Domande Analisi matematica 1

Sia f continua su (a b) e f 0 . Definiamo

b c x

 



lim

f (t)dt  f (t)dt

f (t)dt lim



x a 

x b c

 

a x 

e diremo che f è integrabile su (a b) se il limite è finito. Se il limite è l’integrale diverge e la

funzione f non è integrabile su (a b).

63. Enunciare il criterio del confronto per gli integrali generalizzati su intervalli illimitati (o limitati,

a scelta).

Intervalli illimitati:  )   

Siano f e g continue su [a con 0 f (x) g(x) per (è sufficiente che valga questa condizione

x a



per ) allora:

x 

 

  )

se converge f è integrabile su [a

g(x)dx

a



 

  )

f (x)dx

se diverge g non è integrabile su [a

a

Intervalli limitati: 

  x

Siano f e g continue su [a b) con 0 f (x) g(x) per [a b) allora:

b



   )

se converge f è integrabile su [a

g(x)dx

a

b



 se   )

f (x)dx diverge g non è integrabile su [a

a

64. Enunciare il criterio del confronto asintotico per gli integrali generalizzati su intervalli illimitati.



 )  g 0

Siano f e g continue su [a con f 0 e allora:

f (x)  

  

se lim l R \ 

 converge

g(x)dx

f (x)dx converge

{0} a



  g(x)

x a 



(cioè se f (x) g(x)l )

f (x) 

 

g(x)dx converge f (x)dx converge

 

se lim 0 allora

 

x g(x) a



se a

 

(cioè se f (x) o(g(x)) per )

x

f (x)  

  

se lim  

g(x)dx diverge f (x)dx diverge

allora a



  g(x)

x a

 

(cioè se g(x) o( f (x)) per )

x

65. Enunciare il criterio del confronto asintotico per gli integrali generalizzati su intervalli limitati.



 g 0

Siano f e g continue su [a b) con f 0 e allora:

 se lim 

 

l R \ {0} f è integrabile su [a b] g è integrabile su [a b]

f

 

x b g(x)

( x ) 

b

 x

(cioè se f (x) g(x)l per )

f ( x )

 se lim  

0 se g è integrabile su [a b] f è integrabile su [a b]



x b g(x)

 

b

 x

(cioè se f (x) o(g(x)) per )

 se lim f ( x )   

se g diverge f diverge



x b g(x)

 

b

 x

(cioè se g(x) o( f (x)) per )  n

R

66. Scrivere la definizione di intorno sferico per x per n = 2 e n = 3. Definire un insieme aperto,

R2.

chiuso, limitato in

  

n di raggio

R

0 0

Sia x , si chiama intorno sferico di x 0 e si indica con

 

    

n 0 n

B ( ) = {x R | x x | } {x R    … (x   

0 2 0 2 0 2 2

x ) (x x ) x ) }

1 1

0

x

(x 2 2 n n

Per n = 2 l’intorno sferico si definisce come B  

  

( ) {(x, y) }

(x ,y   

2 2

0) (x x ) (y y )

2

0 R 0 0

  

   2

2 2

dove (x x ) (y y ) indica la circonferenza di centro x , y raggio .

0 0 0 0

Per n = 3 l’intorno sferico si definisce come

    

2 2 2

B (x x ) (y y ) (z z

   

        2

2 2 2

( ) {(x, y,z) } dove (x ) (y y ) (z z )

0 0 0

(x ,y ,z ) )

0 0 0 3

R x 0 0 0



indica la sfera di centro x , y , z e raggio .

0 0 0

67. Scrivere la definizione di   

2

f (x ) l per f : Domf R R

  

Sia f : X Rn R dove X contiene un intorno di . Allora diremo

 lim     M    x 

f (x ) l R se 0 0 tale che f (x ) l M I (M)



 

x x 

(ossia con x M )

 lim   k  M    k) x 

f (x ) oppure () se 0 0 tale che f (x ) k ( f (x ) I (M)



 

x x 

(ossia con x M )

68. Scrivere la definizione di lim   

2

f (x ) l per f : Domf R R



x x

0

  

n

Sia f : X R R , con x X , definita in un intorno sferico di x , escluso al più x . Diremo

0 0 0

 lim  

       x 

f (x ) l R se 0 0 tale f (x ) l B ( ) \ {x }

x 0



x x 0

0 che 

   

(ossia x , x x )

0

x 0

 lim 

  k     k) x 

f (x ) oppure () 0 0 tale che f (x ) k ( f (x ) B ( ) \ {x }

se x 0



x x 0

0

69. Scrivere la definizione di derivata direzionale per una funzione di due variabili. Dire quando le

derivate direzionali si riducono a derivate parziali. Scrivere la definizione di gradiente.

Derivata direzionale

     

2

Sia f : D R R con D aperto e P (x , y ) D e sia ( , ) un versore (cioè un vettore

0

unitario, 0 0 x y

  

 

2 2 1). Diremo che f ha derivata direzionale in P rispetto a se esiste finito

x y 0

   f

(x h , y h ) f (x y )

f 0 x 0 y 0 0 

lim (x y )= D f (x y )

 0 0

 0

h 0 0



h