Esercitzione bacino idrografico

N

= =

l l

1 1

che vuol dire quota dei valori di N che ricadono al di sotto dell’estremo destro della

classe j.

L’ultima colonna, invece, rappresenta la cosiddetta frequenza di non superamento

ottenuta dal rapporto del numero di osservazioni in cui il

relativa al singolo valore,

singolo valore non viene superato e il numero di osservazioni totali aumentato di una

unità. Questo aumento è una correzione necessaria, in quanto la sua assenza

comporterebbe all’attribuzione al valore più grande del campione di una frequenza di

non superamento pari a 1 (cioè dire che il valore massimo del nostro campione sia

insuperabile dall’alto) il che è una incongruenza. Quindi:

N ≤

= = x x

( )

F F x i

+

i i 1

N

Se però, come esposto in tabella, si ordinano le grandezze in senso crescente

(indice i) allora semplicemente posso scrivere:

i

=

F +

i N 1

dove al solito N è il numero di grandezze costituente il nostro campione, cioè 48.

N.B. Vedasi distribuzioni negli istogrammi allegati. 12

- Esercitazione di Infrastrutture idrauliche – Bacino idrologico

3.4 Parametri della distribuzione di probabilità di Gauss

La funzione “Gaussiana” o “Normale” è la funzione che dà la distribuzione e/o la

densità di probabilità di una variabile continua avente una normalità. Si dimostra, in

generale, adattarsi bene al caso delle precipitazioni annue. Esistono due modi per

χ 2

verificare ciò: il primo è un test, denominato ed un altro più

Test del o di “Pearson”,

immediato che si avvale dell’uso dei (uno per ogni

cartogrammi probabilistici

distribuzione di probabilità).

In viene rappresentato proprio questo test.

figura 4

Dopodichè si procede all’effettivo tracciamento delle curve di Distribuzione P(h) e

secondo la funzione di Gauss. Questa curva è

Densità p(h) della probabilità

caratterizzata da due parametri che sono M e S dove il primo è uguale alla media e

il secondo allo scarto quadratico medio.

La funzione è asintotica ed è una curva ad S

Probabilità di non superamento P(h)

mentre la funzione è una curva a campana che è definita

Densità di Probabilità p(h) ⇒

come la derivata della P(h) rispetto all’intervallo dh p(h) = dP(h)/dh .

Il tracciamento avviene per punti, inoltre vengono utilizzate le formule approssimate

di per il calcolo della

Abramovitz-Stegun Probabilità di non superamento P(h)

essendo quella esatta una funzione integrale.

Infatti l’espressione della funzione di Gauss è:

2

−

⎛ ⎞

1 h M h

−

1 ⎜ ⎟ ∫

= ⋅ =

⎝ ⎠

2 S

( ) ( ) ( )

p h e P h p h dh

π ⋅

2 S −∞

dove h indica la variabile continua, che è nel nostro caso l’altezza annua di

precipitazione, S e M i parametri delle curve, sopra definiti. È possibile utilizzare le

formule canoniche delle su scritte equazioni ponendo la variabile h pari a

= − in modo da semplificare le espressioni.

u ( h M ) / S

Si dimostra infatti che: p (

u )

= =

p ( h ) e P ( h ) P (

u )

S

è abbastanza immediata da ricavare, mentre la si ottiene dalle relazioni

p(u) P(u)

approssimate: 13

- Esercitazione di Infrastrutture idrauliche – Bacino idrologico

⎛ ⎞

2

u

−

1

> = − ⋅

⎜ ⎟

2

u P u e K u

se 0 ( ) 1 ( )

⎜ ⎟

π

2

⎝ ⎠

2

u

−

1

< = ⋅ −

2

u P u e K u

se 0 ( ) ( )

π

2

in cui è una espressione polinomiale funzione di e di 6 costanti fissate.

K(u) u

La tabella seguente mostra l’elaborazione necessaria per il tracciamento delle curve.

Si sono scelti intervalli di pari a 25 mm.

h

Nelle vengono illustrati i rispettivi andamenti grafici, che mostrano anche

figure 5 e 6,

come si adattino la p(h) all’istogramma delle frequenze relative di classe e la P(h)

alla spezzata delle frequenze empiriche di non superamento. Δ

Tabella 4 : Elaborazioni per la rappresentazione della P(h) e della p(h) h

h u P(u) = P(h) p(h)∆(h) 450,00 -0,23 0,410693580 0,5545

475,00 -0,05 0,481044604 0,5682

[mm] 500,00 0,13 0,551995898 0,5640

25,00 -3,26 0,000565645 0,0028 525,00 0,31 0,621314544 0,5423

50,00 -3,08 0,001043935 0,0050 550,00 0,49 0,686929469 0,5052

75,00 -2,90 0,001870481 0,0085 575,00 0,67 0,747101472 0,4559

100,00 -2,72 0,003254324 0,0140 600,00 0,84 0,800561090 0,3985

125,00 -2,54 0,005498980 0,0224 625,00 1,02 0,846575906 0,3375

150,00 -2,36 0,009026377 0,0347 650,00 1,20 0,884947555 0,2769

175,00 -2,19 0,014396697 0,0521 675,00 1,38 0,915947725 0,2200

200,00 -2,01 0,022317808 0,0757 700,00 1,56 0,940211488 0,1694

225,00 -1,83 0,033636908 0,1066 725,00 1,73 0,958610401 0,1263

250,00 -1,65 0,049307205 0,1454 750,00 1,91 0,972126950 0,0913

275,00 -1,47 0,070324751 0,1921 775,00 2,09 0,981747036 0,0639

300,00 -1,30 0,097635058 0,2459 800,00 2,27 0,988380367 0,0433

325,00 -1,12 0,132015490 0,3049 825,00 2,45 0,992811598 0,0284

350,00 -0,94 0,173946636 0,3661 850,00 2,63 0,995679457 0,0181

375,00 -0,76 0,223492007 0,4260 875,00 2,80 0,997477634 0,0112

397,97 -0,60 0,275355768 0,4761 900,00 2,98 0,998569953 0,0067

425,00 -0,40 0,343109592 0,5243

3.5 Deflusso medio annuo utilizzabile

Attraverso la distribuzione di probabilità di Gauss viene ricavata l’altezza di pioggia h

tale che abbia probabilità di non superamento del 25 % poiché è nostra intenzione

avere un’affidabilità del nostro deflusso medio annuo utilizzabile del 75 % , allora,

14

- Esercitazione di Infrastrutture idrauliche – Bacino idrologico

considerando un coefficiente di deflusso C = 0,30 ottengo che il volume medio

d

annuo utilizzabile è pari a: = ⋅ ⋅ = 3

m

D h A C 39515

0 , 75 0 , 75 d 2

dove rappresenta l’area del bacino pari a , e è pari a 388

A 0.34 km c = 0.30 h

0.75

mm.

4 Stima indiretta della portata di massima piena

4.1 Posizione del problema

Il fine di questa stima è risolvere un tipico problema di difesa idraulica del territorio,

che ha come fondamento quello di trovare o meglio di prevedere l’evento naturale (o

scatenato da cause artificiali) di portata massima che possibilmente transiterà nella

sezione di interesse. Anche in questa analisi si deve sempre garantire una certa

affidabilità nelle opere a difesa del territorio. In pratica questo vuol dire che le opere

di difesa del territorio debbano proteggere quasi sempre. Quindi non è da escludere

la possibilità che in un qualunque momento queste non siano sufficienti, e quindi si

procede in modo che il tempo mediamente intercorrente fra successivi superamenti

di quel valore limite (ad esempio di portata) sia molto alto. Questo tempo viene

chiamato (per un assegnato valore della variabile). Il tempo di

Tempo di ritorno

ritorno e di probabilità di non superamento dell’evento sono correlati come

dimostrato dalla relazione che intercorre tra questi:

−

T 1

= R

P T

R

La scelta del tempo di ritorno viene fatta principalmente in relazione al potenziale

danno che si avrebbe se l’evento, supposto raro, accadesse.

Nel caso in esame, si considera ancora lo stesso bacino, e la stessa sezione di

interesse. Si assume inoltre un tempo di ritorno pari a cento anni, in via del fatto che i

possibili danni da esondazione sono bassi.

La stima della portata è di tipo indiretta, cioè si valuta la portata solo in base ai dati di

precipitazione. Si procede quindi a trovare una giusta relazione tra precipitazione e

portata. 15

- Esercitazione di Infrastrutture idrauliche – Bacino idrologico

4.2 Stima della frequenza empirica di non superamento per la serie di dati di

pioggia di massima intensità per varie durate

Dalla stessa stazione pluviografica di Catenanuova si ricavano i dati delle altezze

massime annuali di pioggia registrate in intervalli di tempo determinati. Questi

intervalli sono rispettivamente:

1 ora, 3 ore, 6 ore, 12 ore, 24 ore, per un periodo di anni che va dal 1975 al 2000 (tra

questi non è presente il 1976 ,vedi .

tabella 5)

Per ogni intervallo temporale si studia la distribuzione di probabilità di tali massimi

annuali, non più mediante la distribuzione normale di Gauss, bensì con la

distribuzione di probabilità di Gumbel.

Questa scelta la si può giustificare e verificare con il già usato metodo del

che in pratica ci permette una volta entrati con i dati delle

Cartogramma probabilistico

frequenze empiriche di non superamento di vedere se i valori si dispongono

approssimativamente ad una retta. In viene illustrato tutto ciò mentre nella

figura 7

seguente tabella (tabella sono esposti le necessarie elaborazioni.

6)

Infine si deve precisare che per fini puramente didattici si è tolto dai dati del

pluviografo l’anno 1975 + 3 = 1978, mentre si è deciso di non considerare i dati

corrispondenti all’intervallo temporale di 24, perché notevolmente superiore al tempo

di corrivazione del bacino di nostro interesse.

Tabella 5 : Massimi annuali dell’altezza di precipitazioni (mm) per varie durate, al pluviografo

di Catenanuova. 1991 25,0 30,8 41,8 56,4

t [ore]

ANNO 1992 22,0 51,8 67,0 101,6

1 3 6 12

1975 20,8 22,4 30,4 34,4 1993 54,0 60,2 62,0 62,0

1977 18,0 24,0 24,6 24,8 1994 30,0 41,6 47,4 54,8

1979 14,8 28,8 39,4 49,8 1995 23,2 24,6 28,2 36,0

1980 20,6 22,0 38,2 38,2 1996 30,0 31,0 36,4 37,6

1981 14,6 22,4 25,4 28,2 1997 41,0 54,0 54,0 55,6

1982 16,0 22,6 31,6 33,8 1998 20,0 20,6 21,0 21,6

1983 32,2 46,6 52,6 61,6 1999 31,6 43,8 48,8 61,8

1984 19,4 26,4 27,4 44,6 2000 32,2 32,2 48,3 50,0

1985 22,0 25,6 27,2 50,2 26,4 33,2 39,7 47,6

H

m

1986 26,6 27,2 39,2 46,4 12,3 13,9 14,3 17,9

S

1987 64,4 67,2 71,2 71,6 0,10 0,09 0,09 0,07

α

1988 18,8 26,0 40,2 60,0 20,87 26,89 33,31 39,49

X

0

1989 11,0 13,2 19,0 24,8 65,06 76,73 84,54 103,78

h(t) 100

1990 25,8 30,6 32,4 35,6 24,39 30,87 37,39 44,61

h(t) 2

16

-

4.3 Parametri della distribuzione di probabilità di Gumbel

In seguito viene riportata la con le elaborazioni necessarie allo studio delle

tabella 7

distribuzioni di probabilità. Le ultime tre righe sono importanti in quanto servono per i

seguenti motivi:

Trovare 2 punti per tracciare le rette nel cartogramma di figura 7

ƒ Trovare l’altezza massima, in ciascuno intervallo, av