Idrogeologia - Esercitazioni

C

T log R/r

= ( ) dove R è il raggio d'influenza del pozzo, mentre r è il raggio del boccapozzo.

2,73 2

Sostituendo con i dati a disposizione e ricavati si ottiene che T = 0,013736 m /s.

2. Falda confinata

È un caso analogo a quello precedente, ed il procedimento per ricavare i parametri è il medesimo. Si

riportano solo i risultati.

Si rimanda alla scheda allegata per la tabella coi dati di partenza.

3

Q .= 0,00875 m /s

• c

Δh = 17,5 m

• c 3

Q = 90% Q = 0,007875 m /s

• e c

• C' = 1377

• B = 65456

• E = 71%

•

• 2

T = 0,000572 m /s.

• 0,03 f(x) = − 0,0000032x² + 0,0005433x + 0,0003301

0,02 R² = 0,9950300

0,02

0,02

0,02

0,01

Q 0,01

0,01

0,01

0

0 0 10 20 30 40 50 60 70

dh

3100

2900 f(x) = 65456,15x + 1377,26

2700 R² = 0,89

2500

2300

dh/Q 2100

1900

1700

1500 0 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03

Q

3. Falda confinata Questo è un caso di falda confinata con misura su stazioni di

Δh pozzo Δh p1 Δh p2 Q prova: vengono forniti i dati della portata emunta da un pozzo, il

3

m /s

m m m rispettivo abbassamento piezometrico Δh e l'abbassamento

0 0 0 0 piezometrico rilevato da due piezometri p1 e p2 posti a 21,5 e

3,74 1,71 1,37 0,213 42,4 m dal pozzo. Il raggio del boccapozzo è 0,4 m.

5,12 2,28 1,82 0,261 Per svolgere l'esercizio si deve applicare la formula

6,13 2,72 2,17 0,293 0,366 Q[ log(r )−log(r )] Dove r è il raggio

poz piez

Δh= poz

T

r pozzo r p1 r p2 del boccapozzo, r è la distanza del piezometro dell'asse del

m m m piez

pozzo e T la trasmissività.

0,4 21,5 42,4 Se si raccoglie

-0,40 1,33 1,63 (log) 0,366 Q/T Δh=C[ log( r

=C ⇒ )−log(r )]

poz piez

Si ottiene l'equazione di una retta con

7 f(x) = − 1,96x + 5,35 C coefficiente angolare. Si può così

6 costruire un grafico Δh – log r con le

f(x) = − 1,63x + 4,47

5 misure a disposizione.

Note le equazioni delle tre rette

4 ricavate, si può calcolare il raggio

dh 3 d'azione del pozzo R quando Δh= 0,

2 ovvero all'intercetta sull'asse delle x

1 delle tre funzioni (che infatti non

f(x) = − 1,17x + 3,27 sono parallele e paiono convergere ad

0

-1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 uno stesso valore).

log r

Invertendo l'equazione delle rette e risolvendo per x=0 si ottengono i seguenti valori

logR

10

Equazione inversa log R

0=(y-5,35)/1,96 2,73 533,99 m

0=(y-4,47)/1,63 2,74 543,77

0=(y-3,27)/1,17 2,79 623,73

567,16 m

Si ottiene un valore massimo di raggio d'azione del pozzo R di quasi 624 m (potenzialmente il pozzo può

arrivare fino a tale raggio d'influenza) ed un valore medio di circa 567 m.

Per ricavare la trasmissività T dell'acquifero, basta considerare l'equazione sopra. Il coefficiente angolare

delle rette C è 0,366 Q

C= T

I coefficienti angolari delle rette sono noti dal grafico sopra e sono (in valore assoluto): 1,96; 1,63; 1,17.

Basta invertire la formula e risolvere per T

3 2

Q [m /s] T [m /s]

|C| [m] Si inseriscono nella formula i valori di portata Q dei rispettivi

0,213 1,1712 0,067 coefficienti angolari C per ricavare tre trasmissività.

0,261 1,6335 0,058

0,293 1,9606 0,055 2

Alla fine si considera il valor medio T = 0,060 m /s.

0,060

4. Falda non confinata

3 2

Q [m /h] Q /dh

dh [m] Q/dh In questo esercizio si vogliono ricavare i valori di portata critica

0 0 Q e di permeabilità K di una falda non confinata.

c

Viene effettuata un prova in pozzo di cui i dati a sinistra.

1 50 2500,0 50,0 Il raggio del boccapozzo r misura 0,15 m ed il raggio

1,5 66 2904,0 44,0 d'influenza R del pozzo assume il valore standard di 200 m.

2,5 91 3312,4 36,4

3,4 104 3181,2 30,6 Per determinare la portata critica Q si deve costruire un grafico

4,2 110 2881,0 26,2 c

2

Q /dh – Q, operando una opportuna trasformazione dei dati di

6 120 2400,0 20,0 partenza.

8,5 130 1988,2 15,3 Si possono interpolare le misure sperimentali con un polinomio

di terzo grado

r 0,15 m

R 200 m Nota l'equazione della funzione si può

3400,0 determinare il suo massimo

facendone la derivata e trovare

3000,0 quando questa si annulla. In quel

punto si ottiene il valore della portata

critica.

Q2/dh 2600,0 -0,0026x3+ 0,0389x2+

y = 53,957x

2200,0 2

y' = -0,0078x + 0,0778x + 53,957

f(x) = − 0,0026x³ + 0,0389x² + 53,9569x

1800,0 Quest'ultimo è un polinomio di

30 60 90 120 150 secondo grado e si risolve con la

relativa formula (considerando il solo

Q valore con un significato fisico)

√ 2

b ac

−b± −4

x =

1,2 2 a

3

Dacché risulta che Q = 88,3 m /h.

c

60,0 Per determinare la permeabilità K

50,0 dell'acquifero si deve costruire un grafico

Q/dh – dh.

40,0

30,0

Q/dh Attraverso la solita interpolazione di dati

ottengo l'equazione di una retta di cui sono

20,0 interessato al coefficiente angolare.

f(x) = − 4,53x + 49,31

10,0 R² = 0,91

0,0 Infatti la curva caratteristica di una falda

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 libera ha come funzione (secondo la teoria

di Dupuit:

dh 2 2

H −h 2 2

Q=1,36 K H H−Δ h)Δ h

=C ( −h )=C (2

log( R/r )

Col grafico in alto non si fa altro che rappresentare l'equazione,

Q 2 H−Δ h)

=C(

h

Δ

dove C è il coefficiente angolare. 1,36 K

C= log( R/r )

Si ottiene C dalla formula di Dupuit per la falda libera.

Noti il coefficiente angolare in valore assoluto (4,53), il raggio del boccapozzo (0,15 m) ed il raggio

d'influenza del pozzo (200 m), basta risolvere per K e trovare K = 10,4 m/h.

5. Falda confinata

100 Si tratta di un caso analogo ai primi due, con

l'unica differenza che il grafico della curva

f(x) = 16,88x + 0,64

80 caratteristica risulta essere in realtà un retta,

R² = 1

60 motivo per cui non esiste una portata critica Q .

c

Q 40 Ogni portata ed abbassamento possono essere

20 impiegati per calcolare la trasmissività.

Il rapporto Q/Δh è costante e pari a circa 17 (è

0 il coefficiente delle retta nel grafico).

1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

dh Basta applicare l'inversa della formula di

Dupuit per calcolare la trasmissività T (vedi

sopra) e ricavare 2 2

T m m

=19,44 /h≃0,0054 /s

Luca Iacolettig

111895 9 e11.12.2014

Applicazione dei metodi di Jacob e Theis

Vengono forniti i dati rilevati da tre piezometri durante una prova a portata Q costante (Q = 788

3

m /d), in regime di non equilibrio.

Per tempi crescenti, nei tre piezometri si rilevano continuamente gli abbassamenti del livello

piezometrico Δh come riportato nella seguente tabella:

Piezometro 1 Piezometro 2 Piezometro 3

r = 30 m r = 90 m r = 21 5m

t [min] log t [min] Δh [m] t [min] log t [min] Δh [m] t [min] log t [min] Δh [m]

0,5 -0,3 0,13 1,5 0,2 0,01 66 1,8 0,09

1,0 0,0 0,23 2,0 0,3 0,02 127 2,1 0,14

1,4 0,1 0,28 3,0 0,5 0,05 185 2,3 0,16

2,8 0,4 0,39 4,0 0,6 0,09 250 2,4 0,19

4,0 0,6 0,45 6,0 0,8 0,15 300 2,5 0,20

6,8 0,8 0,54 9,0 1,0 0,21 365 2,6 0,21

10 1,0 0,60 13 1,1 0,25 430 2,6 0,21

18 1,3 0,68 18 1,3 0,30 600 2,8 0,23

27 1,4 0,74 25 1,4 0,35 780 2,9 0,25

40 1,6 0,78 30 1,5 0,36

60 1,8 0,82 40 1,6 0,40

80 1,9 0,85 60 1,8 0,44

95 2,0 0,87 90 2,0 0,49

140 2,1 0,91 120 2,1 0,53

180 2,3 0,93 150 2,2 0,55

245 2,4 0,97 250 2,4 0,59

300 2,5 0,99 300 2,5 0,61

480 2,7 1,05 420 2,6 0,66

730 2,9 1,07 540 2,7 0,68

830 2,9 1,09 780 2,9 0,72

Attraverso questi dati si vogliono calcolare la trasmissività T ed il coefficiente d'immagazzinamento

S dell'acquifero.

La teoria del non equilibrio di Theis afferma che se viene prelevata una certa portata Q costante da

un pozzo, le variazioni di regime avvengono non solo nello spazio, ma anche nel tempo e il cono di

depressione del livello piezometrico non si stabilizza: il raggio d'azione del pozzo non rimane

costante, il raggio d'influenza si propaga indefinitamente con velocità decrescente e l'alimentazione

non compensa l'emungimento.

La teoria di Theis si formalizza nelle seguenti scritture:

∞ −u 2

Q e r S

∫

h= du

Δ ⋅ u=

4 u

πT 4 T t

u

Dove Δh è l'abbassamento piezometrico, Q è la portata emunta (costante) mentre u è un parametro

definito con la distanza piezometro-pozzo r, il coefficiente di immagazzinamento S ed il tempo di

misura finale t.

1. Formula dell'approssimazione logaritmica di Jacob

Tuttavia questa formulazione può essere semplificata: secondo la formula dell'approssimazione

logaritmica di Jacob, esiste questa relazione T, S e Δh

( )

2,25 T t ( ) ( )

0,183 0,183 log 2,25 log 2,25

0

h= t t

Δ ⋅Q⋅log = ⋅Q⋅ +log =C⋅ +log

2 2 2

T T

r S r S r S

dove T è la trasmissività (K*e), t è il tempo, r è la distanza pozzo-piezometro ed S è il coefficiente

di immagazzinamento.

È evidente come si debba costruire un grafico logt – Δh per ogni piezometro al fine di soddisfare le

richieste iniziali (ricavare i valori di T ed S dell'acquifero).

Piezometro 1

1,20

1,00

0,80

0,60

dh f(x) = 0,297x + 0,267

0,40

0,20

0,00

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

log t

Piezometro 2

0,80

0,70 f(x) = 0,273x − 0,053

0,60 R² = 0,996

0,50

0,40

dh 0,30

0,20

0,10

0,00 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

logt

Piezometro 3

0,30

0,25 f(x) = 0,146x − 0,168

R² = 0,985

0,20

0,15

dh 0,10

0,05

0,00 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

logt

Costruiti i grafici, ricavo il valore di log t in cui Δh = 0.

Le equazioni delle tre rette interpolatrici sono

P1 P2 P3

y=0,297x + 0,267 y=0,273x-0,053 y=0,145x-0,168

dove y è Δh e x è log t. Si deve porre y=0 e risolvere in x.

I valori ricavati vanno posti ad esponente di una potenza in base 10 e si ottengono i seguenti valori

di t [min]

0 0,126 1,564 14,409

Questi occorreranno per ricavare il coefficiente di immagazzinamento S.

Ricaviamo intanto la trasmissività T. Sappiamo che il coefficiente angolare delle rette di cui sopra è

C = 0,183 Q/T. Basta invertire