Esercitazioni e tracce d'esame svolte fisica matematica

MATRICE TRASFORMAZIONE DI BASE (PIANO)

X = _Y =

O = O¹

• PRODOTTO SCALARE: x . y = x y |x| |y| cos(x^y)

|x| |x| = x₁² + x₂² + x₃²

• PRODOTTO VETTORIALE:

X: (x₁, x₂, x₃) Y: (y₁, y₂, y₃)

Z = det

|x y| = |x| |y| sin(x^y)

v = dx/dt = dx/ds x ds/dt = s . t versione nel c . o. t.

• SCALARE CHE MANCA CON 3

w = dv/dt = s . t + s ds/dt

cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b

Moto Piano

v = dx/dt = ρ_•μ + ρμ_• vel normale

velocità trasversa ω_T = (ρ^•ρ_••)μ + (ρ^• + 2ρ_•ρ^•)ϕ acc trasv

N.B.: se A(t) = C avrà una sola componente

Velocità Areolare

A^•(t) = 1/2ρ²ϕ^• in coord. polari

A^•_C = 1/2 d/dt

Moto Centrale

il moto se è centrale sarà piano e A(t) = C

se A(t) = C moto centrale

Moto Circolare

s-RO s-R V: ρϕ^• Rϕ^•

Momento di inerzia

Disco orizzontale (m, R)

A = B = mR24

C = mR22

Eq. di Lagrange di I specie

Q_h = _∂L^∂x_i

h = 1, ..., m eq, pure (specie eq decalage)

N.B.: Se le forze sono conservative: Q_h = -_∂V^∂q_h

Funzione lagrangiana

L(q_i, q_i̇) = T(_qi̇^q_i̇) - V(q_i)

Eq pure rotto:

h = 1, ..., m

N.B.: Vincoli fissi

Eq. Lagrange nel caso conservativo

d _∂L^∂q_i̇ - _∂L^∂q_i = 0

CINEMATICA SISTEMI RIGIDI

VELOCITÀ PUNTO P' SOLIDALE A T:

V_P' = V_P + ω Λ OP

VINCOLO PURO ROTOLAMENTO:

ω

ω Ω = F V_G = Rω

V_C = R x ω

X = -ry { \[σ|λ] \}_ = | λ,χ

È INTEGRABILE

Se ωx usa coseq branequiane ↀ: σ: X γ: Y ω: X_νη

Se in ...

trA + detA ⋝ 0 (trA)² - 4detA

1. trA > 0

2. detA > 0

   • Δ > 0 nodier Re > 0 (NODI INSTABILI)
   • trA > 0 nodior reales <

σ, σn x, y

• segni opposti (sella)

  • autoncuni con nodiche con Re < 0

    (NODO STABILE) καδ...complessei radici con Re <?

  • un ausl... positivum ad deus negatius (FDC DI SELLA)

Vettore binormale b

b = t × n

_{^{i j k}}

^{sen₁cos₂ − cos₁sen₂} u₂

b = n ⇒ ||b|| = 1

Le condizioni affinché il moto avvenga su x,y sono che

Vediamo ora le altre condizioni affinché il punto P si muova su

_θ̇ = cost = ω

X(t) = R cos(ωt)

Y(t) = R sen(ωt)

{ mx ̈= -nx

my ̈= -ny

⇒

{ X ̈= -ωx

Y ̈= -ωy

{ X(t) = C₁ cos (√(ⁿ/_m) t) + C₂ sen (√(ⁿ/_m) t)

Y(t) = C₂ cos (√(ⁿ/_m) t) + C₂ sen (√(ⁿ/_m) t)

X_t=0 = C₁ = X₀.

Y_t=0 = C₃ = Y₀.

X ̇

t=0 : C₂ √(ⁿ/_m)

⇒ X ̇₀ √(^m/_n) = C₂

Y ̇t=0 = |C₄ : Y ̇₀ √(^m/_n)

X(t) = X₀ cos (√(ⁿ/_m) t) + X₀√(^m/_n) sen (√(ⁿ/_m) t)

Y(t) = Y₀ cos (√(ⁿ/_m) t) + Y₀ Y ̇₀√(^m/_n) sen (√(ⁿ/_m) t)

Le cond affinché il moto sia circ. unif è che:

X_o = R | X_̇o = 0

Y_o = 0

Y ̇_o √(^m/_n) R

⇒ Y ̇_o = R√(ⁿ/_m)

m [^{β̇ βρ̇/2}] - h √ρ ρ̇

m [β̇ρ̇ + 9/2ρ̇²] = 0

m β̇ 9/2 ρ̇ ² cos ¨ ⇒

m βρ̈ = - k 9^1/2

Un altro quantitato che conservate e's l'eng. meccanica ε :

V(β) = - ∫ h ρ^3/2 dρ = - hρ ^5/2 + c - e/5 hρ^5/2 + c

V(β) = -²/5 hρ^5/2 + c

T + V = cost

T = 1/2 m v . v

v = żū + ṗ ̊ z˙

V . v = ż + ṗ ̊ z ˙

T = 1/2 m (β̇² + 9²β̇²)

T + V = ε ⇒ 1/2 m (β̇² + 9²β̇²) - 2/5 hρ_5/2 + c = ε

μgβ² = mal ⇒ ρ̇ = αl/²

1/2 m (β̇² + β² ρ̇²)- 2/5 hρ^5/2 + c = ε

1/2 m (β̇² + β² αl)²/є2 - 2/5 hρ^5/2 + c = ε

1/2 m (β² αl l'²)/є2 1/2 m α² l²/є2 - 2/5 hρ^5/2 - c = ε ⇒ β² + αl² g

ρ² αı/5 h,

β = ?

θ̈ = ω

ω̇ = β

m(β̇ - βω²) = -kβ

m(2θ̇ω) = γ

k₂ = mg

Potenziali conservativi come:

mω²β + (k - mω²)β = 0

A seconde dei possibili valori assumibili dalla quantita’ k - mω² possiamo avere diversi casi:

• Se k - mω² = 0 ⇒ k = mω² ⇒ β̇ = 0 ⇒ β = cost ⇒ MOTO UNIFORME
• Se k > mω² ⇒ OSCILLATORE ARMONICO
• Se k < mω² ⇒ EQ DEL TIPO β̈ - Ω²² β = 0 ⇒ β = C₁e^l + C₂e^-l

Vediamo ora se si conserva o no l'energia meccanica.

T + V = Ė

T = 1/2 m v² ⇒ 1/2 m (β̇² + β²ω²) = 1/2 m (β² + β²ω²) = T

V = -∫kdβ = -μg∫dz = k β²/2 + C ⇒ V = k β²/2 + C

1/2 m (β̇² + β²ω²) + k β²/2 + C = Ė

d/dt (1/2 m (β̇² + β²ω²) + k β²/2) = 0 ⇒ 1/2 m (2β̇β̈ + 2β²ω̇ + 2ωωβ²̇) + kββ̇ = 0

mββ̈ + mββ̇ω̇ + mβ²ω̇² - kββ̇ = 0

[∫ (mβ̇² + mβ²ω² + kββ) = 0]

β̇ ≠ 0 ⇒ (mβ + mβωω̇ + kββ) = 0

Le eq. del moto sono dunque:

mģσ̇ = -kR senσ cosσ - mg senσ

mģσ˙² = R senσ σ̇² - μg cosσ + 1/m

T = ¹/₂ mv² = ¹/₂ mσ̇²σ²

⇒ T = ¹/₂ mσ̇²σ̇σ̇

V(σ) = fdσ = -mgR σ + ¹/₂ |p²|² σ - ( -μgژ + ¹/₂ R² sen² σ )

V(σ) = ¹/₂ kR² sen²σ - mgR cosσ

Cercare ora le posiz. di eq.

dV(σ)/dσ = 0 ⇒ kR² senσ cosσ + μgR senσ = 0

Rsenσ (kR cosσ + μg) = 0

Vidiamo la stabilità:

dV(σ)/dσ > 0 ⇒ kR² cosσ ổ + kR senσ + μgR cosσ

σ = arccos( -μg/kR )

⇒ -μg/kR < 1