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Esercizi sui vettori e la loro struttura lineare - 19/10/19
Esercizio 1
Sia {v1, v2, v3} una base di V
- u = 2v2 - v3
- v = v2 + 1/3 v3
- w = -2v1 + v2
- Scrivere un vettore parallelo ad u:
dZ u = dZ + βu = 0 con d, β ∈ ℝ non tutti 0
Z = β(2v2-v3) = 0
Z = β(2v2-v3)
- Scrivere un vettore ortogonale ad u e v:
Z ∈ ortogonale a u e v ⇔ dZ + βu + γv = 0 con d, β, γ ∈ ℝ non tutti 0
dZ + βu + γv = 0
Z = β(2v2-v3) + γ(v2 + 1/3 v3) = 0
con d ≠ 0
Z = β(2v2-v3) + γ(v2 + 1/3 v3)
- Scrivere un vettore non ortogonale cui ∈ ortogonale con u e v:
Z non è ortogonale ⇔ dZ + βu + δv = 0 con d, β, δ ∈ ℝ tutti 0
dZ + βu + δv = 0
dZ = β(2v2 - v3) + δ(v2 + 1/3 v3) = 0
Z + 2βv2 - βv3 + δv2 + δ 1/3 v3 = 0
dZ = (2β)v2 - β + 1/3 δ v3 = 0
- {d = 0
- 2β = 0
- t = 0
- - β - 1/3 δ = 0
- β = 0}
- {d > 0
- β = 0
- δ = 0
- β = 0}
4)
I vettori u, v e w sono complanari?
d u + β v + γ w = 0
con α, β, γ ∈ ℝ non tutti 0
{ 2 d (√2 v1 - v3) + β (√2 v2 + ½ v3) + γ (-2 v2 + √2 v2) = 0
2 d - 2 γ = 0
d = ½ β β = ½ γ { γ = 12/d } { β = γ } { 2 d - 2 γ = 0 } β + γ - β = 0 β = ±2
I vettori sono non complanari, cioè LF.
5)
I vettori u, v, t sono complanari?
d u + β v + γ t = 0
{ 2 d (√2 v1 + v3) + β (√2 v2 + ½ v3) + γ (√2 v2 - 3/2) = 0
{ 2 d + 2 v } = 0
2 - γ
γ + 2 β = 0
β = d = γ
6)
I vettori u, v, w, t sono linearmente indipendenti?
d u + β v + γ w + λ t = 0
con α, β, γ, λ ∈ ℝ
I vettori u, v, w, t sono LI ↔ d = β = d = 0
{ 2 d (√2 v1 + v3) + β (√2 v2 + ½ v3) + γ (√2 v2 + 2 β) + λ (2 v2 - 2 v2 - 3/2) = 0
{ 2 d - 2 γ + 2 γ = 0 } { β = 2 d + 2 λ } { 2 - λ + 2 γ - 2 γ = 0 }
γ = λ
β = λ - γ
γ + 2 β = 0
2 = ½ λ + ½ β
- Si considerano i punti
A = 4−20, B = 326, C = 4−2−2
Si verifichi che A, B, C non sono allineati; in tal caso si determini il vertice D del parallelogrammo individuato dai vettori (B-A) (C-A). Si determinino le lunghezze dei lati e delle due diagonali e si determini l'ampiezza dell'angolo del parallelogramma.
246 B-A =,
03−2 C-A =
Devo verificare che (B-A) e (C-A) non sono paralleli, cioè 1: uno non è multiplo dell'altro, quindi non sono paralleli.
- O-A = (B-A) + (C-A) =
25−6
D = A + 25−6 =
33−6
-
(B-A) = √2^ 2 + 2^ 2 + −4^ 2 = 2 √6
(C-A) = √3^ 2 - 2^ 2 = 2 √13
Lati
-
(O-A) = √2^ 2 + 5^2 + 6 = √65
C-B = -212 ⟶ (C-B) = √3 = 3
Diagonali
-
(B-A) ∧ (C-A) = 200 23-2 -4-20
ijk 22-4 03-2 = −6+12+6
= 8 4 6 = √64 + 16 + 36 = √116 = 2 √29
51) Determinare la linearità ed equazioni di:
fλ: ℝ3 → ℝ3
fλ (xyz) = (x+y+λzy-z+λx+λz)
e per i valori per cui fλ è lineare, determinare il nucleo al var e la sua immagine
Verifica che sia additiva:
fλ (x1y1z1) + fλ (x2y2z2) = fλ (x1+x2y1+y2z1+z2)
= fλ (x1+x2y1+y2z1+z2) = ((x1+x2)+(y1+y2)+λ(z1+z2) (y2+z2)+λ (x2+λz2))
= (x1+y1+z1y1-z1+λx1+λz1) + (x2+y2+λz2y2-z2x2+λz2)
↓ = ↓ ↔ λ = 0
Verificare l'omogeneità:
fλ (xyz) = μf( xyz) μ∈ℝ
Scrivere la retta r in forma cartesiana:
t = 1/2 x1
quindi:
- 2x1 + x2 = 1
- x1 + x3 = 1
Devo studiare il sistema
x : x
1 :
=> AX = b1 (non omogeneo)
quindi:
A = | 1 1 -1 | b1 = | 1 | | 1 -1 b | | 1 | | 2 1 2 | | 1 | | 1 0 1 | | 1 |
Vediamo se il sistema ha soluzioni:
rango (A) = rango (A | b)
vediamo quindi:
r(A) = { | 2 => rango (A|b) = 2 => R1 ≠ 1 | 3 => R1/R | 3 => R1, R incidenti | 4 => R1, R regolamente }
Questo sistema vale per due rette in forma cartesiana