Esercitazione di laboratorio - allungamento di una molla

Formule per il calcolo di K e la sua incertezza:

B́ B́ B́ B́max min max minB= ; ∆ B=2 2 ( )−1g ( )=g (B)K= ; σ K ∙ σ-

Formule per il calcolo dei coefficienti A e B attraverso il metodo della regressione lineare:

n n n n n n n∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑2 − −x y x x y n∙ x y x yi i i i i i i i i=1i=1 i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1A= ; B=∆ ∆√ n∑ 2x √( ) ( )2n n i n∑ ∑2 i=1( )= ( )=σ−∆=n ∙ x x ; σ A ∙ σ ; σ B ∙i i s y s y∆ ∆i=1 i=1

Calcolo della media aritmetica delle misure dell'allungamento e le relative incertezze:

applicando la formula della media aritmetica e della deviazione standard della media aritmetica si ottiene:

6∑ ∆ L∆ L i

Per : 1+1+2+1+2+1´1 i=1= = =1,33∆ L mm1 6 6√ 6∑ ´ 2(∆ − )L ∆ L √ (il risultatoi 1 0,7778´( ) i=1= = =0,16σ ∆ L mms 1 (6−1)6 30dell'incertezza è stato

Poiché il risultato dell'incertezza ottenuto risulta più piccolo del divisore minimo diviso radice di dodici, la deviazione standard della media verrà scartata e verrà usato σ = 0,29 mm √12.

Per ognuna delle 6 misure dell'allungamento relative a ciascuna massa è stato applicato questo procedimento, si è ottenuta così la seguente tabella:

M [Kg]	[mm]	Δ L [mm]	σ Δ Ln	n s ng
0,08	1,33	0,29	1,40	0,29
0,16	19	0,29	2,80	0,29
0,24	41,17	0,29	4,20	0,29
0,32	62,17	0,29	5,60	0,32
0,40	83,67	0,32	7,00	0,29
0,48	105,17	0,29	8,40	0,29
0,56	126,17	0,30	9,80	0,29
0,65	148	0,29	12,0	0,45
0,73	168,50	0,29	12,6	0,29
0,81	191,83	0,45	14,8	0,45

Allungamento della molla: 191.83 mm

Il grafico ottenuto rispecchia quanto ci si aspettava dalla legge di Hooke, cioè un andamento lineare.

dell'allungamento della molla rispetto alla variazione dellamassa.

Metodo grafico

- Retta di massima pendenza (tra m1 e m2):

La retta dovrà passare per i punti P1 (0,08140 ; 1,04) e P2 (0,814 ; 192,28)

{ (m1) + 1,04 = (B1) * 0,0814 + (A1) * max

{ (m2) + 192,28 = (B2) * 0,814 + (A2) * max

[mm] = 261,04 * (B1) - 20,21 [mm]

Risolvendo il sistema si ricava: emax = 260,04 [mm] ; B1 = -20,21 [mm] ; A1 = 1,01 [Kg]

- Retta di minima pendenza (tra m3 e m4):

La retta dovrà passare per i punti P3 (0,08140 ; 1,62) e P4 (0,814 ; 191,38)

{ [mm] = 259,03 * (B3) + 1,62 ; B3 = 0,0814 * (A3) - 19,47 [min]

{ [mm] = 191,38 * (B4) + 0,814 ; B4 = -19,47 [min]

- Calcolo della semi-somma e semi-differenza:

[mm] = 520,06 * (B1 + B3) / 2 ; ∆B = 2,02 [mm]

|[mm]| = |(B1) - (B3)| / 2 ; ∆A = 0,37 [mm]

Perciò: ∆L = 260,04 ± 1,01 [mm] ; m ± 0,37 [Kg]

- Calcolo della costante elastica:

^g 9,81 N = 37,73 K = -3B m260,04 ∙ 10^-1 ∙ 9,81 N ∙ 10^-3 = g = 0,15σ K ∙ σ B ∙ 1,01∙ 10^-9 s^-2 m^-3 2B 67,62∙ 10^-3 NK = 37,73 ± 0,15 Perciò: m Il valore di m può essere ricavato dai coefficienti A e B poiché contenuto in A e 0 la sua incertezza può essere calcolata propagando le incertezze dei due coefficienti. Metodo di regressione lineare ( ) ( ) 2n n∑ ∑ 2 2( ) - ( ) = 5,466 - 10 [Kg] ∆ = n ∙ x x ∙ 2,551 20,044 i i=1 i=1 n n n n∑ ∑ ∑ ∑ 2 - x y x x y i i i i ( ) ( ) - (4,477)(566,77) 2,551 947 = 1 i=1 i i=1 i=1 = - 22,25 [A= mm] ∆ 5,466 n n n∑ ∑ ∑ - n ∙ x y x y [ ] i i i i ( ) - (4,477)(947) 10 566,77 mm i=1 i=1 i=1 = 261,25 B = ∆ 5,466 Kg√ n∑ 2x i i=1 ( ) = 0,34 [mm] ∆ A ∙ ∆ s y