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A A

y′ = , y′

′ = − .

Si ha p p

x x 2

( )

A

2 | | | | | |

x − − 2A log x = − A − 2A log x = 2 log x .

Sostituendo: x 2

−2A = 2 ⇒ A = − 1

Confrontando si ha .

−A = 1

Verificando il termine costante: , corretto.

| |

y = − log x .

Quindi: p 2 −1 | |

y(x) = C x + C x − log x .

La soluzione generale sarà quindi: 1 2

Esercizio 2 ∞ n n

∑ x (1 − x)

Data la serie: determinare l'insieme di convergenza.

n=0

Soluzione: n

[x (1 − x)] .

Il termine generale è: | |

x (1 − x) < 1.

Usiamo il criterio del rapporto: 2

t = x (1 − x) = x − x

Poniamo . x = 1/2$ t = 1/4

Il massimo della parabola si ha in con .

ma x

| |

t < 1 x ∈ ℝ x

Poiché per ogni , la serie converge per tutti gli reali.

I = ℝ .

Quindi:

  

  Esercizio 3 x

∬ D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y, x + y ≤ 2}

I = d x d y

Calcolare: dove .

x + y + 1

D

Soluzione: D y = x, y = 2 − x, x = 0.

La regione è delimitata da:

y = x y = 2 − x x = 1

Intersecando con si trova .

x ∈ [0,1] y ∈ [x,2 − x]

Dunque .

1 2−x x

∫ ∫

I = dy d x .

L'integrale diventa: x + y + 1

0 x

u = x + y + 1 ⇒ du = d y

Poniamo .

y = x u = 2x + 1 y = 2 − x u = 3

Quando , , quando , .

L'integrale diventa:

1 3 1 1

1 ln(3)

∫ ∫ ∫ ∫

x du d x = x[ln(3) − ln(2x + 1)] d x = − x ln(2x + 1) d x .

u 2

0 2x+1 0 0

u = ln(2x + 1), d v = x d x

L'ultimo integrale si calcola per parti ponendo .

Il calcolo numerico fornisce il valore finale.

Esercizio 4 2

x y′ + (3x + 1)y = 0 y(1) = 3

Trovare l'integrale generale di: con .

Soluzione: d y 3x + 1

+ y = 0.

L'equazione si riscrive come dx x 2 3x + 1 1 1

∫ ∫ ∫

( dx) (3 dx+ dx) 3 −1/x

μ(x) = e = e = x e .

x

2 2

Troviamo un fattore integrante: x x

d 3 −1/x 3 −1/x

[y ⋅ x e ] = 0 ⇒ y ⋅ x e = C .

Allora: dx 3 −1 −1

y(1) = 3 3 ⋅ 1 e = C ⇒ C = 3e .

Applicando :

−1

3e −3 1/x

y(x) = = 3x e .

Dunque: x e

3 −1/x

 Esercizio 5 −1 2

y(t) = L [(6s − 4)/(s − 4s + 20)] .

Determinare la funzione:

Soluzione: 2 2

s − 4s + 20 = (s − 2) + 16.

Il denominatore è:

u = s − 2 , s = u + 2.

Poniamo 6(u + 2) − 4 = 6u + 12 − 4 = 6u + 8.

Il numeratore diventa:

(6u + 8)

−1

L .

Ora abbiamo: (u + 16)

2

6u 8

+ .

Separiamo: (u + 16) (u + 16)

2 2 1 1

u −1

−1

L = cos(4t) L = sin(4t) .

Usando le trasformate note: , (u + 16) 4

(u + 16) 2

2 2t

y(t) = 6cos(4t) + 2sin(4t)e .

Dunque:

Esercizio 6

Calcolare l'integrale doppio:

2

y

∬ 2 2

I = d x d y, D = (x, y) : x + y ≥ 1,0 ≤ y ≤ x,0 ≤ x ≤ 2.

dove

x + y

2 2

D

Soluzione: x = r cos(θ ), y = rsin(θ ) .

Conviene passare a coordinate polari ponendo: π

y = x ta n(θ ) = 1 θ =

La condizione implica , quindi .

4

y = 0 θ = 0

La condizione implica . 2 2

x + y = 1 r = 2 sec(θ )

Il dominio in r parte da r = 1 (poiché ) fino a .

π/4 2sec(θ) π/4 2sec(θ)

2 2

r sin (θ )

∫ ∫ ∫ ∫

2

I = r dr d θ = sin (θ ) r dr d θ .

L'integrale diventa: r 2

0 1 0 1

Si calcola l'integrale interno e poi quello in \theta per ottenere il valore finale.

Esercizio 7 ( ) n

∞ x +1

∑ .

Determinare l'insieme di convergenza e la somma della serie: x − 5

n=0

Soluzione: x +1 < 1.

La serie è geometrica e converge se: x − 5

| | | |

x + 1 < x − 5 .

Risolvendo: x > 5 x < 5

Si considerano i casi e e si determina l'intervallo valido.

x ∈ (−2,3)

Si ottiene: . 1 x − 5 x − 5 5 − x

S = = = = .

La somma della serie è: x − 5 − x − 1 −6 6

x +1

1 − x − 5

Esercizio 8 2

12x − 35

f (x) = .

Studiare lo sviluppo in serie di MacLaurin della funzione: x − 2

2

Soluzione: 35 + 24 59

f (x) = 12 − = 12 − .

Scriviamo: x − 2 x − 2

2 2

2

y = x ,

Poniamo si ha:

59 59 59 1

f (x) = 12 − = 12 − = 12 + ⋅ .

y − 2 −2(1 − y /2) 2 1 − y /2

( ) n

∞ ∞ 2n

1 y x

∑ ∑

= = .

Ora sviluppiamo in serie di potenze: 1 − y /2 2 2 n

n=0 n=0

∞ 2n

59 x

f (x) = 12 + .

Quindi: 2 2 n

n=0

Esercizio 9

Calcolare l’integrale:

∬ x y d x d y, D = (x, y) : 0 < = x < = 2,0 < = y < = 2,2 < = x + y < = 4.

dove

D

Soluzione: y ≥ 0,x ≥ 0,y ≤ 2,x ≤ 2,x + y ≥ 2,x + y ≤ 4.

Le condizioni equivalgono a:

Il dominio D è un quadrilatero che si può parametrizzare facilmente oppure dividere in

2 min(2,4−x)

∫ ∫ xy dy d x .

due triangoli. Si calcola l'integrale come: x=0 y=ma x(0,2−x)

Si eseguono i calcoli interni e successivamente l'integrale in x per ottenere il valore

numerico.

Esercizio 10 ∫ 2 2

(y + x y)d x + (x + x y)d y,

Calcolare l'integrale di linea: γ

γ

dove è l'arco di circonferenza di raggio 2, centro nell'origine, da A(2,0) a B(0,2).

Soluzione: 2 2

F = (y + x y, x + x y),

Poiché il campo vettoriale è calcoliamo:

∂Q ∂P

= 2x + y, = 2y + x .

∂x ∂y

Il rotore non è nullo, quindi non è conservativo.

Si parametrizza la circonferenza: π

x = 2cos(t), y = 2sin(t), t ∈ [0, ] .

2

d x = − 2sin(t)dt, d y = 2cos(t)dt .

Si calcola π

Si sostituiscono nella forma e si integra da 0 a per ottenere il valore.

2

Esercizio 11

Integrare l'equazione differenziale:

2 3

x y′

′ − 3x y′ − 4y = − x ln(x), x > 0.

con

Soluzione:

Si riconosce come equazione di Eulero:

m m−1 m−2

y = x y′ = m x , y′

′ = m(m − 1)x .

Poniamo , calcoliamo

2 m−2 m−1 m m

x m(m − 1)x − 3x m x − 4x = x [m(m − 1) − 3m − 4] = 0.

Sostituendo: 2

m(m − 1 − 3) − 4 = m(m − 4) − 4 = m − 4m − 4 = 0.

Otteniamo: Δ = 16 + 16 = 32.

Calcoliamo il delta: ± 4±4

4 32 2 =2±2

m = = 2.

Le soluzioni sono: 2 2 3

−x ln(x)

Si troverà una soluzione particolare per il termine utilizzando il metodo di

variazione dei parametri.

Esercizio 12

Calcolare utilizzando la trasformata di Laplace delle funzioni periodiche:

T

∫ −st

e cos(5t)dt, T y = cos(5t)

dove il periodo di .

0

Soluzione: 2π

cos(5t) T = .

Il periodo di : 5

La formula della trasformata di Laplace per funzioni periodiche dice

T −st

∫ e f (t)dt

0

L[ f ](s) = .

1 − e −sT

T

∫ −st −sT

e cos(5t)dt = L[cos(5t)](s) ⋅ (1 − e ) .

Invertendo, si ha: 0 2

L[cos(5t)] = s /(s + 25)

Calcolando , si ottiene l'espressione.

      è è

Esercizio 13

Calcolare l'integrale: 2

x x

∬ 2

D = (x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ x .

d x d y, dove

x + y 2

2 2

D

Soluzione:

La regione meglio gestibile in coordinate polari ponendo

x = r cos(θ ), y = r sin(θ )

.

2 2

r sin(θ ) = x θ

Si imposta: , da cui si trova e i limiti per r.

Si calcola:

x r cos(θ ) cos(θ )

∬ ∬ ∬ ∫∫

d x d y = rdrdθ = rdrdθ = cos(θ )drdθ .

x + y r r

2 2 2

D D D

Si risolve l'integrale con i limiti identi icati gra icamente.

Esercizio 14 ∞ 2

n n

∑ x .

Studiare la convergenza della serie di funzioni: 3 n

n=0

Soluzione: 2

n n

a = x .

Usiamo il criterio del rapporto: n 3 n

Calcoliamo: ( )

2 n+1 n 2

a (n + 1) x 3 (n + 1)

n+1 | | | |

lim = lim = x /3 ⋅ lim = x /3 .

a n x 3 n

2 n n+1 2

n→∞ n→∞ n→∞

n | | | |

x /3 < 1 ⇒ x < 3.

La serie converge se:

Veri icare il comportamento agli estremi con criterio di Raabe o di Cauchy.

I = (−3,3) .

In generale, l'intervallo di convergenza :

f è f è f

Esercizio 15

Risolvere il problema di Cauchy:

y log(x)

y′ = − + y(1) = 1

x x 2

Soluzione: 1 log(x)

y′ + y = .

L'equazione differenziale : x x 2

1

∫ d x

μ(x) = e = x .

Troviamo un fattore integrante: x

log(x)

x y′ + y = .

Moltiplichiamo: x

d log(x)

[x y] = .

Osserviamo che: dx x

log(x)

x y = dx + C .

Integrando: x 2 2

u log (x)

1 ∫ u du = = .

u = log(x), du = ⇒

Poniamo xd x 2 2

2

log (x)

x y = + C .

Dunque: 2 2

log (1) C

1 = + ⇒ C = 1.

y(1) = 1

Usiamo la condizione iniziale : 2 1

In ine: 2

log (x) + 2

y(x) = .

2x

 

f è

Soluzioni Esercizi Analisi 2 - 10/06/2025

Esercizio 1 ∞

2 sin(k x)

∑ .

Studiare la convergenza puntuale nell'intervallo [0, ] della serie di funzioni:

π k

k=1

Soluzione: 2 2 x

− < x

Si tratta della serie di Fourier della funzione a tratti che coincide con con .

π π

∞ sin(k x)

Poiché: . è la serie di Fourier di una funzione limitata e integrabile, essa converge

k

k=1

puntualmente in ogni punto di continuità. (π − x) , 0 < x < 2π .

In particolare, si può richiamare che la serie converge a: 2

2

Quindi, la serie converge puntualmente in [0, ] con valore limite noto sui punti interni.

π

Esercizio 2 y′

′ + y = 0, y(0) = 0, y′

(0) = 0.

Integrare mediante la trasformata di Laplace il problema:

Soluzione:

Applichiamo la trasformata di Laplace:

2 2

L[y′

] + L[y] = s Y(s) − s y(0) − y′

(0) + Y(s) = (s + 1)Y(s) = 0.

y(0) = 0,y′

(0) = 0 Y(s)

Dettagli
Publisher
A.A. 2024-2025
13 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kaiserNyan_ di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi Matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi Roma Tre o del prof Natalini Pierpaolo.