Fondamenti di Controlli - Esercizi

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Calcolare la risposta libera tramite la forma canonica di Jordan per A

A = P^-1AP

J =

λ = 1 dim(Ker(A)) = 2

• alvoro 2 blocchi di Jordan (4x4) (2x2)

P[ν₁, ν₂, ν₃] =

A_t e^tP = P ^-1 e⁰ = I

Find x(0), s.t. y = K (K ∈ R)

x(0), s.t. y = K₁ + K₂t (K₁, K₂ ∈ R)

y(0) = (1-t)x_o1 + x_o2t = x_o1 + t(x_o2 - x_o1)

1. se y = K x_o1 = K x_o2 = K x_o3 = arbitrario
2. se y = K₁ + K₂t x_o1 = K₁ x_o2 = K₁ + K₂ x_o3 = arbitrario

m^a PH OK

Calcolare e^At, polinomio caratteristico e minimo

x^'(t) = Ax(t) ha come soluzione

x(t) = e^At x(0)

e^At = I + (At) + (At)²/2! + (At)³/3! + ... = ∑_i=0^∞ (At)ⁱ/i!

(sI - A) = [   s - 2   -1   0   0   s - 2   0   0   0   s - 2 ]

det = (s - 2)³ = ρ(s)

C_1,2 = [-1   00   s-2] = + (s-2)

C_1,4 = [-1   00   -s-2] = 0

C_2,2 = [s-2   00   s-2] = (s-2)²

C_3,2 = [s-2   0-1   0] = 0

C_3,3 = [s-2   00   s-2] = (s-2)²

(sI - A) = (s - 2)² [ 0   0   0 ]

1/(s-2)³ [ (s-2)²   0   0 0   (s-2)²   0 0   0   (s-2)² ]

x(0) = X(s) [ 1/(s-2)   1/(s-2)²   0 0   1/(s-2)   0 0   0   1/(s-2)₂ ] x(0)

1/(s-2) → 2te → t e^2t →

x(t) = [ e^2t   t e^2t   0 0   e^2t   0 0   0   e^2t ] x(0)

e^At = [ e^2t   t e^2t   0 0   e^2t   0 0   0   e ]

\(\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} u = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}\) \(x(0) = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Si determini \(u=Kx\) in retroazione dallo stato tale che la soluzione del sistema a catena chiusa sia \(x(t) = \begin{bmatrix} 3 \cos(t) \\ 3 \sin(t) \end{bmatrix}\)

\(\rho(s) = s^2 + 2s + 2 = (s+1-j)(s+1+j) = (s+1)^2+j\)

\(R =\) matrice di raggiungibilità \([B, AB] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\det(R) \neq 0 \Rightarrow\) sistema raggiungibile

\(u = Kx = -\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} R^{-1} \rho^*(A)x =\) \(-\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} R^{-1} \rho^*(A)x =\)

\(R^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\rho^*(A) = P(s) = s^2+2s+2 = A^2 + 2A + 2I =\) \(\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^2 + 2 \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =\) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =\) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

\(u = -\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 0 & -1 \end{bmatrix} x \Rightarrow K = \begin{bmatrix} 0 & -1 \end{bmatrix}\)

In catena chiusa \((A+BK)\) \(A+BK = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)

\(P(A+BK) = \lambda^2 + 2\lambda + 2 coincide \rho^*(s)\)

\(x(t) = e^{(A+BK)t} x(0) = e^{-t} \begin{bmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} \)

Si consideri un sistema descritto da

W(s) = ⁶/_{s² + 6s + 25}

1. Determinare quadrato alle alte frequenze e guadagno di Bode

K = ⁶/₆ quadrato alta frequenze

β = ⁶/₂₅ guadagno di Bode

s² + 6s + 25 = 0

Δ = 36 - 100 = -64 = -8j

s_1/2 = -3 ± j²

Non essendoci zeri di W(s) in zero, il guadagno di Bode coincide con il guadagno statico

2. Determinare il valore massimo raggiunto da S_∞ e il limite di y_H(t)

ω_m = β² + 1 + ξ²

ξ = ^β/₅

S_% = 100 * e^(-