Esercitazione su: Integrali di superficie, flusso ed Equazioni differenziali (Analisi 2)

Revisionato il 08/07/2026

di scudy00

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Esercitazione su Integrali di superficie, flusso ed Equazioni differenziali di funzioni in 2 variabili, del corso di Analisi Matematica 2, utili per la preparazione all'esame. Nel file è …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Gigante Giacomo

Università Università degli Studi di Bergamo

A.A. 2021-2022

58 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 12

Analisi Matematica II

Integrali di superficie, equazioni diﬀerenziali

Integrali di superficie

Determinare il valore del seguente integrale di superficie

Esercizio 12.1. ZZ xz dS,

2 2

sin y (1 + x ) 2 x

dove è la calotta descritta da con 2 2

r(u, v) = (cos u, u, v sin u), u [⇡/4, ⇡/3], v [1, 3].

Sia la superficie parametrizzata dall’applicazione:

Esercizio 12.2. R 3

r : D 7 !

(u, v) (u, v, uv).

dove è il disco unitario di .

R 2

D

a) Disegnare in modo sommario. RR

b) Dare sotto forma di un integrale su l’area della superficie , dS.

D A :=

c) Usando le coordinate polari, calcolare questo integrale.

Sia R R

3 !

f : 2

7 !

(x, y, z) z x .

RR

d) Calcolare dS.

I := f (x, y, z) ¯

e) Supponendo che sia la temperatura sullo spazio , determinare la sua media

R 3

f f

sulla sella .

Si consideri la superficie avente come sostegno l’insieme

Esercizio 12.3. > 6 6 6 6

R 3 2

{(x, 2

⌃ = y, z) : z = 2xy, z 0, 0 x 2, 0 y 3}.

a) Calcolare l’area della superficie; p

b) scrivere un’equazione del piano tangente nel punto P (1, 1, 2).

Calcolare l’integrale

Esercizio 12.4. ZZ dS

⌃

dove e la porzione di superficie di equazione cartesiana che si

⌃ z = f (x, y) = xy

6 6 6

proietta nell’insieme R 2 2 2

{(x, 2

K = y) : 0 y 3x, x + y 1}‘.

RR

Calcolare l’integrale dS, dove è la parte del piano di

Esercizio 12.5. (x + y + z)

> > >

equazione tale che (x

x + 2y + 4z = 4, 0, y 0, z 0).

RR

Determinare l’integrale d , dove la superficie è la parte della

Esercizio 12.6. x

> > >

sfera , tale che

2 2 2 2

x + y + z = a x 0, y 0, z 0.

Integrali di flusso

Dato il campo calcolare il flusso del rotore

Esercizio 12.7. F(x, y, z) = yi + zj + xk, >

di attraverso la porzione di paraboloide R 3 2 2

{(x, 2

F = y, z) : z = 1 x y , z 0},

con vettore normale orientato verso l’esterno, sia in base alla definizione, sia usando il

teorema di Stokes.

Calcolare, applicando il teorema di Stokes, il flusso del rotore del cam-

Esercizio 12.8.

po vettoriale definito da per ogni attraverso

R

x 2 z 3

F F(x, y, z) = (e , y , 4y +xe ) (x, y, z)

la calotta sferica di equazione con orientata nel verso delle

2 2 2

C x + y + z = 1, z 0, z

crescenti. >

Sia la semisfera con orientata nel verso delle

Esercizio 12.9. 2 2 2 2

x + y + z = R z 0

crescenti e sia

z f (x, y, z) = (y, z, x).

Calcolare il flusso di rot attraverso .

Utilizzando il teorema della divergenza calcolare il flusso di

Esercizio 12.10. 3 3 3

f (x, y, z) = (x + yz, xz + y , xy + z + 1)

uscente da 6 6 > >

R 3 2 2 2 2 2 2

{(x, 2

⌦ = y, z) : x + y + z 1, x + y z 0, y 0, z 0}.

Determinare il flusso del campo vettoriale

Esercizio 12.11. 2

f (x, y, z) = (y z, 2xy, cos(xy))

uscente dal cono n o

6 6 6

R 3 2 2 2 2

⌦ = (x, y, z) : x + y 4, 0 z 2 x + y .

Calcolare il flusso del campo

Esercizio 12.12. ✓ ◆

2 2 2

f (x, y, z) = x , y , z

uscente dall’aperto con bordo R 3 2 2

{(x, 2

A = y, z) : x + y < z < 1}.

Calcolare il flusso del campo

Esercizio 12.13. f (x, y, z) = (0, z, y)

attraverso la calotta di sostegno 6

R 3 2 2 2 2

{(x, 2

⌦ = y, z) : z = 1 x y , x + y 1}

orientata verso l’alto.

Sia

Esercizio 12.14. 6 6 6

R 3 2 2

{(x, 2

V = y, z) : x + y R, 0 z h}.

Calcolare il flusso uscente da del campo vettoriale

V F(x, y, z) = (x, y, z)

a) con la definizione

b) con il teorema della divergenza

Calcolare il flusso del campo uscente

Esercizio 12.15. yz x

F(x, y, z) = (x e , y + e , z)

dalla sfera centrata in e di raggio

(1, 1, 1) 3.

Calcolare il flusso del campo vettoriale

Esercizio 12.16. F(x, y, z) = xyi + xyj + z(x + y)k

uscente dalla frontiera del dominio 6 > > >

R 3 2 2 2

{(x, 2

D = y, z) : x + y + z 9, x 0, y 0, z 0}.

Calcolare il flusso del campo vettoriale

Esercizio 12.17. F(x, y, z) = yi + xj + k

6 6

attraverso la calotta di equazione con orientata nel

2 2

P z = f (x, y) = x + y 0 z 4,

verso delle crescenti.

z Calcolare il flusso del rotore di

Esercizio 12.18. 2 2

F(x, y, z) = x i + xy j + (4y + z)k

6 6

attraverso la calotta definita da orientata nel verso delle

2 2 2

⌃ x + y + z = 1, 0 z 1,

crescenti.

z 3

Equazioni diﬀerenziali del primo ordine

Scrivere esplicitamente le soluzioni dei seguenti problemi di Cauchy,

Esercizio 12.19.

precisando il dominio di definizione di ogni soluzione.

⇢ ⇢ ⇢

0 0 0

2 2 2

y = y(2 y)t y = y(2 y)t y = y(2 y)t

y(0) = 2, y (0) = 1 y (0) = 3 .

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy, precisando il dominio della

Esercizio 12.20.

soluzione:

( 0 2

y = x y

a) y(0) = 1;

( 0 2

y = y

b) y(0) = 1;

( 0 x

y = y + e

c) y(0) = 2;

( cotan

y + y x = 2 cos x

d) y(⇡/4) = 0;

8 1

< 0 2

y y = 4x

e) x

: y(1) = 3;

( 0 y

y = 2 + e

f) y(0) = 2;

8 p

< 0

y + y = 1 + t

g) 2

t 1

: y(0) = 0;

( 0

2x 2x

ye (1 + e )y = 0

h) y(0) = 2.

Ricavare il polinomio di MacLaurin di secondo grado senza calcolare esplicitamente

le derivate della soluzione.

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni diﬀerenziali:

Esercizio 12.21.

a) 0 y

y = e sin t;

b) ;

0 y 2

y = (e 1) x 4

c) ;

0 2

y y = x

d) 0

(1 + x )y + y = arctan x;

e) ;

0 x x

y = 2e y + e

f) 0

y y = 0;

g) ;

0 2

y = 2xy

h) 0 3

2y = y y;

i) Analizzare precisamente i problemi di Cauchy del tipo

yy = x. ( 0

yy = x R

y(x ) = 0, x

0 0

Risolvere i due problemi di Cauchy seguenti

Esercizio 12.22. 8 8

2xy 2xy

< <

0 0

y = y =

2 2

x 1 x 1

: :

y(2) = 0 y(2) = 3,

precisando per ognuno l’insieme massimale di definizione della soluzione.

Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy

Esercizio 12.23. 8 y 1

< 0

y = + 2

t t

: y(1) = 1,

specificandone l’insieme massimale di definizione.

Equazioni diﬀerenziali del secondo ordine

Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy

Esercizio 12.24. 8 2t

> 00 0

< y + y =0

1 + t 2

: 0

y(1) = 1, y (1) = .

⇡

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni omogenee.

Esercizio 12.25.

a) 00 0

z + 7z + 10z = 0;

b) 00 0

z 2z + z = 0;

c) 00 0

z + z + z = 0;

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni complete:

Esercizio 12.26.

a) ;

00 0 x

y 2y + y = e ⇣ ⌘

b) ;

00 0

y + y + y = cos x

c) 00

y + y = t cos t;

d) 00 0 t

y + y 2y = e + t;

e) 00

y + 4y 1 = sin x;

f) ;

00 0 2

y 2y + 5y = x

g) con , oppure ;

00 0 x 2x x

y + 2y + y = F (x) F (x) = e F (x) = 3e F (x) = e

h) 00 0

y 4y + 5y = 3 cos x;

i) 00 0

y y = cosh(2x).

Si considerino i seguenti problemi di Cauchy:

Esercizio 12.27. 8 8

00 00

> >

x = 0 y = g

< <

x(0) = x y(0) = y

0 0

> >

: :

0 0

x (0) = v cos ↵, y (0) = v sin ↵,

0 0

dove , , e sono dati e le funzioni e dipendono dalla

⇡

x y v > 0, g > 0 ↵ 0, x y

0 0 0 2

variabile t.

a) Dare le soluzioni dei problemi.

b) Verificare che esiste un unico tale che .

t > 0 y(t ) = y

0 0 0

c) Calcolare in funzione di , e

x = x(t ) x v ↵.

1 0 0 0

d) Se e sono fissati, per quale valore di si ottiene il massimo valore di ?

x v ↵ x

0 0 1

e) Tornando alla soluzione del problema di Cauchy, esprimere e quindi in funzione

t y

di e dei dati.

x Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

Esercizio 12.28. ( 000 00

y + y = t

0 00

y(0) = y (0) = y (0) = 0.

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 12

Analisi Matematica II

Integrali di superficie, equazioni diﬀerenziali

Integrali di superficie

Esercizio 12.1. Determinare il valore del seguente integrale di superficie

ZZ xz dS,

2 2

sin y (1 + x ) 2 x

dove è la calotta descritta da con 2 2

r(u, v) = (cos u, u, v sin u), u [⇡/4, ⇡/3], v [1, 3].

Sia , quindi stiamo cercando

f (x, y, z) = p

2 2

sin y (1+x ) 2 x ZZ dS.

f (x, y, z)

Abbiamo v cos u sin u v cos u

p p

f (r(u, v)) = = ,

u u u u

sin u(1 + cos ) 2 cos (1 + cos ) 2 cos

e 0 1

sin u 0

@ A

1 0

Jr(u, v) = ,

v cos u sin u

per cui l’elemento di superficie è 0 1

sin u p

@r @r @ A

dS dudv dudv dudv.

2 2

^ |

sin u

= = = sin u| 1 + sin u

@u @v 0 p p

6 6

Siccome , e osserviamo che 2

⇡ ⇡ 2

u sin u| = sin u 1 + sin u = 2 cos u.

⇥ ⇤

4 3

Denotando abbiamo

⇡ ⇡ ⇥

D = , [1, 3],

4 3

ZZ ZZ p

v cos u

dS dudv

p 2

f (x, y, z) = sin u 2 cos u

2 u

(1 + cos u) 2 cos

D

ZZ ZZ 1 v sin(2u)

v cos u sin u dudv dudv

= = cos(2u)+1

1 + cos u 1+

D D 2

ZZ v sin(2u) dudv

= 3 + cos(2u)

D 1

Z Z Z Z

⇡ ⇡

3 3

v sin(2u) sin(2u)

3 3

dv du du dv

= = v

3 + cos(2u) 3 + cos(2u)

⇡ ⇡

1 1

4 4

 

⇡ 3

1 v

= log(3 + cos(2u))

2 2

⇡ 1

✓ ✓ ◆◆ ✓ ◆

5 6

= 2 log 3 log = 2 log .

2 5

Esercizio 12.2. Sia la superficie parametrizzata dall’applicazione:

R 3

r : D 7 !

(u, v) (u, v, uv).

dove è il disco unitario di .

R 2

D

a) Disegnare in modo sommario.

Osserviamo che dove quindi è il grafico di

r(x, y) = (x, y, f (x, y)), f (x, y) = xy,

, sul dominio 2

f (x, y) D.

1. z

1 y

0.5 1

1 0.5 x

0.5 1

0.5

1 1 RR

b) Dare sotto forma di un integrale su l’area della superficie , dS.

D A :=

La matrice jacobiana della parametrizzazione è

0 1

1 0

@ A

0 1

Jr(u, v) = .

v u

L’elemento di superficie è 0 1

v p

@r @r @ A

dS dudv dudv dudv.

2 2

^ u

= = = 1 + u + v

@u @v 1

L’area è perciò ZZ p dudv.

2 2

A = 1 + u + v

D

c) Usando le coordinate polari, calcolare questo integrale.

Usiamo e tali che

⇢ 0 ✓ ⇢ u = ⇢ cos ✓

v = ⇢ sin ✓,

abbiamo allora dudv d⇢d✓ e quindi, ponendo il dominio

0 ⇥

= ⇢ D = [0, 1] [0, 2⇡]

per (⇢, ✓), ZZ Z Z

p p

2⇡ 1

d⇢d✓ d⇢ d✓

2 2

A = 1 + ⇢ ⇢ = 1 + ⇢ ⇢

D 0 0

 1

1 4 2 2

= 2⇡ 1+ ⇢ = ⇡.

3 3

Il risultato è ragionevole: con abbiamo con che è l’area di

' '

2 1, 4, A 1, 2⇡ ⇡

D.

Sia R R

3 !

f : 2

7 !

(x, y, z) z x .

RR

d) Calcolare dS.

I := f (x, y, z)

Abbiamo quindi

f (r(u, v)) = uv u

ZZ ZZ p

dS dudv

2 2 2

I = f (x, y, z) = (uv u ) 1 + u + v

D

Z Z p d⇢d✓

2 3 2

= (sin ✓ cos ✓ cos ✓)⇢ 1 + ⇢

D

Z Z p

2⇡ 1

sin(2✓) cos(2✓) 1 d✓ d⇢

3 2

= ⇢ 1 + ⇢

0 0

poniamo nel secondo integrale

t = ⇢ " #

Z Z

1 1

⇡ ⇡ 2t(1 + t) ⇡

2 3

dt dt

= t 1 + t = + (1 + t) 2

2 2 3 3

0 0

3 " #

p p

1 ⇣ ⌘

5 p

2⇡ 2 ⇡ 2(1 + t) 2⇡ 2 2⇡

= + = + 4 2 1

3 3 5 3 15

2 2+2

= ⇡.

Il risultato è ragionevole: è negativo (la funzione è dispari in e il domi-

z = xy x

nio è simmetrico rispetto all’asse quindi l’integrale dà e l’integrale di è

y 0, x

negativo). ¯

e) Supponendo che sia la temperatura sullo spazio , determinare la sua media sulla

R 3

f f

sella . p p

La temperatura media è .

2 2+2 5+3 2

I = =

A 35

10(2 2 1)

Esercizio 12.3. Si consideri la superficie avente come sostegno l’insieme

> 6 6 6 6

3 2

R

{(x, 2

⌃ = y, z) : z = 2xy, z 0, 0 x 2, 0 y 3}.

a) Calcolare l’area della superficie.

L’area può essere calcolata tramite l’integrale

ZZ dS.

⌃

Per riuscire a calcolarlo ci serve una parametrizzazione della superficie. Possiamo

usare, che, siccome Purtroppo la funzione non sarà

|z|

z 0, z = = 2xy.

derivabile sugli assi. Usiamo quindi una parametrizzazione leggermente diversa

in cui , , che possiamo fare perché sono entrambi non-negativi, e

2 2

x = u y = v

abbiamo quindi p p p

6 6 6 6

2 2

{(u

⌃ = , v , 2uv) : 0 u 2, 0 v 3}.

p p

6 6 6 6

Poniamo quindi e R

2 2 2

{(u, 2

r(u, v) = (u , v , 2uv) D = v) : 0 u 2, 0 v

p La matrice jacobiana della parametrizzazione è

3}. 0 1

2u 0

@ A

0 2v

Jr(u, v) = .

p p

2v 2u

Calcoliamo preventivamente, perché ci servirà anche qui sotto,

0 1

2 2v

@r @r @ A

^ = .

@u @v 4uv

L’elemento di superficie è p

@r @r

dS dudv dudv dudv.

2 2

4 4 2 2

= = 8u + 8v + 16u v = 2 2(u + v )

@u @v

L’area è perciò p p p p

ZZ Z Z Z Z

p p p

2 3 2 3

dudv du dv du dv

2 2 2 2

A =2 2 (u + v ) = 2 2 u + 2 2 v

D 0 0 0 0

p p

Z Z

p p

2 3 8 20

du dv

2 2 p p

=2 6 u + 4 v = + 4 3 = .

3 3

0 0

Bonus grafico:

2. z

3.5

2.5

1.5

3 1

2 0.5

1 x

1.5

0.5

1 1

0.5

1.5 5 p

b) Scrivere un’equazione del piano tangente nel punto P (1, 1, 2).

Nel calcolo della superficie, abbiamo visto che un vettore normale al piano tangente

nel punto di coordinate è dato da

r(u, v) p

0 1

2 2v

@r @r @ A

^ = .

2 2u

@u @v 4uv

Il punto corrisponde a quindi un vettore normale è

P u = v = 1,

0 p

0 1

2 2

@ A

2 2

e un’equazione del piano tangente in quel punto è

p p p

2 2(x 1) 2 2(y 1) + 4(z 2) = 0

ovvero p

x + y 2z = 0.

Esercizio 12.4. Calcolare l’integrale ZZ dS

⌃

dove e la porzione di superficie di equazione cartesiana che si proietta

⌃ z = f (x, y) = xy

6 6 6

nell’insieme R 2 2 2

{(x, 2

K = y) : 0 y 3x, x + y 1}‘.

Possiamo parametrizzare la superficie dalla funzione con

r(x, y) = (x, y, f (x, y)),

La matrice jacobiana è

(x, y) K. 0 1

1 0

@ A

0 1

Jr(x, y) = .

y x

L’elemento di superficie è 0 1

y p

@r @r @ A

dS dxdy dxdy dxdy.

2 2

^ x

= = = 1 + x + y

@x @y 1

L’integrale è p

ZZ Z Z

p p

1 y

dxdy dx dy

2 2 2 2

I = z 1 + x + y = xy 1 + x + y

K 0 p 3

p 0 1

" #

p p

Z Z

1 y 3

3 3

3 3 4 2

2 2 2 1+ y 2

(1 + x + y ) 2 2

2 2 @ A

dy dy

= y = y

3 3

0 0

p 3

2 3 3

p p

5 2

43 2

2 1 + y 2 1+

2y 2

4 5

= = .

3 20 20

Osservando che il dominio è lo spicchio di disco unitario di angolo compreso tra e

K 0

, l’area (non richiesta) è

⇡

3 ZZ Z Z

⇡

p p

dxdy d⇢ d✓

2 2 2

A = 1 + x + y = 1 + ⇢ ⇢

K 0 0

2 3 1

3 3

2 2 2

⇡ (1 + ⇢ ) (2 1)⇡

4 5

= = .

3 3 9

RR

Esercizio 12.5. Calcolare l’integrale dS, dove è la parte del piano di equazione

(x+y+z)

> > >

tale che (x

x + 2y + 4z = 4, 0, y 0, z 0).

Il piano può essere visto come l’insieme dei punti tali che

(x, y, z) x = 4 2y 4z.

> > > > 6

Dobbiamo avere e per cui ovvero Il

y 0, z 0 x 0 4 2y 4z 0, y + 2z 2.

dominio è quindi 6 6 6

{(4 {r(y, 2 },

= 2y 4z, y, z) : 0 y, 0 z, y + 2z 2} = z) : (y, z) T

dove è l’insieme

T 6 6 6

R 2

{(y, 2

T = z) : 0 y, 0 z, y + 2z 2}

e Osserviamo che, nel piano è il triangolo di vertici

r(y, z) = (4 2y 4z, y, z). Oyz, T

e e è il triangolo di vertici e (qui c’è un

O(0, 0, 0), A(0, 2, 0) B(0, 0, 1) C(4, 0, 0), A B

piccolo abuso di notazioni: è di coordinate nel piano e di coordinate

A (2, 0) Oyz (0, 2, 0)

nello spazio; dovremmo usare due nomi di punti diversi).

3. y

z B A

1 2

T 1

O 1 2 C

3 x

La matrice jacobiana di è

r 0 1

2 4

@ A

1 0

Jr(y, z) = 0 1

e l’elemento di superficie è 0 1

1 p

@r @r @ A

dS dydz dydz dydz.

^ 2

= = = 21

@y @z 4

Abbiamo perciò

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