Esercizi con svolgimento per Fisica I

- ESERCIZIO 2 -

Un corpo di massa M è appoggiato su un piano inclinato liscio. Un corpo di massa m è appoggiato

su M ed è connesso ad una parete mediante un filo inestensibile di massa trascurabile (v. figura). Il

filo è teso ed è parallelo al piano inclinato. e il coefficiente di attrito dinamico è .

Il coefficiente di attrito statico tra m ed M è s D

a) Qual è l'angolo massimo fra il piano inclinato e l'orizzontale tale per cui il corpo M non si

max

muove? 1

b) Se = , qual è il modulo F della forza di attrito statico tra i due corpi?

max as

2

Sia ora l'angolo tra il piano inclinato e l'orizzontale. Si

determinino nel sistema di riferimento rappresentato:

a

c) l'accelerazione del blocco M;

M

del filo

d) la tensione T

:

Dati numerici

: M = 1 kg, m = 800 g, = 0.35, = 0.3, = 25°

Compiti A, D s D

: M = 1.3 kg, m = 600 g, = 0.8, = 0.7, = 60°

Compiti B, C s D

SOLUZIONI

Diagramma delle forze F

In questo caso i vettori sono da intendere come la forza di attrito statico F poiché dobbiamo

a) a a , s

imporre che non ci sia moto nel sistema (e quindi, in particolare, tra m ed M). Impostiamo la II

, imponendo che non ci sia moto nel sistema. Proiettando nelle

legge della dinamica F m

a

i

i , T, N , N i moduli

direzioni x e y del sistema di riferimento in figura si ottiene (indicando con F

as m,M p

rispettivamente della forza di attrito statico, della tensione del filo, della normale tra m ed M e la

normale tra M e il piano inclinato e con g il modulo dell’accelerazione di gravità):

m lungo x: F + mgsen( ) − T = 0 I

as

m lungo y: N − mgcos( ) = 0 II

m,M

M lungo x: Mgsen( ) − F = 0 III

as

M lungo y: N − N − Mgcos( ) = 0 IV

p m,M

Ricordando che F non ha un valore fissato, ma assume il valore necessario a impedire lo

as

scorrimento relativo tra i due corpi a contatto, fino a un limite massimo F µ N (

nota: la normale

as s M,m

da considerare per la valutazione del limite massimo di F è quella tra le due superfici a contatto tra le quali l’attrito

as

) possiamo scrivere, considerando II e III:

si sviluppa, quindi in questo caso la normale tra m ed M m

Mgsen( ) = F µ N = µ mgcos( ), da cui si ottiene tan( ) µ , quindi

as s M,m s s M

m

= arctan

a) max s M

1

Se = , siamo nella condizione in cui la forza di attrito statico è in grado di opporsi allo

b) max

2

scorrimento di M. Vale quindi il sistema precedentemente impostato e dalla III equazione nel si

ottiene direttamente: 1

F = Mgsen

b) as max

2

Poiché ora > , M si metterà in moto lungo la direzione x. Si noti che m invece non si

c) max

muoverà, in quanto vincolato alla parete attraverso il filo (ideale, quindi inestensibile). Nel

diagramma delle forze precedentemente rappresentato F è la forza di attrito dinamico F = µ N

a ad d m,M

. La II

(si ricordi che, al contrario della forza di attrito statico, la forza di attrito dinamico HA un valore ben definito)

legge della dinamica si può quindi ora scrivere (indicando con a la componente lungo x

M

dell’accelerazione del corpo M):

m lungo x: µ N + mgsen( ) − T = 0 I

d m,M b

m lungo y: N − mgcos( ) = 0 II

m,M b

M lungo x: Mgsen( ) − µ N = Ma III

d m,M M b

M lungo y: N − N − Mgcos( ) = 0 IV

p m,M b m

Inserendo II in III si ottiene: Mgsen( )−µ mgcos( )=Ma , da cui: a = g .

sen ( ) cos( )

b b d M M D M

Quindi: m .

a g sen ( ) cos( ) u

c) M D x

M

Inserendo II in I si ottiene T = mg(sen( ) + µ cos( )). Si ricordi però che T è il modulo della

d) b b d