Appunti teoria e esercitazioni Costruzioni navali 5

La densità di probabilità e il Jacobiano

Vedo che la densità di probabilità in una certa porzione di piano, corrisponde alla densità di probabilità nel punto del piano di coordinate X e Y, moltiplicata per il modulo del determinante dello Jacobiano della trasformazione. Lo Jacobiano è un operatore che contiene le derivate delle funzioni inverse rispetto a U e V. È una matrice con 4 elementi in questo caso. Rappresenta una generalizzazione della trasformazione del caso di trasformazione da una variabile a una variabile. Dove si era visto che la densità della variabile dipendente in funzione della densità della variabile indipendente, passa attraverso un fattore di probabilità che era il modulo della derivata della funzione inversa. Analogia perché il modulo delle funzioni inverse sotto forma di matrice (Jacobiano). Il principio è di andare a mappare in un punto del piano U, V una probabilità che viene da un'area del piano delle variabili indipendenti.

Il valore viene da un pezzettino infinitesimo del piano delle variabili indipendenti concentrata lì sopra. Abbiamo un parallelepipedo infinitesimo sopra un rettangolino infinitesimo (parallelepipedo con base infinitesima e altezza finita). Rettangolino che si trasferisce in un piano U, V. Si trasferisce in proporzione del fattore di proporzionalità che è il modulo dello Jacobiano. Analogia: prima avevamo un'areola infinitesima (probabilità infinitesima) che veniva da un intervallino infinitesimo (dx) che veniva mappato nel punto corrispondente della y. Ricavare l'altezza dell'intervallino di arrivo veniva da un calcolo sul rapporto tra le basi (della variabile di partenza indipendente e di arrivo (dipendete)) del rettangolo (che rappresenta la probabilità). La probabilità si mappa in ragione del rapporto dell'area infinitesima (rapporto

rappresentano nel determinante dello Jacobiano dellatrasformazione).Se le variabili U e V sono indipendenti, sono indipendenti anche levariabili di partenza X e Y, c'è quindi una semplificazione.Caso generale che si può ricondurre a quello particolare ovvero unavolta visto il criterio di passaggio da vettore a vettore. Esempio vettorevariabile o variabile-variabile.Suppongo di avere una variabile funzione del vettore X e Y. Posso peròdefinire una trasformazione generale inventando (invertendo) anchel'altra variabile dipendente della trasformazione. Vedo la variabilepassare da coppia di variabili a una variabile che ricade nel casogenerale da vettore a vettore.Appunti del corso Pagina 54Ultimo esempio passaggio da variabile a variabile, esempio più facile.Il prof spiega l'esercitazione numero 9.Appunti del corso Pagina 556-Processi stocasticimartedì 19 aprile 2022 09:57Campione non rappresentato da variabili ma dà segnali temporali,

che vogliamo rappresentare un numero infinito di segnali temporali. Per fare ciò, possiamo utilizzare tag html per evidenziare le diverse parti del testo. Il testo può essere formattato come segue:

Per essere ben rappresentato, un segnale necessita di infiniti segnali temporali. Questo implica una caratterizzazione basata su segnali potenzialmente infiniti.

Se voglio fare una statistica, posso osservare i segnali a un tempo fisso e vedere che valore assumono. Avrò x^1(t_1) e x^2(t_1), poi x^1(t_2) e x^2(t_2), e così via.

La variabile a un certo tempo t_1 è diversa da quella al tempo t_2, poiché c'è una caratterizzazione stocastica diversa istante per istante.

Per caratterizzare bene il segnale, devo andare a vedere cosa succede a ogni istante, ma anche a ogni coppia di istanti, e a ogni tripletta di istanti, e così via, fino ad avere una congiunta in n → infinito istanti temporali.

Dagli n istanti posso ricavare un certo numero di distribuzioni marginali. Posso fare una statistica relativa a singoli istanti temporali, coppie, triplette, realizzando delle congiunte con sempre più gradi.

Ogni distribuzione sarà diversa tra di loro e sarà dinamica rispetto al tempo. Questo costituisce un problema perché noi vogliamo rappresentare un numero infinito di segnali temporali.

Vorremmo una caratterizzazione un po' più statica (stazionaria) per farci i conti sopra.

La distribuzione di un singolo segnale dipende dal tempo.

La distribuzione di una coppia di segnali temporali dipende dal tempo e dalla differenza (τ) tra i due istanti temporali che sto considerando.

Prima di semplificare che operazioni posso fare con queste congiunte/marginali. Appunti del corso Pagina 56 congiunte/marginali.

Se parlo di distribuzioni in un solo istante temporale possiamo calcolarne la media. Se distribuzione diversa istante per istante saranno diversi i valori medi e le varianze istante per istante.

Per coppie di segnali avremo indici del secondo ordine diversi istante per istante. Possiamo fare delle media, varianze e covarianza istante per istante, questi sono indici di tipo statistico.

Possiamo anche fare uno studio su un singolo segnale e non lavorare per percezione a tempo fissato.

Su singolo segnale saranno medie e varianze temporali (non statistiche). Come le calcolo?

Integrando da -t a +t, in quel segnale i-esimo e la chiamo media temporale, poi ho la varianza temporale(correlazione) e la covarianza. La covarianza si intende la media del τsegnale temporale del prodotto che la funzione assume e la funzione apiù in là. In generale sotto tutte quantità diverse per diverso segnale. Posso dire che se metto insieme tutti i segnali e tutti i punti e faccio media delle medie temporali o media delle medie statistiche i risultati dovrebbero risultare uguali. Nella pratica avrei segnali infiniti con infiniti punti, devo fare delle semplificazioni.

Processo stazionario

Le distribuzioni statistiche non dipendono dal tempo. Le marginali del primo ordine (che dipendono dal punto nel segnale temporale), sono tutte uguali in tutti gli instanti. Vale per tutte le marginali per ogni ordine, τ che dipendevano dal tempo e sfasamento --> ora dipendono solo dallo sfasamento.

Debolmente stazionario vuol dire che questo concetto vale solo per le

del corso Pagina 57
Debolmente stazionario vuol dire che questo concetto vale solo per le congiunte di I° e II° grado.

Caratterizzazione statistica:
Caratterizzazione temporale:
Le medie: media delle medie temporali uguale a quella delle medie statistiche. Se la distribuzione è la stessa, in ogni istante sarà uguale il valore medio.
In un processo stazionario per il momento del secondo ordine, posso dire lo stesso discorso delle medie (Media delle medie statistiche).
Stesso discorso vale per correlazioni e covarianze, che però continuano τ a dipendere dallo sfasamento τ delle covarianze temporali è lo stesso della covarianza statistica.
La stazionarietà ci permette di considerare un solo istante del segnale con proprietà che valgono per tutto il resto del segnale, che sarebbe troppo complicato da gestire.
Noi considereremo processi stazionari per un certo periodo di tempo 3 ore o 6, non per l'eternità. Avremo tanti periodi di

stazionarietà. Processo ergodico

Intanto è stazionario. In più le medie temporali, varianze e covarianze sono tutte uguali indipendentemente dal segnale. Uguaglianza tra media temporale su qualunque segnale e media statistica su qualunque istante temporale.

La cosa più semplice è attaccare il problema da un segnale temporale continuo con un lungo tempo. Calcolare gli indici temporali e uguagliarli

Appunti del corso Pagina 58

continuo con un lungo tempo. Calcolare gli indici temporali e uguagliarli agli indici temporali (per ogni istante temporale).

Es. processo rappresentato dalla sopraelevazione istantanea del mare per un certo tempo.

Normalmente dovrei studiare per i segnali temporali nei mare del mondo, per avere infiniti segnali. Se studio il segnale come stazionario e ergodico metto una boa e studio un segnale. Su cui calcolerò gli indici che valgono per tutti i segnali date le semplificazioni che adotto. Eventualmente valuto anche per coppie, triplette

di segnali…. (Basta unsolo segnale).

Vado a caratterizzare un solo segnale temporale nel dominio dellafrequenza.

La densità spettrale di potenza di un segnale è definita come:

Per il Teo di Parseval c'è una connessione tra dominio del tempo e dellefrequenza secondo la relazione:

Appunti del corso Pagina 59Integrale del segnale nel tempo legato alla trasformata di Fourier.

In più per un processo stazionario, ergodica e a media nulla, la potenzamedia temporale posseduta dal mare grosso è rappresentatadall'espressione:

Varianza temporale uguale alla varianza statistica uguale alla potenzamedia temporale, esprimibile a sua volta come integrale dello spettro delmare.

Grandezze prima descritte e secondo le ipotesi precedenti abbiamo:

Quantità uguale all'area dello spettro.

Ora abbiamo fatto quindi il salto rappresentando anche la connessionecon il dominio della frequenza, nel caso volessimo capire come èdistribuita l'altezza

di un mare con un certo spettro (densità spettrale di potenza). In questo caso è molto comoda l'analisi in frequenza. Analisi in frequenza che diventa insostituibile quando devo conoscere la risposta della nave al mare, in particolare la distribuzione di probabilità della risposta. Vogliamo arrivare al dominio della probabilità di una nave ancora da costruire (segnale tempo di risposta). Posso calcolare lo spettro della risposta di una nave, che si desume dallo spettro di entrata del mare per un operatore di risposta. Posso passare da informazioni in frequenza a distribuzioni di probabilità della risposta. Non funziona al 100%, ma quasi sempre sì. Appunti del corso Pagina 60 Integrale in frequenza è l'area dello spettro. Estendo il concetto a tutti gli ordini degli indici, per lo spettro. Momento di ordine 0 dello spettro (m_0) è quello che ci serve ed è uguale alla varianza temporale e statistica. Importante è ilparametro di larghezza di banda ε, che ricavo in base allo spettro, ci dice quanto è distribuito in frequenza il contenuto energetico del segnale che stiamo analizzando. ε = 0 spettro molto stretto, mentre ε = 1 molto largo. Di seguito abbiamo una rappresentazione tra dominio del tempo e della frequenza, rappresentazione della risposta della nave al mare (risposta a un ingresso di un certo sistema). Appunti del corso Pagina 61 A sinistra segnale temporale ovvero rappresentazione dell'asopraelevazione del mare in una certa posizione al variare del tempo. Questo segnale temporale è scomponibile in segnali regolari sinusoidali alle varie frequenze (concetto di densità spettrale di potenza). Vado a vedere la distribuzione dell