Esercitazioni Costruzioni Navali 5

Distribuzione di Rayleigh

R Rf (x) = (3.21)0 x< 0 In particolare per R = 2 si ha: 133.2. SVOLGIMENTO 22x x ≥f (x) = exp(− ) x 02 2f (x) = (3.22)0 x< 0 mentre la funzione di distribuzione di probabilità cumulativa è: 2x − ≥1 exp(− ) x 0RF (x) = (3.23)0 x< 0 Figura 3.4: Distribuzione di Rayleigh, con parametro R=2 L’area sottesa alla funzione di densità dal punto di vista teorico è unitaria, simile al calcolo numerico, tramite il metodo dei trapezi, pari a 0,999. Al fine di concludere lo studio di questo tipo di distribuzione si mostra il confronto tra la distribuzione cumulativa analitica e quella mediante integrazione con il metodo dei trapezi (passo 0,1). In aggiunta si confrontano gli indici ricavati analiticamente e mediante integrazione numerica con passo 0,1. Nel caso del calcolo analitico le formule per ricavare i due indici risultano: Valore atteso della distribuzione: r πRE[x] = (3.24)2 Varianza della distribuzione: π2 2− −V AR[x] = E[x ] E[x] = (1

1. Risultati:
• E[x] = 1,772 e VAR[x] = 0,429 (analiticamente)
• E[x] = 1,25 e VAR[x] = 0,42 (mediante integrazione numerica)
2. Capitolo 4
3. Esercitazione n°44.1 Introduzione

Data una distribuzione uniforme di peso (tra 10 e 20 [t]), studiare e rappresentare graficamente le distribuzioni d'estremo superiore ed inferiore per un numero di osservazioni crescente (2, 5, 10, 100, 1000, 10000).

4. 4.2 Svolgimento

Nella figura sottostante è riportata la funzione di distribuzione uniforme:

1 ≤ x ≤ 10

f(x) = 0

altrove

Mentre la distribuzione di probabilità (o cumulativa) è:

0 per x < 10

1 - (x - 1)/10 per 10 ≤ x ≤ 20

1 per x > 20

Figura 4.1: Distribuzione uniforme

Supponendo le distribuzioni di probabilità indipendenti ed identicamente distribuite, la distribuzione di estremo superiore su n osservazioni ha una funzione di densità f(x) e una distribuzione, extr.n+X, di probabilità F(x).

rispettivamente da:
extr.n+X n−1∗ ∗f (x) = n f (x) [F (x)] (4.3),
extr.n+ x xX 154.2. SVOLGIMENTO nF (x) = [F (x)] (4.4),
extr.n+ xXSupponendo le distribuzioni di probabilità indipendenti ed identicamente distribuite, la distribuzio-ne di estremo inferiore su n osservazioni ha una funzione di densità f (x) e una distribuzione,
extr.n−Xdi probabilità F (x) rispettivamente da:
extr.n−X n−1∗ ∗ −f (x) = n f (x) [1 F (x)] (4.5),
extr.n− x xX n− −F (x) = 1 [1 F (x)] (4.6),
extr.n− xXNel caso in esame n coinciderà con 2, 5, 10, 100, 1000 e 10000:
Figura 4.2: Distribuzione di estremo superiore n=2
Figura 4.3: Distribuzione di estremo inferiore n=2
164.2. SVOLGIMENTO Figura 4.4: Distribuzione di estremo superiore n=5
Figura 4.5: Distribuzione di estremo inferiore n=5
Figura 4.6: Distribuzione di estremo superiore n=10
174.2. SVOLGIMENTO Figura 4.7: Distribuzione di estremo inferiore n=10
Figura 4.8: Distribuzione di

estremo superiore n=100

184.2. SVOLGIMENTO

194.2. SVOLGIMENTO

Capitolo 5

Esercitazione n°5

5.1 Introduzione

Una piattaforma fissa si trova ad una altezza sul livello del mare di 10 m. Supponendo che la distribuzione delle ampiezze d’onda a (= massimo valore della sopraelevazione istantanea in ogni periodo di zero crossing) sia una distribuzione di Rayleigh, e che la probabilità di avere acqua in coperta sia dell’ 1%, determinare:

a) il parametro R della distribuzione di Rayleigh;

b) la probabilità di non avere acqua in coperta su 100 onde (corrispondente ad un tempo di esposizione di circa un quarto d’ora);

c) la distribuzione di densità di probabilità per l’altezza h d’acqua in

coperta; la distribuzione di densità di probabilità associata agli ingressi d'acqua dalla coperta in un'apertura orizzontale di area 1 m²;
e) la distribuzione di densità di probabilità associata all'ingresso complessivo d'acqua per un numero di onde in coperta pari a 100.
Si assume:
1. che il profilo d'onda non sia influenzato dalla presenza della piattaforma;
2. che le ampiezze d'onda siano indipendenti l'una dall'altra;
3. che la relazione tra quantità d'acqua in ingresso e battente sia data da:
pQ = µAT²gh (5.1)
dove:
µ = 0.17 coefficiente empirico;
A = area dell'apertura [m²];
g = accelerazione di gravità;
h = lmax battente d'acqua sull'apertura in un singolo ciclo di onda [m];
wT = periodo medio delle onde del mare [s] (si assuma il valore di 10 s).
z 215.2. SVOLGIMENTO h Figura 5.1: Piattaforma
5.2 Svolgimento
5.2.1 Domanda a) Ricavare il parametro R della distribuzione di Rayleigh:
Avendonoto la funzione di densità e la distribuzione di probabilità dell'ampiezza d'onda a (definita come una distribuzione di Rayleigh), il parametro R si ricava imponendo che la probabilità di superare un'ampiezza d'onda a pari all'altezza della piattaforma (h=10 m) sia esattamente 0,01 (1%): P(a ≥ h) = 0,01 per h = 10[m] (5.2) P(a < 10[m]) = 1 - P(a ≥ 10[m]) = 1 - F(10[m]) = 1 - (1 - e^(-10^2/R^2)) = 0,01 (5.3) Ovvero: (1 - e^(-10^2/R^2)) = 0,99 (5.4) Dall'equazione si ricava: R ≈ 21,71 Noto il parametro R della distribuzione di Rayleigh si determina la funzione di densità e la distribuzione di probabilità: f(a) = 0 se a < 0 2a/(R^2) * e^(-a^2/(R^2)) se a ≥ 0 (5.5) F(a) = 0 se a < 0 1 - e^(-a^2/(R^2)) se a ≥ 0 (5.6) Figura 5.2: Distribuzione delle ampiezze d'onda (Rayleigh R ≈ 21,71) 5.2.2 Domanda b) Ricavare la probabilità di non avereacqua in coperta su 100 onde: Ipotizzando che le 100 onde siano indipendenti ed identicamente distribuite si determina la distribuzione di estremo superiore con n=100, ovvero su 100 osservazione. Di seguito sono riportate rispettivamente le formulazioni della funzione di densità e della distribuzione di probabilità:

0 < a < 0 (5.7)

f(a) = Aextr.100+ 100-1* ≥100 f(a) F[F(a)] a ≥ 0

A A 0 a < 0

F(a) = (5.8)Aextr.100+ 100 ≥F[F(a)] a ≥ 0A

Figura 5.3: Distribuzione di estremo superiore per 100 onde

La probabilità di non avere acqua in coperta si traduce nella valutazione dell'area sottesa alla curva densità di probabilità fino al valore a = 10 m, ovvero il valore assunto dalla distribuzione di probabilità in 10 m:

P(a > h) = P(a > 10m) = F(10m) = 0.366 = 36.6% (5.9)

Aextr.100+235.2. SVOLGIMENTO Figura 5.4: Densità di probabilità troncata

5.2.3 Domanda c) Ricavare la distribuzione di densità di probabilità per l'altezza

d'acqua in coperta

Si esegue un'operazione di troncamento della distribuzione per altezza d'onda di origine, in modo tale da rilevare le sole onde che abbiano un'altezza d'onda maggiore dell'altezza h=10 [m] della piattaforma.

Quindi si ricava la distribuzione di Rayleigh troncata all'altezza della piattaforma (10 m), tramite la seguente formula, che permette di ottenere una nuova distribuzione di probabilità con area sottesa unitaria:

( 0 < a < 10[m])

f(a) = (5.10)f(a)x A ≥a 10[m]1-F(a)A TA

Affinché la distribuzione sopra riportata rappresenti l'altezza d'acqua h rispetto al livello della coperta, si dovrà traslare la curva verso sinistra di una quantità pari a 10 [m]:

-h = a 10 (5.11)

w*f(x) dx = f(h) dh (5.12)

x w whw dx | |(h) = f(x(h))f(5.13)w x whw dh

(h) = f(h + 10) 1 (5.14)f w x whw

245.2. SVOLGIMENTO

Figura 5.5: Densità di probabilità per l'altezza

d'acqua hw in coperta

Da integrazione numerica, mediante il metodo dei trapezi si verifica che l'area sottesa è unitaria, come è giusto che sia una per una distribuzione di probabilità.

5.2.4 Domanda d) Ricavare la distribuzione di densità di probabilità associata agli ingressi d'acqua dalla coperta in un'apertura orizzontale di area 1[m²].

Per il calcolo della distribuzione di densità associata all'ingresso di acqua sul ponte è necessaria la seguente formula, che mette in relazione la quantità di acqua in ingresso e il battente:

p_3q = µAT²gh [m³]

Avendo determinato la distribuzione della variabile aleatoria h nel punto precedente, è possibile ricavare la distribuzione della variabile aleatoria Q: Q = p²Q = cost h quindi h = (2g)^1/2 (5.16)) dove cost = µATw zcost

Quindi sarebbe necessario utilizzare la formula del cambiamento di variabile:

dhw |f(q) = f(h(q))| (5.17)

ovvero: q²f(q) = f() (5.18) Q hw

2cost costCosı̀ da ottenere graficamente, la distribuzione di densità associata all’ingresso d’acqua i coperta:255.2.

SVOLGIMENTO

Figura 5.6: Densità di probabilità associata all’ingresso d’acqua in coperta

5.2.5 Domanda e) Ricavare la distribuzione di densità di probabilità associata all’ingresso complessivo d’acqua per un numero di onde in coperta pari a100a1 procedura

Sfruttando il Teorema del Limite Centrale (TLC) che afferma che se n variabili hanno stessa media2µ e varianza σ , e il numero di variabile è sufficientemente elevato, in questo caso n=100 (sufficiente),posso definire una nuova variabile: 100XX = X (5.19)ii=1 2 2di cui possiamo definire la media nµ = 100µ e varianza nσ = 100σ .Nel caso di specie in cui è lecito utilizzare il TLC, la densità di probabilità associata all’ingressod’acqua complessivo pe