Esercitazione 6giugno 2013 ok

C

assoluta) quanto più cresce la fonte comune di erraticità;

- decresce con , tale coefficiente è tanto più basso (e la valutazione è più assoluta che

Var(x )

B

relativa) quanto più è erratico il rendimento di B, ovvero sono più presenti fattori che influenzano

solo il rendimento del manager B. 2

Esercitazione 6 giugno 2013

Esercizio 2

Un imprenditore avverso al rischio sta considerando la possibilità di vendere al pubblico delle

quote della sua impresa, ma egli continuerà comunque a gestire l’impresa anche dopo che

questa è stata resa pubblica. L'imprenditore valuta il reddito dell’impresa, x, e gli altri benefici

1 ( ) 1 / 2

manageriali, c, secondo la seguente funzione di utilità: 100

( , ) dove è

= − + x

u x c x Var x c ,

2

( )

il valor medio del reddito e la sua varianza. Il profitto incerto dell’impresa è pari a Y- c:

Var x

ogni dollaro speso a beneficio del manager riduce perciò i profitti di un uguale ammontare. La

2

varianza di Y (e perciò anche quella di (Y - c)) è uguale a che assumiamo essere più elevata

σ

di 2.500. L’imprenditore è attualmente l’unico titolare dell’azienda, ed il suo reddito è dunque

pari all’intero profitto dell’impresa. Quale livello di benefici c sceglierà?

Si supponga ora che l’imprenditore venda una frazione dell’impresa a degli investitori

α

neutrali verso il rischio, mantenendo a sé stesso la quota di (1- ). Egli riceve dunque, sotto

α ), e ottiene anche la sua

forma di reddito, l’ammontare pagato da questi investitori, diciamo M(

α

quota, (1 - ) (Y - c), del profitto stocastico. Quale relazione esiste tra il valore di , la quota

α α

che egli vende della sua impresa, ed il livello di c che egli sceglierà successivamente? La sua

scelta massimizza il valore totale (la somma dell’utilità attesa dell’imprenditore e degli

investitori)? Qual è l’espressione dei profitti attesi in funzione di ?

α

Soluzione

Quando l’impresa ottiene i profitti una parte di questi va al manager sotto forma di benefici :

Y c

pertanto i profitti dell’impresa al netto dei benefici ammontano a e devono essere ripartiti fra i

Y-c

vari proprietari. Va, inoltre, notato che l’affermazione del testo “ogni dollaro speso a beneficio del

manager riduce i profitti di un uguale ammontare” descrive una delle condizioni di assenza di effetti

di ricchezza: più precisamente, questa affermazione corrisponde a dire che per ogni spostamento da

un paniere ad un altro esiste una somma tale da compensare il suddetto spostamento. Le altre due

condizioni consistono nel fatto che tale somma deve sempre esistere e che deve essere piccola

rispetto alla ricchezza iniziale delle parti. Nel caso in esame tutte le tre condizioni di assenza di

effetti di ricchezza risultano soddisfatte. 3

Esercitazione 6 giugno 2013

1. in questo caso il manager è l’unico proprietario dell’impresa. Quando l’impresa realizza i

profitti egli ne prende una quota sotto forma di benefici. La parte rimanente è destinata

Y c Y-c

solamente al manager, in quanto unico proprietario dell’impresa e, quindi, costituisce il suo

reddito .

x

Si ha, pertanto:

x=Y-c

L’utilità dell’agente, quindi, risulta:

1 1

( ) ( ) ( )

1 / 2 1 / 2

( , ) 100 100

= − + = − − − + =

u x c x Var x c Y c Var Y c c

2 2

1

( ) 2 1 / 2

100

σ

= − − +

Y c c

2

L’agente decide il livello di benefici in modo tale da massimizzare la propria utilità:

c

( )

du x , c = 0

dc -1/2

-1+50c =0

-1/2

50c =1

1/2

c =50

*

c =2.500

2. in questo caso l’imprenditore/manager ha deciso di vendere una quota dell’impresa ad alcuni

α

investitori e di trattenere in suo possesso la quota . Per acquistare la quota gli investitori

α α

(1-α

)

.

pagano la somma α

M(α

)

Quando l’impresa realizza i profitti una parte di questi viene data al manager sotto forma di

Y

benefici e la quota rimanente deve essere distribuita fra il manager e gli investitori in

Y-c

accordo con la quota dell’impresa posseduta dalle due parti. I redditi delle due parti saranno

quindi: α α

x =(1-α

)(Y-c)+M(α

)

imprenditore α α

x = (Y-c)-M(α

)

investitori

Il manager decide il livello di benefici in modo tale da massimizzare la propria utilità:

c

1 ( ) 1 / 2

= − + =

u ( x , c ) x Var x 100

c

2 1

[ ] [ ]

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 / 2

= − α − + α − − α − + α + =

E 1 Y c M Var 1 Y c M 100

c

2 4

Esercitazione 6 giugno 2013 1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 / 2

= − α − + α − − α + =

1 Y c M 1 Var Y 100

c

2

1

( )

( ) ( ) ( )

2 2 1 / 2

= − α − + α − − α σ +

1 Y c M 1 100

c

2

( )

du x , c = 0

dc -1/2

α

-(1-α

)+50c =0

2 . 500

* =

c ( )

2

− α

1

Si noti che, poiché , il valore di scelto in questo caso è maggiore di quello ottenuto

α)<1

α

0<(1- c

nel caso 1. sia efficiente è sufficiente verificare se essa massimizza il

Per vedere se una tale scelta di c

valore totale delle parti (siamo in assenza di effetti di ricchezza).

Il valore totale delle parti è dato dalla somma delle utilità dei soggetti coinvolti:

u(x,c) =u(x,c) +u(x,c) =

TOT imprenditore investitori

1

( )

( ) ( ) ( )

2 2 1 / 2 α α

− α − + α − − α σ +

= +α

( -c)-M(α

)=

1 Y c M 1 100

c Y

2

1 2 2 1/2

= -c- +

α α α α σ α α α

c+M(α

)- (1-α

) +100c +α -α

c-M(α

)=

Y Y Y

2

1 2 2 1/2

α σ

= -c- (1-α

) +100c

Y 2

( )

du x , c TOT = 0

dc

-1/2

-1+50c =0

*efficiente

c =2.500

Il livello di benefici efficiente è quello che si era trovato al punto 1., ovvero quando il manager

era l’unico proprietario dell’impresa: la vendita di una parte della compagnia ha creato un

disallineamento fra gli obiettivi delle parti e la possibilità di avere comportamenti

opportunistici.

Con la vendita di una quota della società il manager tratterrà una quantità sotto forma di

α c

2

benefici pari a . Di conseguenza, i profitti attesi dalle due parti saranno:

α

2.500/(1-α

)  

2

.

500

−

Π α α α α

 

Y

E[Π ]=(1-α

)( -c)+M(α

)=(1-α

) +M(α

)

Y

imprenditore ( )

2

− α

 1 5

Esercitazione 6 giugno 2013   α

2

.

500 2 . 500 ( )

−

Π α α α α α − − α

 

Y

E[Π ]=α

( -c)-M(α

)=α -M(α

)= Y M

Y

investitori ( ) ( )

2 2

α

− − α

 

1 1

Esercizio 3 1/2

, ha a disposizione un’opportunità di reddito che

Sara, che ha la funzione di utilità U = y

potrà dar luogo a un reddito di 4 oppure di 16, ciascuno con probabilità ½.

(a) Determinare il valore esatto dell’equivalente certo del reddito incerto di Sara.

(b) Determinare il valore esatto del premio per il rischio.

Soluzione

(a) Poiché nel caso in esame è nota la funzione di utilità, equivalente certo e premio per il

rischio possono essere calcolati in modo esatto, sulla base delle loro definizioni.

L’equivalente certo è la somma certa EC che dà a Sara un’utilità pari all’utilità attesa del

reddito incerto. L’utilità attesa del reddito incerto è:

1/2 1/2

E[U(y)] = 1/2 (4 ) + ½ (16 ) = 1+2 =3

Imponendo la condizione suddetta si ha:

1/2

EC = 3

da cui

EC = 9

Per definizione, il premio per il rischio è la differenza tra il valore atteso del reddito incerto

(b) (o reddito atteso) e l’equivalente certo. Il reddito atteso è:

E (R) = 1/2 (4) + 1/2 (16) = 10

Quindi il premio per il rischio è pari a:

Pr = 10 – 9 = 1 6

Esercitazione 6 giugno 2013

Esercizio 4

Gianni ha a disposizione due progetti di investimento, R ed S. Da R può ottenere un reddito

netto x di 55 oppure di 85, ciascuno con probabilità ½, mentre da S può ottenere, sempre con

r

probabilità ½ ciascuno, un reddito netto x di 62 oppure di 70.

s

1. Quale progetto sceglierà Gianni, se ha un coefficiente di assoluta avversione al rischio pari a

?

0,05

2. Supponiamo però ora che Gianni possa condividere il rischio con Paolo, che pure ha un

coefficiente di avversione al rischio di . Quale sarà la quota del reddito incerto che

0,05

spetterà ai due individui?

3. Se la scelta tra i due progetti avviene dopo che si è deciso di condividere il rischio, quale

progetto verrà scelto?

Gianni accetterà di cedere una quota del reddito incerto inizialmente a sua disposizione solo

4. se Paolo gli paga qualcosa per questo, mentre Paolo potrà a sua volta accettare solo se tale

pagamento non è troppo elevato. Determinate entro quale intervallo dovrà essere compreso

tale pagamento affinché la condivisione risulti accettabile per entrambi.

Soluzione

1. Per vedere quale progetto sceglierà Gianni, calcoliamo l’equivalente certo dei due progetti,

verrà ovviamente scelto il progetto con equivalente certo maggiore. 2

EC (R) = E [x ] - ½ * 0.05 * Var [x ] = [(55 * ½) + (85 * ½)] - ½ * 0.05 * [(55-70) * ½ +

r r

2

(85 – 70) * ½] = 64.375 2

EC (S) = E [x ] - ½ * 0.05 * Var [x ] = [(62 * ½) + (70 * ½)] - ½ * 0.05 * [(62-66) * ½ +

s s

2

(70 – 66) * ½] = 65.6

Gianni sceglierà l’investimento S, con equivalente certo totale maggiore.

2. Quota di quota di

ρ/(ρ+&si