Esercizi con svolgimento per Fisica I

- ESERCIZIO 1 -

Un corpo di massa m è attaccato ad un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza L. Il

corpo percorre una circonferenza sul piano verticale in senso orario, in modo che il filo sia sempre

teso. Assumendo che non vi siano attriti e che l’energia meccanica si conservi trovare:

della velocità minima che il corpo deve avere affinché il filo sia sempre teso.

a) il modulo v min

Si assuma ora che all’istante t =0 il corpo si trovi ad un angolo rispetto all’asse y (v. figura)

0

muovendosi con velocità in modulo pari a v .

0

b) Si determini il modulo della tensione T del filo in queste condizioni.

Se a t il filo improvvisamente si spezza:

0

c) si determini l'istante t nel quale il corpo raggiunge la quota y=0;

f e t .

d) si tracci un grafico qualitativo di y(t) fra t 0 f

Dati numerici: m = 5 kg, L=30 cm, = 30°, v = 3 m/s

Compiti A, D: 0

: m = 2 kg, L=65 cm, = 25°, v = 5 m/s

Compiti B,C 0

SOLUZIONI

Tracciamo il diagramma delle forze in un generico punto sulla traiettoria:

a)

La II legge della dinamica in direzione normale porta in ogni punto della traiettoria a:

2

v ( )

=ma =m .

T+mgcos N L 2

v ( )

Imporre che il filo sia sempre teso lungo la traiettoria significa imporre m −mgcos( )=T 0

L

2

per ogni posizione angolare sulla traiettoria, da cui v ( ) gLcos( ) per ogni . Poiché questa

relazione deve valere per ogni affinché il filo sia sempre teso, deve valere che in ogni punto:

2

v max {gLcos( )} = gL ( ). Quindi:

Nota: vale a =0, quindi all’apice del percorso

gL

=

v

a) min

Scrivendo la II legge della dinamica in proiettandola nella direzione û , nota la velocità v si

b) 0

N

2

v 0

ottiene: T+mgcos =m , da cui:

L 2

v 0 −mgcos

T =m

b) L

Quando il filo si rompe, il corpo comincia a muoversi nel campo di accelerazione di gravità g ,

c)

con velocità iniziale in modulo pari a v e tangente alla traiettoria percorsa dal punto all’istante

0 ). Il moto del corpo sarà

della rottura del filo (

quindi con componenti della velocità sia lungo x che lungo y

quindi parabolico, composto da un moto rettilineo uniforme lungo l’asse x (con velocità

v =v cos( )) e un moto uniformemente accelerato lungo y, con accelerazione −g e velocità iniziale

0,x 0

v =v sen( ) e partendo da quota y =Lcos( ).

0,y 0 0

Impostando la legge oraria del moto uniformemente accelerato lungo y e imponendo che all’istante

1 2

y ( t ) 0 L cos v sen t gt , da cui

t il corpo si trovi a quota y =0 si ottiene:

f f f 0 f f

2

2

v sen ( v sen ) 2 Lg cos

0 0

t = . Considerando che ci aspettiamo t >0, la soluzione corretta

f f

g

sarà 2 2

v sen ( v sen ) 2 Lg cos v sen ( v sen ) 2 Lg cos

0 0 0 0

t =

c) f g g

d)

SOLUZIONI NUMERICHE

v =1.7 m/s T=107.6 N t = 0.4 s

Compiti A, D: a) b) c)

min f

v =2.5 m/s T=59.2 N t = 0.6 s

Compiti B, C: a) b) c)

min f

- ESERCIZIO 2 -

Un corpo di massa M è appoggiato su un piano inclinato liscio. Un corpo di massa m è appoggiato

su M ed è connesso ad una parete mediante un filo inestensibile di massa trascurabile (v. figura). Il

filo è teso ed è parallelo al piano inclinato. e il coefficiente di attrito dinamico è .

Il coefficiente di attrito statico tra m ed M è s D

a) Qual è l'angolo massimo fra il piano inclinato e l'orizzontale tale per cui il corpo M non si

max

muove? 1

b) Se = , qual è il modulo F della forza di attrito statico tra i due corpi?

max as

2

Sia ora l'angolo tra il piano inclinato e l'orizzontale. Si

determinino nel sistema di riferimento rappresentato:

a

c) l'accelerazione del blocco M;

M

del filo

d) la tensione T

:

Dati numerici

: M = 1 kg, m = 800 g, = 0.35, = 0.3, = 25°

Compiti A, D s D

: M = 1.3 kg, m = 600 g, = 0.8, = 0.7, = 60°

Compiti B, C s D

SOLUZIONI

Diagramma delle forze F

In questo caso i vettori sono da intendere come la forza di attrito statico F poiché dobbiamo

a) a a , s

imporre che non ci sia moto nel sistema (e quindi, in particolare, tra m ed M). Impostiamo la II

, imponendo che non ci sia moto nel sistema. Proiettando nelle

legge della dinamica F m

a

i

i , T, N , N i moduli

direzioni x e y del sistema di riferimento in figura si ottiene (indicando con F

as m,M p

rispettivamente della forza di attrito statico, della tensione del filo, della normale tra m ed M e la