Esercitazioni svolte su tutti gli argomenti del corso di geometria

Esercizi sui vettori e la loro struttura lineare - 19/10/19

Esercizio 1

Sia {v₁, v₂, v₃} una base di V

• u = 2v₂ - v₃
• v = v₂ + ¹/₃ v₃
• w = -2v₁ + v₂

1. Scrivere un vettore parallelo ad u:

dZ u = dZ + βu = 0 con d, β ∈ ℝ non tutti 0

Z = β(2v₂-v₃) = 0

Z = β(2v₂-v₃)

2. Scrivere un vettore ortogonale ad u e v:

Z ∈ ortogonale a u e v ⇔ dZ + βu + γv = 0 con d, β, γ ∈ ℝ non tutti 0

dZ + βu + γv = 0

Z = β(2v₂-v₃) + γ(v₂ + ¹/₃ v₃) = 0

con d ≠ 0

Z = β(2v₂-v₃) + γ(v₂ + ¹/₃ v₃)

3. Scrivere un vettore non ortogonale cui ∈ ortogonale con u e v:

Z non è ortogonale ⇔ dZ + βu + δv = 0 con d, β, δ ∈ ℝ tutti 0

dZ + βu + δv = 0

dZ = β(2v₂ - v₃) + δ(v₂ + ¹/₃ v₃) = 0

Z + 2βv₂ - βv₃ + δv₂ + δ ¹/₃ v₃ = 0

dZ = (2β)v₂ - β + ¹/₃ δ v₃ = 0

• {d = 0
• 2β = 0
• t = 0
• - β - ¹/₃ δ = 0
• β = 0}
• {d > 0
• β = 0
• δ = 0
• β = 0}

4)

I vettori u, v e w sono complanari?

d u + β v + γ w = 0

con α, β, γ ∈ ℝ non tutti 0

{ 2 d (√2 v₁ - v₃) + β (√2 v₂ + ½ v₃) + γ (-2 v₂ + √2 v₂) = 0

2 d - 2 γ = 0

d = ½ β β = ½ γ { γ = 1²/d } { β = γ } { 2 d - 2 γ = 0 } β + γ - β = 0 β = ±2

I vettori sono non complanari, cioè LF.

5)

I vettori u, v, t sono complanari?

d u + β v + γ t = 0

{ 2 d (√2 v₁ + v₃) + β (√2 v₂ + ½ v₃) + γ (√2 v₂ - 3/2) = 0

{ 2 d + 2 v } = 0

2 - γ

γ + 2 β = 0

β = d = γ

6)

I vettori u, v, w, t sono linearmente indipendenti?

d u + β v + γ w + λ t = 0

con α, β, γ, λ ∈ ℝ

I vettori u, v, w, t sono LI ↔ d = β = d = 0

{ 2 d (√2 v₁ + v₃) + β (√2 v₂ + ½ v₃) + γ (√2 v₂ + 2 β) + λ (2 v₂ - 2 v₂ - 3/2) = 0

{ 2 d - 2 γ + 2 γ = 0 } { β = 2 d + 2 λ } { 2 - λ + 2 γ - 2 γ = 0 }

γ = λ

β = λ - γ

γ + 2 β = 0

2 = ½ λ + ½ β

1. Si considerano i punti

   A = 4−20, B = 326, C = 4−2−2

   Si verifichi che A, B, C non sono allineati; in tal caso si determini il vertice D del parallelogrammo individuato dai vettori (B-A) (C-A). Si determinino le lunghezze dei lati e delle due diagonali e si determini l'ampiezza dell'angolo del parallelogramma.

   246 B-A =,

   03−2 C-A =

   Devo verificare che (B-A) e (C-A) non sono paralleli, cioè 1: uno non è multiplo dell'altro, quindi non sono paralleli.

2. O-A = (B-A) + (C-A) =

   25−6

   D = A + 25−6 =

   33−6

3. (B-A) = ^{√_{2^ 2 + 2^ 2 + −4^ 2 =} 2 √6}

   (C-A) = ^{√_{3^ 2 - 2^ 2 =} 2 √13}

   Lati

4. (O-A) = ^{√_{2^ 2 + 5^2 + 6 =}} √65

   C-B = -212 ⟶ (C-B) = √₃ = 3

   Diagonali

5. (B-A) ∧ (C-A) = 200 23-2 -4-20

   ijk 22-4 03-2 = −6+12+6

   = 8 4 6 = ^{√_{64 + 16 + 36} = √_{116 = 2 √29}}

51) Determinare la linearità ed equazioni di:

f_λ: ℝ³ → ℝ³

f_λ (_x^y_z) = (_x+y+λz^y-z+λ_x+λz)

e per i valori per cui f_λ è lineare, determinare il nucleo al var e la sua immagine

Verifica che sia additiva:

fλ (x1y1z1) + fλ (x2y2z2) = fλ (x1+x2y1+y2z1+z2)

= fλ (x1+x2y1+y2z1+z2) = ((x1+x2)+(y1+y2)+λ(z1+z2) (y2+z2)+λ (x2+λz2))

= (x1+y1+z1y1-z1+λx1+λz1) + (x2+y2+λz2y2-z2x2+λz2)

↓ = ↓ ↔ λ = 0

Verificare l'omogeneità:

f_λ (_x^y_z) = μf( _x^y_z) μ∈ℝ

Scrivere la retta r in forma cartesiana:

t = ¹/₂ x₁

quindi:

• 2x₁ + x₂ = 1
• x₁ + x₃ = 1

Devo studiare il sistema

x : x

1 :

=> AX = b₁ (non omogeneo)

quindi:

A = | 1 1 -1 |  b₁ = | 1 |         | 1 -1 b |       | 1 |         | 2 1 2 |       | 1 |         | 1 0 1 |       | 1 |

Vediamo se il sistema ha soluzioni:

rango (A) = rango (A | b)

vediamo quindi:

r(A) = {         | 2 => rango (A|b) = 2 => R₁ ≠ 1         | 3 => R₁/R         | 3 => R₁, R incidenti         | 4 => R₁, R regolamente     }

Questo sistema vale per due rette in forma cartesiana