Equazioni goniometriche, costruire modelli e risolvere problemi

MATEMATICAEQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONOMETRICHE

 COSTRUIRE ED UTILIZZARE MODELLI

 Conigli a Rotterdam

Il parco cittadino intorno alla torre panoramica di Rotterdam è popolato da un gran numero di piccoli conigli selvatici. Consideriamo la densità di questa popolazione, cioè il numero di esemplari per ettaro, e supponiamo che vari nel tempo con un andamento espresso dalla legge:

d(t) = 20 + 10 ⋅ cos(6t)

Dove t è il tempo misurato in anni, a partire dall'anno scelto come inizio dell'analisi. Determina quando, per t ≤ 12, la densità dei conigli per ettaro d è uguale a 15 e verifica graficamente la soluzione trovata. [t=4 anni e t=8 anni]

Svolgimento

Per risolvere il problema dobbiamo imporre che la funzione d(t) assuma il valore 15 con la condizione posta sulla variabile tempo che deve essere inferiore a 12 anni e comunque positivo:

20 + 10 ⋅ cos(6t) = 15

60 ≤ 6t ≤ 120

20 + 10 ⋅ cos(6t) = 15

60 ≤ 6t ≤ 12

Osserviamo anche che:

20 + 10 ⋅ cos(6t) = 0

0≤θ≤2π

Risolviamo l'equazione nella sola funzione coseno:

20 + 10⋅cos(θ) = 156

10⋅cos(θ) = 15 - 20

5cos(θ) = -6

cos(θ) = -6/10

Poniamo per semplicità: θ = π

Quindi, per quanto detto sopra, sarà: 0≤θ≤2π

Quali angoli hanno coseno pari a -6/10?

Disegniamo la retta di equazione y = -6/10 e x = 2.

Le sue intersezioni con la circonferenza goniometrica sono i punti (1, -6/10) e (2, -6/10).

Uniamo i punti con l'origine O e individuiamo i due angoli associati che hanno lo stesso coseno:

θ = 60°

Il primo angolo è associato di π/3.

Infatti: cos(π/3) = -6/10

Ovvero: 1/2 = -6/10

cos(π/3) = cos(180° - 60°) = cos(60°)

Il secondo angolo che ha lo stesso coseno (-6/10) è l'altro associato: π + π/3 = 2π/3

In radianti: cos(2π/3) = -6/10

Quindi considerando un solo giro: θ = π/3, 2π/3

Ed ora le soluzioni in anni:

θ = 2π/3, 4π/3, 6π/3, 8π/3

→ ⋅6 8 '(()3 6 3 3

Rappresentiamo graficamente la funzione

Grafico della funzione per valori di t inferiori a 12 anni