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Richiami
limiti per successioni
xk → xo ∈ ↠ |xk - xo| → 0
∑k=1m|xim - xio|2
Limite di funzione
f: ↠m → ↠
xo ∈ ↠m def in un intorno o
- L ∈ &R
limx → xo
F(x):= {— xk → xo =>
limk → ∞ f(xk) = L
Osservazioni
- L ∈ ↠ limx → xo f(x) = +∞ {— ∀K ∃δ : |xi - xo| <δ → f(x) > K
- limx → xo f(x) = L∀ε > 0 ∃γε 0∀|δx. |x1| > x
⇒ |f(x) - L| < ε
Valevanole proprietà dei limiti
Esempio
f(x,y) = sin2t non ci sono nessun problema 1 + x2 per le contr. non fa
Teorema
f: Rn → R × ℝm f definita in un intorno di x0
supponiamo che
1. L > 0 → ∃ δ > 0 | f(x) > 0 se |x - x0| < δ
2. se f(x) ≥ 0
a
lim x__→x0
x → x0
=> L > 0
Se f(x) ≥ 0 in un intorno di x0 non posso oltre che il limite L sia < 0
Forme di indeterminazione
- Posibilità
- Voglio dimostrare che il limite non esiste
- Voglio calcolare il limite
1. Idea: calcolare il limite su due curve che passano per il punto x0 e osservare che i limiti sulle curve sono diversi
In generale f: A ⊂ ℝn → ℝ
curve: φ1t ∈ ℝ → ℝ
φ2t ∈ ℝ → ℝ
=> calcolare f(φi(t))
Derivate parziali, differenziabilità
Richiami
f : ℝm → ℝ
∂f/∂x (x0,y0) = limh→0 [f(x0+h,y0) - f(x0)]/h
∂f/∂y (x0,y0) = limh→0 [f(x0,y0+h) - f(x0,y0)]/h
Gradient
∇f(x0,y0) = (∂f/∂x (x0,y0), ∂f/∂y (x0,y0))
Differenziabilità
f è differenziabile in x0∈A ⊆ ℝm se ∃z in ℝn tale che
lim|h|→0 [f(x0+h) - f(x0) - ⟨z,h⟩]/|h| = 0
Se f è differenziabile in x0, si dice IPERPIANO TANGENTE al grafico di f è l'iperpiano:
z = f(x0) + z∇f(x0) ⋅ (x-x0)
f(x0) + ∑i=1m ∂f/∂x (x0,y0)(xi-x0i)
Derivate di ordine successivo
es. m=2
f: A ⊆ ℝ² → ℝ
∂if(x,y) = (∂f/∂x (x0,y0), ∂f/∂y (x0,y0))
Notazione
- ∂/∂x (∂/∂x f(x0,y0
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