Esercitazione 9 Costruzioni Idrauliche

1) Calcolo della portata prima del raddoppio

Innanzitutto calcoliamo il Reynolds di attrito per determinare il regime di moto:

¿

μ ∙ε

¿

ℜ = ν √ ( )

D ¿

¿

dove , con velocità d’attrito

μ

=

μ g ∙ ∙ J

4

considerando che

Y

= =0,022

J L

risulta

¿ =0,147

μ m/s

In definitiva avremo:

¿

ℜ =113

*

Poiché Re è maggiore di 70 questo implica che il regime di moto è puramente turbolento.

Mediante la formula di Prandtl possiamo calcolare l’indice di resistenza λ: 1

( )

( )

1 1 ε ( )

=−2 2

log ∙ λ = ε

−2 log

√ 3,71 D

λ 3,71 D

λ = 0,025

Per il calcolo della velocità, invece, ci riferiremo alla formula di Darcy - Weisbach:

√

2

λ∙V 2∙ g ∙ D ∙ J

=

J = =2,62m/s

V

2∙ g ∙ D λ

Nota la velocità ed il diametro risulta banale il calcolo della portata:

2

V ∙ π ∙ D 3

=0,33 /s

Q=V ∙ A= m

4

2) Incremento della portata del 30%

Si vuole incrementare del 30% questa portata quindi, nel ramo 1 avremo:

3

=1,30 /s

Q ∙Q=0,43 m

1

Vogliamo stimare, inoltre, la portata nel ramo 2 e nel ramo 3, quindi mettiamo a sistema le

seguenti condizioni:

{ +

L=L L =L

con L

1 2 2 3

=J +

Y L J L

1 1 2 2

=Q +Q

Q 1 2 3

=J =J

J L L → J

3 3 2 2 3 2

dalla formula di Darcy - Weisbach:

2 2 2

λ∙V λ ∙Q 8 ∙ λ ∙ Q

= = =

J ( )

2 2 5

2∙ g ∙ D 2 g ∙ π ∙ D

π ∙ D

2 ∙ g ∙ D∙ 4

Inserendo J all’interno del sistema precedente avremo:

{ =Q +Q

Q 1 2 3

2 2

8 ∙ λ ∙ Q 8∙ λ ∙ Q

2 2 3 3

=

2 5 2 5

g ∙ π ∙ D g ∙ π ∙ D

2 3

In cui: λ e λ

- i valori di vengono determinati a partire dalla formula per il moto puramente

2 3

turbolento(Prandlt)

- D è pari a D;

3

- D pari a 0,45 m,;

2

- Q - Q = Q

1 2 3 λ = 0,0241

2

( )

1 1 ε

=−2 log ∙ da cui

√ 3,71 D

λ λ = 0,0243

3

Quindi possiamo scrivere 2

2 ( )

−Q

8 ∙ λ ∙ Q

8 ∙ λ ∙ Q 3 1 2

2 2 =

2 5 2 5

g ∙ π ∙ D g ∙ π ∙ D

2 3

Da cui ricaviamo, tramite la formula inversa il valore di Q :

2

3

Q = 0,247 m /s

2 =Q +Q =Q −Q

Q Q 3 3

Ma , quindi = (0,43 - 0,247) m /s = 0,183 m /s

1 2 3 3 1 2

Da qui ricaviamo J e J :

2 3

2

8∙ λ ∙Q

2 2

= =0,0066=J

J 2 3

2 5

g ∙ π ∙ D 2

Verifichiamo che il moto sia puramente turbolento:

√ D

( )∙

g∙ ∙ J ε

2

4

¿

ℜ = =65,65

2 ν

√ D

(g )∙

∙ ∙ J ε

3

4

¿

ℜ = =61,9

3 ν

IPOTESI NON VERIFICATA.

¿

ℜ

Entrambi i valori di sono minori di 70, perciò non verificano il regime di moto ipotizzato.

Consideriamo, ora, un regime di moto turbolento di transizione.

Fissiamo come valore di primo tentativo, quello delle portate ricavate nell’ipotesi di moto

puramente turbolento e utilizziamo la formula di Colebrook e White per determinare l’indice di

resistenza e da questo definiremo tutte le altre informazioni utili per la risoluzione del problema

posto:

Q Q

= =

V A π 2

∙D

4

V ∙D

ℜ= ν ( )

1 2,51 1 ε

=−2 +

log ∙ , COLEBROOK E WHITE

√ √ 3,71 D

ℜ∙

λ λ