Esercizi controlli automatici

SISTEMI DINAMICI LTI (= lineari a tempo invariante)

Dato un’equazione Eq(t) bisogna determinare una soluzione sol(t) nel dominio del tempo, che risolva l’equazione. Questo passaggio ha un costo che denotiamo T_eq.

• Eq(t) → sol(t)
• Eq(s) → sol(s)

Mediante la trasformata di Laplace trovo Eq(s) e poi trovo sol(s) e mediante l’anti-trasformata trovo sol(t).

Nello schema i 2 nodi di sopra sono nel dominio del tempo, i 2 nodi di sotto sono nel dominio della variabile complessa. Chiamiamo:

• q_i(t) = q¹(t)
• q_i(t) = q²(t)

ESERCIZIO 1

• ^. y₁(t) + 3y₁(t) + 2y₁(t) = μ(t)
• μ(t) = sca(t)
• y(0) = 0
• y^. (0) = 0

L’istante t₀ è l’istante iniziale. Indipendentemente dall’istante in cui io applico l’ingresso l’uscita sarà sempre la stessa a meno di un variaz. Questa è la caratteristica del tempo invariante. Prima di t₀ no, ci interessa cosa accade al sistema.

t₀ = 0

• ^. y₁(t) + 3y₁(t) + 2y₁(t) = μ(t)
• μ(t) = sca(t)
• y(0) = 0
• y^. (0) = 0

Sca(t) = { 1 t ≥ 00 t < 0

Se dessi μ(t) = U sca(t) vuol dire un costante per sca(t)

L [U sca(t)] = U ₁/^S

(S²+3S+5) Y(S)=U(S)Y(S)=U(S)

G(s) funzione di trasferimento

Se u vale 1Y(S)=¹/_S²+3S+2 * ¹/_S

1. Vado a calcolare le radici del denominatore di Ψ(S).S=0S²+3S+2=0S₁₂=^{-3 ± √9-8}/₂<= -1/ -2
2. Riscrivo il polinomio andando a esplicitare le radici trovateΨ(S)=¹/_(S+1)(S+2)Squesta tipologia di scomposizione è valida se il polinomio èmonico (cioè il coefficient del termine con grato più alta èuguale ed 1) se invece querni:^a/_a S²+bS+c ^√/_{^r/a S²+bS+c} costante incpoi svolumcato scomposono con radic mante monone
3. Sviluppo in fraémie sempice:¹/_(S+1)(S+2)S = ^R₁/_S+1 + ^R₂/_S+2 + ^R₃/_S → (DES 1 P;1)R₁ = (S+1)(S+2)S | S=-1R₂ = -¹/_(S+2) | S=-¹/₂R₃ = (S+1)(S+2)S | S=0

4. QuinltiesimoL^-1 [^R/S

   ]R E^pt

   R₂ = ^-1/S+² → R₂ e^-2t

   R_n + R₂ + ^R₃/_S → u(t)=-ie^-t + ¹/₂ e^-2t + ¹/₂ sca(t)

Esercizio 3

Y(s) = ¹/_5(s+2) - ¹/_s²(s+2)

Le radici sono s₁ = -2 e s₂ = 0 con molteplicità algebrica = 2

• Quando h_s: ^A/_(s-p)^m + ^B/_(s-p)ⁿ + ... + ^N/_(s-p)ⁿ
• N si calcola normalmente

^A/_s+z + ^B/_s² = ^A/_s+2 + ^A/_s + ^1/2/_s² = ^{1/4 s2 - AS(s+2) + 1/2 (s+2)/_s2(s+2)}

= ^{-1/4 s2 - AS + 2AS + N 3.96}

3.6/5.4 < K/Δ < 4.5

Δ = K²

• Se Δ è negativo cioè per K < 4.5, ho un sistema con poli complessi e coniugati
• Se Δ è positivo cioè per K > 4.5, ho un sistema con poli reali

Per 0 < K < 4.5 calcolo s t.c.s fung con il confronto di G(s) con s² + 2ξ, Sωn + Iωn²

ω_n = √(K+1)

28.8^(0.2 + K) = 8 _{0.2 + K}/^{2√K + 1}

Quindi il valore peggiore di 1^' che mi da δ più piccola e quindi non può dare un valore maggiore di S_n

Per trovare S₁ però devo considerare che S₁(0.10) > 1 e quindi

S_r = e^{-πδ/√1-δ²} massimo picco = S_r (0.10)

Valore di ω_n: equivale a (0.10)

Tempo di assestamento

t_s = 4₃/^δω_n = 6 vedendo per o K < 4.5

√K + 1 > 0.2 + K

Più K aumenta e più il tempo di assestamento diminuisce

Diagrammi di Bode si prendono dai poli complessi coniugati, vedi a trovare il valore del picco per poli reali, vedo a studiare il sottodiagramma