Michiel Bertsch)

Il seguente Documento contiene tutte le tipologie d’esercizio che possono capitare all’esame.

Compiti d’esame svolti corretti

Se non ti sei esercitato a sufficienza stampare questo file in piccolo formato (tipo bigliettino) ti potrebbe consentire di superare comunque l’esame scritto

Il file è composto da una serie di esami svolti e da degli appunti dove esplicito tutti i passaggi e spiego che operazioni sono state fatte.

Ho molto altro materiale per potervi aiutare a comprendere e superare questo esame, per motivi di tempo non sono riuscito ad riorganizzarlo per pubblicarlo

Perciò lascio in fondo a questo file i miei contatti così potrò inviarvi materiale o rispondere ad eventuali domande e chiarimenti.

Teorema del Rotore

Dato un campo di classe C₁ e una curva C regolare a tratti, semplice, chiusa

la circolazione del campo attraverso il percorso (il cammino chiuso C è dato dall'integrale del rotore non più sul bordo ma nell'intero insieme racchiuso S

E = (e_x, e_y, e_z) di classe C₁

∮_CE·d_l = ∬_S(∇ × E)·dxdy

la circolazione misura la tendenza di un campo a far muovere una particellachiusa un ciclo chiuso, percorso attraverso C

Teorema della Divergenza

(infatti trasforma un integrale su superficie in un integrale di un volume)

Dato un campo di classe C₁ ed un certo insieme V (compatta convamente, S, superficie (linea chiusa), l'integrale di flusso dove è l'integrale della divergenzacollocato poi in tutto l'insieme V

∬_S(E ·n) ds = ∭_V(∇·E) dv

E = (e_x, e_y, e_z)

Flusso di un campo vettoriale

Con flusso si intende un'unità di quantità in un campo A durante una superficie passando dall'esterno all'esterno o viceversa

Φ_S E := ∬_S (E·n) ds

E = (e_x, e_y, e_z)

1. Il rotore indica il vettore rappresentanza l'asse di rotazione del campo vettoriale nella direzione del vettore (che noi chiamiamo n) per Stokes.L'integrale lungo il bordo del rotore × (passato vettoriale) n della V area.

Integrali lineari di 1° specie e 2° specie

Sia f e l curve che perimetano la circonferenza: x² + y² = 4 in verso senso:

Dal punto (0, 2) al punto (2, 0). Determinare gli integrali curvilinei:

\(\oint_C (3x - 8y)dx\) e \(\oint_C (2x - 4y)dx + (xC + 1/x - 4)dy\)

Premesso: Dobbiamo parametrizzare noi

Osserva una circonferenza e utilizza le coordinate polari:

\(\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases}\)

Formula di risoluzione int. 1° specie e 2° specie:

\(\int_a^b F(x(t), y(t)) \cdot (x'(t), y'(t)) dt\)

\((x,y) = F(x,y) = \begin{cases} y = \cos(t) \\ y = \sin(t) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2 \cos t \\ -2 \sin t \end{cases}\)

Allora \(x^2(t) = (2 - 2\sin t \), \(y^2(t)\) = 2

ds = lunghezza = \(|y'(t)| = \sqrt{(-2 \sin t)^2 + (-2 \sin t)^2} = \sqrt{4} = 2\)

\(\oint_0 \int_{\pi} (6 \cos t - 3 \sin 2\pi t) \cdot 2dt = 12 - 16\pi\)

\(\begin{cases} x + z = \frac{-1}{1z} \rightarrow 2x = \frac{-1}{2t+2} \end{cases}\)

\(\frac{-z^2}{4} \Rightarrow \frac{2^2}{(1 + z)^4} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{z^2 \cdot 7 \cdot (.\cdot 112)^3}{4\left(\frac{1 + z}{2}\right)^2} = \frac{4}{(1 + z)^2}\)

Tipologia equazione differenziale

(a) Determinare le soluzioni generali y(x) dell'equazione

y'' - 2y' - 3y = sinx

(b) Risolvere il problema di Cauchy

\( \begin{cases} y' = 4x \ y^{-2} \\ y(0) = 1 \end{cases} \)

nell'intervallo massimo d'esistenza

seguente:

L'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata

\( (\lambda-3)(\lambda+1) = 0 \), ho soluzioni \( \lambda_{1,2} = 3, -1 \)

da cui la soluzione generale di y'' - 2y' - 3y = 0 è

• Ae^3x + Be^-x

Per trovare una soluzione generale di y'' - 2y' - 3y = sinx si prova una soluzione

della forma y(x) = e^xsinx + bcosx

sostituendo y e le sue derivate

y'(x) = e^xcosx - bsinx

\( y'' = e^x(-sinx - bcosx) \)

... e sinx - 2^xb^-exsinx

Sostituzioni algebriche...

Quindi ho:

• \( -\frac{1}{5}e^xsinx + \frac{1}{10}cosx \)

1. Tipi di soluzioni:
• Costante qualsiasi \& \(\ \ C_1, C_2, C_3 \)

(b) con metodo 2 (+ FACILE)

Si usano 2 vincoli

x² + y + z² = 1 e y = 0

quindi gli estremi si verificano

λ x = 2 x

λ y = 1

λ z = 2 z y + μ

poiché

λ < (3,0,1) < (3,1/10,0,1/10)

minimo assoluto < massimo assoluto

(b) con metodo 3 (+ FACILE e + veloce)

Si muove a 2 variabili (x,z)

posso

g(x,z) 3x + 2 = 0

h(x,z) = x² + z²

e si cercano gli estremi di g sul vincolo

h₁=1 (ricordando che y=0)

λ = + 5/2

e si ritrovano i punti come prima

∬_Ω e^x+y c dx dy

Ω = {(x,y) : |x| + |y| < 4 }

x + |y| = 1

⇨ 4 possibilità

X + y = 1

-x - y = 1

y = 4 - x

x = -y+1

x=1-y

y = -x

y = x+1

-x + y = 1

y = 1 + x

x = y+1

y = -1 + x

x = y+1

Ω = Ω₁ + Ω₂

Ω₁: -1 < x ≤ 1

Ω₂: -1 < x ≤ 1

1-x ≤ y ≤ 1-x + 3

∬_Ω e^x+y c dx dy = ∬_Ω1 e^x+y c dx dy + ∬_Ω2 e^x+y c dx dy

∫_0,1 e^c(e^-y - e^y+1) dy + ∫_1,-1 c(e^-y-1 - c^y+1) dy

∫₁ e^c die + ∫₁ e^y dye

∫₁ e^c dy ∫_c,1 d_c,1 ∫ e^-2y+1

∫₁ e^-2y-1 dy ∫₁ e^dydy

e^-1c - 2y

e¹ c + y

2 y^e+1 .c ^dy

-1 < e

dy c.c^c

e_dy - c^e c^-2c

1 - 0

∇ƒ = 0.

∇A ⇔ { Dx [L(x,y)] = 0, Dy [L(x,y)] = 0 }

Trovare i punti critici vincolati (metodo di Lagange).

A(x,y,z) = vincolo

Moltiplicatore Di Lagange

Hƒ/2 = det (∇²f)

{

• Se det|H| > 0 e (f_xx) > 0 P_o è un punto di min nel
• Se det|H| > 0 e (f_xx) < 0 P_o è un punto di max nel
• Se det|H| < 0 P_o è un punto di sella

Se ci sono 2 vincoli ed il secondo è un piano riduco a 2 variabili e applico Lagange

posso riconoscere se si tratta di un max o un min dal segno e dal valore delle componenti (x₁,x₂) del punto critico vincolato

D²wƒ(x,y) =

[<Hƒ(x,y)V>,V]

Prodotto vettoriale Riga x colonna indicato con X

(A B). (E) =

(C D) (F)

Vettore

AE + BF

CE + DF

Prodotto scalare indicato con

(A) (C) = AC + BD

(B) (D)

Scalare

Int 2^a specie

∫_γ [F₁(x,y,z) dx + F₂(x,y,z) dy + F₃(x,y,z) dz] =

Io parametrizzo la curva (se necessario) aprendo le formule

∫_a^b F₁(x_γ(t)) (dx_γ(t))^. dt + F₂(x_γ(t)) (y_γ(t))^. dt + ∫_a^b F₃(x_γ(t)) (z_γ(t))^. dt

Parametrizzazione

• γ₁(t) = {x₁(t), y₁(t), z₁(t)} (a < t < b)
• γ₂(t) = {x₂(t), y₂(t), z₂(t)} (a < t < b)
• γ₃(t) = {x₃(t), y₃(t), z₃(t)} (a < t < b)