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PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE

ED ESEMPIO: La primitiva di una

funzione f nell’intervallo [a, b] è

ogni funzione F (x) tale che la sua

derivata F’ (x) coincida con la

funzione f nell’intervallo [a, b] Ad

funzione continua f nell’intervallo

[a, b] → R, la funzione integrale è

derivabile in tutto l’intervallo [a, b]

e si ha che: F’ (x) = f’ (x) dove F è

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 038

01. Detta F(x) la primitiva di f(x)=(16-16x

) che vale 0 in 0, F(1) vale

2 -1/2

1

π/2

4

π/8

02. Una primitiva di e

è

3x

e

3x

3e

3x

1/3 e -2

3x

3e +1

3x

03. Se F(x) è la primitiva di sin(2x)/(1+sin

x) che vale 0 in 0, allora F(π/2) vale

2

0

ln (1/2)

-1/2

ln 2

04. Se F(x) è la primitiva di sin(2x-π) con F(π/2)=1, allora F(π) vale

3/2

1

1/2

2

05. Detta F(x) la primitiva di (xe

+e )/e che vale 1 in 0, allora F(1) vale

x 2x x

e+1/2

e+3/2

e+1

e-1

06. Una primitiva di 3x(x

+1) è

2 1/2

x (x +1)

2 2 3/2

3(x +1) -1

2 3/2

(x +1) -1

2 3/2

2(x +1)

2 3/2

07. Una primitiva di (sin x)e

è

cos x

-e +1

cos x

(sin x)e -1

cos x

e

cos x

-(cos x)e

cos x © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 40/87

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

08. Una primitiva di (1+4x

) è

2 -1

arctan 2x

ln(1+4x

)/4

2

ln(1+4x

)

2

(1+arctan 2x)/2 Scaricato da Enrico Gramentieri (enricopuntog@gmail.com)

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 039

01. Se F(x) è la primitiva di ln x che vale 0 in e, allora F(1) vale

-1

0

e-1

1

02. Se F(x) è la primitiva di xcos 2x che vale 1/4 in 0, allora F(π/2) vale

-π/2

0

π/4-1/2

-1/4

03. Una primitiva di (e

+e ) è

x -x -1

(e -e )

x -x -1 vedi sotto

ln(e -e )

x -x paolo

26/10/2022, 12:30:29

ln(e +e )

x -x ---------------------------------

vedi sotto

arctan(e

)+2

x

04. Se F(x) è la primitiva di x(x-1)

che vale 0 in 1, allora F(2) vale

1/4

33/50

56/45

64/45

63/50

05. Se F(x) è la primitiva di

sin

e x che vale 0 in π/4, allora F(0) vale

x

1/2

-e/2

e/2

-1/2

3 paolo

26/10/2022, 12:30:40

---------------------------------

3

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 040

01. Se F(x) è la primitiva di (2x+3)/(x

+6x+9) che vale 3 in -2, allora F(0) vale

2

1+2ln 3

2ln 3

3+2ln 3

3

02. Se F(x) è la primitiva di -4)

(x che vale 0 in 0, allora F(1) vale

2 -1

-(ln 3)/4

-(ln 3)/2

-(ln 3)/3

-ln 3

03. Se F(x) è la primitiva di (2x+1)/(x

+4x+5) che vale ln 2 - 3π/4 in -1, allora F(-2) vale

2

ln 2 vedi pagina successiva

-3π/4 paolo

26/10/2022, 12:39:10

0 ---------------------------------

ln 2 + 3π/4 vedi pagina successiva

04. Se F(x) è la primitiva di (2x+1)/(x

+1) che vale 0 in 0, allora F(1) vale

2

π/4

1 + ln 2

ln 2

π/4 + ln 2

05. Se F(x) è la primitiva di (4x

-4x+1) che vale 1/2 in 0, allora F(1) vale

2 -1

-3/2

-1/2

1/2

3/2

06. Se F(x) è la primitiva di +3x)

(x che vale -(ln 2)/3 in -1, allora F(-2) vale

2 -1

-ln 2

-2(ln 2)/3

ln 2

(ln 2)/3

07. Se F(x) è la primitiva di -3x-1)/(x-3)

(x che vale 8 in 4, allora F(6) vale

2

18-ln 3

36-ln 3

18+ln 3

36+ln 3 © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 43/87

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

08. Se F(x) è la primitiva di 2(2x

+x)/(2x-1) che vale 3 in 1, allora F(2) vale

2

8-ln 4

8+ln 3

4-ln 3

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 042

01. L'integrale definito da 1 a e di ln(x) vale

1

e

-1

0

02. L'area della regione di piano delimitata dagli assi coordinati, dalla retta x=π/2 (π è pi greco) e dalla curva y = x sin x vale

π/2

1-π/2

1

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 043

01. La serie ∑(2a)

, dove la somma è per n che va da 1 a +∞, converge per

n

-1/2<a<1/2 e la somma è 2a/(1-2a)

-1<a<1 e la somma è 2a/(1-2a) paolo

-1<a<1 e la somma è 1/(1-2a) 27/10/2022, 22:19:57

---------------------------------

-1/2<a<1/2 e la somma è 1/(1-2a) vedi sotto

02. Se (a

) è una successione infinitesima, con

≥0 per

a ogni n, allora necessariamente la serie ∑a

n n n

converge

può convergere o divergere, ma non oscillare

diverge

può oscillare o convergere, ma non divergere

03. Spiega cosa sono le somme parziali di una serie e definisci la somma di una serie. paolo

17/10/2022, 11:47:29

---------------------------------

SOMME PARZIALI DI UNA

SERIE E SOMMA DI UAN

SERIE: In una successione di

∈ N, sono

numeri reali Yn con n

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 044

01. La serie ∑ n converge se e solo se

a-1

a<1

a≥1

a≥0

a<0

02. La serie ∑ sin(e

)/n

n 2

diverge, come si può dedurre dal criterio del rapporto

converge, come si può dedurre per confronto

diverge, come si può dedurre per confronto

converge, come si può dedurre osservando che il termine generale tende a 0

03. Se 0≤a

≤b per ogni n≥10, allora

n n

se ∑a diverge, allora anche ∑b

diverge

n n

∑a e ∑b sono entrambe convergenti o entrambe divergenti

n n

se ∑b diverge, allora anche ∑a

diverge

n n

Se ∑a converge, allora anche ∑b

converge

n n

04. Enuncia il criterio del rapporto per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione.

TEOREMA DEL RAPPORTO PER SERIE NUMERICHE ED ESEMPIO:

In una data serie numerica con termini positivi se accade che il limite per n

paolo

17/10/2022, 11:49:36

che tende a +infinito di yn+1/yn = lambda allora potremo definire la serie:

---------------------------------

- convergente se 0<=lambda<1 TEOREMA DEL RAPPORTO

- divergente se lambda >1. PER SERIE NUMERICHE ED

Da segnalare che il criterio del rapporto per serie numeriche non stabilisce

ESEMPIO: In una data serie

numerica con termini positivi se

il comportamento della serie numerica se λ= 1 serie numerica se λ= 1

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 045

01. La serie ∑(-1)

/(n+ln n), con n≥2,

n

diverge

converge, ma non assolutamente vedi sotto paolo

04/11/2022, 12:09:57

converge assolutamente ---------------------------------

oscilla vedi sotto

02. La serie numerica ∑(-1)

n , con a parametro reale,

n a

converge se e solo se a>-1 e converge assolutamente se e solo se a>0

converge assolutamente se e solo se a<0

converge se e solo se a>-1

converge se e solo se a<0 e converge assolutamente se e solo se a<-1

03. La serie ∑e

cos n

1/n

diverge

converge assolutamente ==>

oscilla paolo

04/11/2022, 12:46:50

converge, ma non assolutamente ---------------------------------

==>

04. La serie ∑e

/n

2n 3

converge assolutamente

converge, ma non assolutamente

oscilla

diverge

05. La serie ∑(2+sin n)/n

2

converge, ma non assolutamente

diverge

oscilla

converge assolutamente

06. La serie ∑ln(1+n

) converge se e solo se

a

a<-1

a≥-1

a≥0 vedi sotto paolo

a<0 04/11/2022, 12:32:26

---------------------------------

07. La serie ∑e

/n converge se e solo se

1/n a+2 vedi sotto

a≥0

a>-1

a>1

a≥1 © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 48/87

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INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

08. La serie ∑n

(a/6) con a>0, converge se e solo se

-2 n

0<a≤6

a<1 vedi sotto paolo

0<a<6 04/11/2022, 12:32:41

---------------------------------

a>0 vedi sotto

09. La serie ∑(-1)

(2n)! 5 / [(n!) ]

n -n 2

diverge

oscilla

converge assolutamente

converge, ma non assolutamente

10. Enuncia il criterio di Leibniz per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione.

11. Enuncia il criterio della radice per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione.

12. Definisci la convergenza assoluta di una serie numerica e spiega come è legata alla convergenza (semplice) di una serie.

CRITERIO DI LEIBNIZ PER SERIE NUMERICHE: paolo

Il criterio di Leibniz è un criterio di convergenza applicabile a serie aventi

18/10/2022, 12:07:54

---------------------------------

termini di segno alterno, secondo cui se una successione a termini positivi,

CRITERIO DI LEIBNIZ PER

quindi y1 >0 è monotona e decrescente con limit