Equazioni differenziali svolte

Non ci resta che trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Un risultato

µ

µx

generale ci dice che se il termine noto è del tipo q(x)e dove q(x) è un polinomio e non è una

radice del polinomio associato all'equazione omogenea, allora si può trovare una soluzione

particolare della forma _ µx

y (x) = p(x) e µ

dove p(x) è un polinomio (da determinare) dello stesso grado di q. Nel nostro caso visto che = 3

λ −3λ+2 λ λ

2

mentre le radici del polinomio sono =1 e =2 possiamo dunque cercare una soluzione

1 2

particolare della forma _ 2 3x

y (x) = (ax +bx+c)e .

Si avrà dunque 3

_ ′(x) 2 3x 2 3x

y = [2ax + b+3ax +3bx+3c] e = [3ax +(2a+3b)x+b+3c] e

e _ ′′(x)

y 2 3x

= (6ax + 2a + 3b +9ax + (6a+9b)x+3b+9c) e

2 3x

= (9ax + (12a+9b)x + 2a + 6b + 9c) e .

Dunque _ _ _

′′−3 ′+

y y 2 y 2

= [(9a−9a+2a)x + (12a+9b−6a−9b+2b) x

3x

+2a+6b+9c−3b−9c+2c] e

2 3x

= [2ax + (6a+2b)x + 2a + 3b + 2c] e .

2 3x

Imponendo [y]′′−3[y]′+ 2[y]=x e si ottengono dunque le seguenti condizioni:

 2a=1

 6a+2b=0

 2a+3b+2c=0





che risolte danno a=[1/2], b=−[3/2] e c=[7/4]. La nostra soluzione particolare è quindi

 

_ 1 3 7

 − 

2 3x

y (x) = x x + e .

2 2 4

 

In conclusione l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione non omogenea è dato da

 −  3x x 2x

y(x) = 1 3 x + 7 e + c e + c e

2

x 1 2

2 2 4

  4

 

al variare dei parametri c e c .

1 2 x

y′′− y = xe . (6)

λ

Le radici del polinomio associato sono =±1, e quindi le soluzione dell'equazione omogenea sono

12 −x

x

y (x) = c e + c e .

0 1 2

µ

µx

x

Il termine noto xe è della forma p(x) e dove = 1 è una radice, con molteplicità 1 del polinomio

associato all'equazione differenziale. Dunque possiamo cercare una soluzione particolare della

forma _ x 2 x

y (x) = (ax +b)x e = (a x + bx) e .

Si ha _ ′(x)

y 2 x

= [a x + (b+2a) x + b] e

_ ′′(x)

y 2 x

= [a x + (b+4a) x + 2b + 2a] e

da cui _ _

′′− x

y y = (4ax + 2b + 2a) e

x

e imponendo [y]′′−[y] = xe si ottiene a=[1/4], b=−[1/4] da cui

−x)

_ = 1 2 x

(x e .

y 4 5

La soluzione generica dell'equazione non omogenea è dunque

 

1 1

 −  −x

2 x

y(x) = x x + c e + c e .

1 2

4 4

 

x

y′′− 2y′+ 2y = e sinx. (7)

L'equazione omogenea associata (2) ha le soluzioni

x x

y (x) = c e sinx + c e cosx

0 1 2

λ λ

che corrispondono alle radici complesse =1+i e =1−i del polinomio associato.

1 2

Notiamo che −e−ix

ix

e 1 1

−

x x (1+i)x (1−i)x

e sinx = e = e e .

2i 2i

2i

In generale quando il termine noto è del tipo µx

q(x) e

µ

dove q(x) è un polinomio e è una radice del polinomio associato all'equazione omogenea, allora è

possibile trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, della forma

_ µx

m

y (x) = p(x) x e µ

dove p(x) è un polinomio (da determinare) dello stesso grado di q(x) e m è la molteplicità di come

radice del polinomio associato all'equazione differenziale.

Nel nostro caso il termine noto si scrive come

−e

−ix

ix

e 1 1

−

x x (1+i)x (1−i)x

e sinx = e = e e .

2i 2i

2i 6

Ricordando che sia 1+i che 1−i sono radici del polinomio associato all'equazione, dobbiamo cercare

una soluzione particolare della forma

_ (1+i)x (1−i)x

y (x) = A x e + B x e

dove A e B sono coefficienti complessi da determinare. Visto che siamo interessati a trovare solo le

soluzioni reali dell'equazione, possiamo equivalentemente scrivere

_ x x

y (x) = a x e sinx + b x e cosx

dove a e b sono coefficienti reali.

Dunque si ha _ ′(x)

y −

x x x x x x

= a e sinx + a x e sinx + a x e cosx + b e cosx + b x e cosx b x e sinx

x x

= [(a−b)x + a] e sinx + [(a+b)x + b] e cosx

_ ′′(x)

y … −2b x x

= = (−2bx + 2a) e sinx + (2ax +2b +2a)e cosx

da cui _ _ _

′′−2 ′+2 −

x x

y y y =… = 2a e cosx 2 b e sinx

x

da cui, imponendo [y]′′−2[y]′+2[y]=e sinx, si ottiene a=0 e b=−[1/2] e quindi

_ 1

− x

y (x) = x e cosx

2

e in conclusione ogni soluzione (reale) si scrive come 7