Elaborato di Geometria

ANALISI MATEMATICA - ESAME DI ANALISI

PROVA CON CONTENUTI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

1) Scrivere l'equazione cartesiana del piano passante per A(1,2,3) B(-1,2,4) C(2,-3,4)

5x + 3y + 10z - 41 = 0

2) Risolvere se possibile il seguente sistema

2x + 4y + 6z = 18

4x + 5y + 6z = 24

3x + y - 2z = 4

x = 4 y = -2 z = 3

3) Dimostrare che w = (9,2,7) è combinazione lineare di u = (1,2,-1) e v = (6,4,2)

Calcolando, con la regola di Sarrus, il determinante della matrice associata a w, u, v

si ottiene il valore 0 (zero) a dimostrazione del fatto che i vettori non sono linearmente

indipendenti è di conseguenza w è combinazione lineare di u e v

4) Sia φ: R³ → R³ l'omomorfismo definito da:

φ(x,y,z) = (2x - y + z,x + 2y - 3z,x - 3y + 4z)

Determinare una base di Ker φ e una di Im φ

Segue

5) Trovare gli autovalori della matrice

A = _{( 3 2 )}

      _{(-1 0 )}

Segue

6) Classificare la conica

2x²-4xy-y²-4x-8y+14

La conica indicata è un IPERBOLE

ANALISI MATEMATICA - ESAME DI ANALISI

PROVA CON CONTENUTI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

1. Scrivere l'equazione cartesiana del piano passante per A(1,2,3) B(-1,2,4) C(2,-3,4)

5x + 3y + 10z -41 = 0

2. Risolvere se possibile il seguente sistema

2x + 4y + 6z = 18

4x + 5y + 6z = 24

3x + y - 2z = 4

x = 4 y = -2 z = 3

3. Dimostrare che w = (9,2,7) è combinazione lineare di u = (1,2,-1) e v = (6,4,2)

Calcolando, con la regola di Sarrus, il determinante della matrice associata a w, u, v

si ottiene il valore 0 (zero) a dimostrazione del fatto che i vettori non sono linearmente

indipendenti è di conseguenza w è combinazione lineare di u e v

4. Sia φ: ³ → ³ l'omomorfismo definito da:

φ(x,y,z) = (2x - y + z,x + 2y - 3z,x - 3y + 4z)

Determinare una base di Ker φ e una di Im φ

Segue

5. Trovare gli autovalori della matrice

A = _(3 2)

_(−1 0)

Segue

6. Classificare la conica

2x²−4xy−y²−4x−8y+14

La conica indicata è un IPERBOLE

1)

x-1 y-3 z-3

-2 0 1

1 -5 1

➔ 10(z-3)+y-2-[-5(x-1)+(-2) (y-2)

➔ 10z-30+y-2-[-5x+5+(-2y+4)]

➔ 10z-30+y-2+5x-5+2y-4 = ➔ (5x + 3y + 10z -41 = 0)

2)

A=

2 4 6

4 5 6

3 1 -2

RG (A)=3 M(123|123)

C=

2 4 6 18

4 5 6 24

1 -2 4

RG (A)= RG (C)=3

detA=

2 4 6

4 5 6 =:-20+72+24)-(90+12+32)=6

3 1 -2

18 4 6

24 5 6

4 1 -2

x= ___________________(-180 + 96 + 144) - (120 + 108 - 192)

Det A 6

2 18 6

4 24 6

3 4 -2

y= ___________________ (-96 + 324 + 96) - (432 + 48 - 144)

Det A 6

2 4 18

4 5 24

3 1 4

z= _________________ (40 + 288 + 72) - (270 + 48 + 64)

Det A 6

3)

• w =(9,2,7)
• u =(1,2,-1)
• v =(6,4,2)

1)

a (1,2,-1) + b (6,4,2) + c (9,2,7) = (0,0,0)

(a+6b+9c, 2°+4b+2c, -a+2b,7c) = (0,0,0)

a+6b+9c=02°+4b+2c=0-a+2b+7c=0

• 1 2 -2
• 6 4 1
• 9 2 7

(28 + 36 - 12) - (-36 + 4 + 84) = 0

M (12|12) =

• 4 2
• 6 4

= 4 - 12 = -8 ≠ 0

4)

• 2 -1 1
• 1 2 3
• 1 -3 4

BlmA = {(2,1,1):(1,2,-3)}

dimR₃ = dimImA + dimKerA dimKerA= 3-2=1

F (x,y,z)=(2x-y+z, x+2y-3z, x-3y+4z) = (0,0,0)

• 2x-y+z=0
• x+2y-3z=0
• x-3y+4z=0

x come parametro libero

• y=2x
• z=-5x
• y=-3x
• x=0

KerA = {(0,-3,-5)}

5)

A=

• 3 2
• -1 0

|A - λI|=0

A-λI=

• 3-λ 2
• -1 0-λ

A - λI =

• -λ 2
• 0-λ

= (3-λ) (0-λ))-(-2)=-λ²-3λ-2

|A - λI|=0 ⇔ λ²-3λ+2=0

Le soluzioni sono 2 e 1. Sono entrambe reali.

6)

2x⁴-4xy-y²-4x-8y+14