Esercizi, Controlli

R

sistema a ciclo chiuso risulta asintoticamente stabile, motivando il risul-

tato. Si analizzino le caratteristiche di stabilità nel caso di retroazione

positiva.

(1c) Si discuta, al variare di µ > 0, la posizione nel piano complesso dei

R

poli in anello chiuso.

Si ricavino i valori di µ per cui il sistema a ciclo chiuso risulta asintot-

(1d) R

icamente stabile, confrontando il risultato con quello ottenuto al punto

(1b).

(1e) Per il valore del guadagno del regolatore µ = µ̃ per cui il sistema a

R R

ciclo chiuso è asintoticamente stabile ed ha due poli reali e coincidenti,

si traccino i diagrammi asintotici di Bode di L(jω).

(1f ) Si detiminino la ω e la ω per µ = µ̃ . Si calcolino i valori del modulo

c π R R

di L(jω ) e della fase di L(jω ). Possono questi valori essere utilizzati

π c

per il calcolo del margine di fase ϕ e del margine di guadagno k ?

m m

Perché?

Esercizio 2

È data la funzione di trasferimento di processo

s + 10

P (s) = A(s)G(s) = (s + 1)(s − 2)

e sono assegnate le seguenti specifiche per il sistema a ciclo chiuso:

errore a regime e = 0 per w(t) = sca(t);

• ∞

• il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile ed abbia due poli

complessi e coniugati.

(2a) Utilizzando il metodo del luogo delle radici, si progetti un controllore

R(s) tale che siano soddisfatte contemporaneamente tutte le specifiche

sul sistema a ciclo chiuso.

(2b) Per il controllore progettato, tracciare i diagrammi di Bode asintotici

della funzione di sensitività S(jω) e della funzione di sensitività del

controllo Q(jω). Si discutano possibili conseguenze degli andamenti

ottenuti, quali ad esempio l’attenuazione di disturbi sinusoidali, la lim-

itazione dell’azione di controllo, la robustezza alle incertezze di pro-

cesso.

(2c) Utilizzando il luogo delle radici e nell’ipotesi che A(s) sia modellato

come un ritardo di tempo pari a 0.01 sec., senza modificare il controllore

progettato e utilizzando l’approssimazione di Padé con uno zero ed un

polo: 1 − sτ /2

−sτ

A(s) = e ≈ 1 + sτ /2

si valutino gli effetti sul sistema a ciclo chiuso.

Università degli Studi del Sannio

Anno Accademico 2006/2007

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica

Prova scritta di Controlli del 28 Settembre 2007

Docente: Francesco Vasca

Assistente: Maurizio Taglialatela Scafati

Esercizio 1

Considerato il sistema di controllo in retroazione unitaria riportato in figura:

y

w e

+

- j - - - -

R(s) A(s) G(s)

− 6

Figure 1: Schema di controllo in retroazione: R(s) è la funzione di trasfer-

imento del controllore, A(s) quella dell’attuatore e G(s) quella del processo.

con 1 1

R(s) = µ A(s) = 2 G(s) =

R 2

s (2s + 10)

(1a) Si tracci il diagramma di Nyquist associato alla funzione di trasferi-

mento ad anello aperto L(s) = R(s)A(s)G(s).

(1b) Applicando il criterio di Nyquist, si determinino i valori di µ per cui

R

il sistema a ciclo chiuso risulta asintoticamente stabile, motivando il

risultato.

(1c) Si discuta, al variare di µ > 0, la posizione nel piano complesso dei

R

poli in anello chiuso.

Utilizzando il luogo delle radici, si stimino i valori di µ per cui il

(1d) R

sistema a ciclo chiuso risulta asintoticamente stabile, confrontando il

risultato con quello ottenuto al punto (1b).

Per un valore del guadagno del regolatore µ = µ̃ per cui il sistema a

(1e) R R

ciclo chiuso è asintoticamente stabile si traccino i diagrammi asintotici

di Bode di L(jω).

(1f ) Si detiminino la ω e la ω per µ = µ̃ . Si calcolino i valori del

c π R R

margine di fase ϕ e del margine di guadagno k . Si valuti l’effetto

m m

sulla stabilità del sistema a ciclo chiuso di una incertezza moltiplicativa

sul guadagno di A(s) pari a 10.

Esercizio 2

Con riferimento allo schema in Fig. 1, sia 1

A(s) = 1, G(s) = 2

s + s +1

e siano assegnate le seguenti specifiche per il sistema a ciclo chiuso:

• errore a regime e ≤ 0.1 per w(t) = sca(t);

∞

• il sistema a ciclo chiuso abbia poli reali e distinti.

(2a) Utilizzando il metodo del luogo delle radici, si progetti un controllore

R(s) tale che siano soddisfatte contemporaneamente tutte le specifiche

sul sistema a ciclo chiuso.

(2b) Per il controllore progettato, tracciare i diagrammi di Bode asintotici

della funzione di sensitività S(jω). Posto d(t) = D̄ sin(ω̄t) si scelgano

D̄ ed ω̄ e si indichi l’espressione della risposta a regime y in base

∞

al controllore progettato, assumendo nulli gli altri ingresse (w = 0 e

n = 0).

(2c) Si supponga che l’attuatore sia un ritardo di tempo pari a τ (da scegliere

opportunamente) e A(s) sia modellato utilizzando l’approssimazione di

Padé con uno zero ed un polo: 1 − sτ /2

−sτ

A(s) = e ≈ 1 + sτ /2

Utilizzando il luogo delle radici e senza modificare il controllore pro-

gettato si valutino gli effetti sul sistema a ciclo chiuso.

Università degli Studi del Sannio

Anno Accademico 2006/2007

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica

Prova scritta di Controlli del 30 Novembre 2007

Docente: Francesco Vasca

Esercizio 1

Considerato il sistema di controllo in retroazione unitaria riportato in figura:

y

w e

+

- j - - - -

R(s) A(s) G(s)

− 6

Figure 1: Schema di controllo in retroazione: R(s) è la funzione di trasfer-

imento del controllore, A(s) quella dell’attuatore e G(s) quella del processo.

con 3 2s − 3

R(s) = µ A(s) = G(s) =

R 0.1s + 1 2s + 1

(1a) Si tracci il diagramma di Nyquist associato alla funzione di trasferi-

mento ad anello aperto L(s) = R(s)A(s)G(s) con µ > 0.

R

(1b) Applicando il criterio di Nyquist, si determinino i valori di µ per cui

R

il sistema a ciclo chiuso risulta asintoticamente stabile, motivando il

risultato.

(1c) Scelto un valore di µ per cui il sistema a ciclo chiuso è asintoticamente

R

stabile, si determini il valore della massima incertezza moltiplicativa del

guadagno per cui il sistema a ciclo chiuso si mantiene asintiticamente

stabile.

Si discuta, al variare di µ > 0, la posizione nel piano complesso dei

(1d) R

poli in anello chiuso.

Utilizzando il luogo delle radici, si stimino i valori di µ per cui il

(1e) R

sistema a ciclo chiuso risulta asintoticamente stabile, confrontando il

risultato con quello ottenuto al punto (1b).

Esercizio 2

Con riferimento allo schema in Fig. ??, sia 1

A(s) = 1, G(s) = (s + 1)(s + 10)

e siano assegnate le seguenti specifiche per il sistema a ciclo chiuso:

• errore a regime e ≤ 0.1 per w(t) = ramp(t);

∞

• smorzamento dei poli dominanti ξ ≥ 0.5;

• il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile ed abbia almeno

due poli complessi e coniugati.

(2a) Utilizzando il metodo del luogo delle radici, si progetti un controllore

R(s) tale che siano soddisfatte contemporaneamente tutte le specifiche

sul sistema a ciclo chiuso.

(2b) Per il controllore progettato, tracciare i diagrammi di Bode asintotici

(modulo e fase) di L(jω) = R(jω)A(jω)G(jω).

(2c) Tracciare i diagrammi di Bode (almeno dei moduli, anche approssimati

ma motivando gli andamenti) della funzione di sensitività S(jω) e della

funzione di sensitività complementare F (jω). Posto w(t) = W̄ sin(ω̄t)

si scelgano W̄ ed ω̄ e si indichi l’espressione della risposta a regime

y in base al controllore progettato, assumendo nulli gli altri ingressi

∞

(d = 0 e n = 0).

(2d) Si supponga che l’attuatore sia un ritardo di tempo pari a τ (da scegliere

opportunamente) e A(s) sia modellato utilizzando l’approssimazione di

Padé con uno zero ed un polo: 1 − sτ /2

−sτ

A(s) = e ≈ 1 + sτ /2

Utilizzando il luogo delle radici e senza modificare il controllore pro-

gettato si valutino gli effetti sul sistema a ciclo chiuso.

Corso di Laurea in: Ingegneria Informatica

Corso di: Controlli

A.A.: 2004/2005

Docente: Francesco Vasca

Assistente: Roberto Frasca

Oggetto: Prova scritta

Data: 2 Marzo 2006

Esercizio 1: criterio di Nyquist e tracciamento del luogo (Punteggio

max = 12 pt)

Data la funzione di trasferimento ad anello aperto con µ > 0

2

(s + 1)

G(s) = µ 2

s(s − 2s + 2)

(1A) Tracciare il diagramma di Nyquist. (Punteggio max = 4 pt)

(1B) Applicando il criterio di Nyquist, determinare per quali valori di µ il

sistema a ciclo chiuso risulta asintoticamente stabile. (Punteggio max

= 2 pt)

(1C) Tracciare il luogo delle radici diretto. Suggerimento: le radici dell’equazione

3 2

x + 3x − 6x + 2 sono (−4.45,0.45,1). (Punteggio max = 4 pt)

(1D) Applicando le regole del luogo determinare per quali valori di µ il sis-

tema a ciclo chiuso risulta asintoticamente stabile. (Punteggio max =

2 pt)

Esercizio 2: margini e progetto PID (Punteggio max = 12 pt)

Data la funzione di trasferimento ad anello aperto

7

G(s) = s(2s + 1)(s + 6)

(2A) Tracciando i diagrammi asintotici di Bode ed il diagramma polare,

indicare il margine di fase ed il margine di guadagno sui suddetti dia-

grammi. (Punteggio max = 7 pt)

(2B) Calcolare il valore del margine di fase e del margine di guadagno.

3 2

Suggerimento: le radici dell’equazione 4x + 145x + 36x − 49 sono

(−36,−0.72,0.47). (Punteggio max = 3 pt)

Progettare un controllore PID col metodo di assegnazione del margine

(2C) des

di fase pari a ϕ = π/4. (Punteggio max = 2 pt)

m

Esercizio 3: luogo delle radici per la sintesi (Punteggio max = 6 pt)

Data la funzione di trasferimento di processo

1

G(s) = (s + 4)

e le seguenti specifiche per il sistema a ciclo chiuso:

• e = 0 per w(t) = ramp(t);

∞

• ω ≥ 3 rad/sec;

n

mediante l’utilizzo del luogo delle radici progettare un controllore tale che

siano soddisfatte contemporaneamente tutte le specifiche sul sistema a ciclo

chiuso.

Esercizio 4: due domande di teoria (Punteggio max = 4 pt)

• Utilizzando anche schemi a blocchi, si discutano i vantaggi nellimpiego

della compensazione del segnale di riferimento. (Punteggio max = 2

pt)

In cosa consiste linserimento morbido della regolazione automatica?

• Perché si rende quasi sempre necessario? Se ne presenti uno schema.

(Punteggio max = 2 pt)

Corso di Laurea in: Ingegneria Informatica

Corso di: Controlli

A.A.: 2004/2005

Docente: Francesco Vasca

Assistente: Roberto Fras