Derivabilità e Teoremi del calcolo differenziale

Analisi matematica: derivabilità e teoremi del calcolo differenziale

Esercizi svolti

Trova gli intervalli in cui le seguenti funzioni sono crescenti e quelli in cui sono decrescenti. Nelle soluzioni non sono riportati gli intervalli di decrescenza.

Esercizio 1

Dominio della funzione

24 − 16 > 0
2 + 4 2 2 > 0 → 4 − 16 > 0 → > 4 → < −2 ∨ > 22 > 0
→ + 4 > 0 → ∀ ∈ ]−∞;[ ]2; = −2 ∪ +∞[

Dell’argomento è sempre positivo, dunque la frazione è positiva per valori esterni al denominatore a -2 e a +2.

Derivazione della funzione

Deriviamo la funzione.

2 2(8)( (41 + 4) − − 16)(2)′ = ⋅2 2 24 − 16 ( + 4)2 +42 2 2(8)( (4 + 4 + 4) − − 16)(2)′ = ⋅2 2 2(4( − 4) + 4)3 38 + 32 − 8 + 32′ = 2 24( − 4)( + 4)64′ = 2 24( − 4)( + 4) 16′ = 2 2( − 4)( + 4)

Studio del segno della derivata

Studiamo il segno della derivata:

16 > 02 2( − 4)( + 4) > 0 → 16 > 0 → > 02 < −2 ∨ > 2{ − 4 > 0 > 0 → → {2 ∀ ∈ +4>0

Quadro dei segni per la derivata: Monotonia di f(x):

• ]−∞; −2[ è strettamente crescente
• ]2; +∞[ è strettamente decrescente

Esercizio 2

La funzione è definita e continua in tutto R.

Derivazione della funzione

Deriviamo:

′ 3 = 4 cos ⋅ (− sin ) − 2 cos ⋅ (− sin )′ 3 = −4 cos ⋅ sin + 2 cos ⋅ sin

Cerchiamo sempre di trasformare l’espressione algebrica della funzione derivata in modo da poterne studiare il segno.

2 cos ⋅ sin

Raccogliamo a fattore comune:

′ 2 = 2 cos ⋅ sin (1 − 2 cos )

Dalle formule di duplicazione abbiamo:

2 sin = sin(2)2(1 − 2 cos ) = −cos(2)

Quindi:

′ = − sin(2) ⋅ cos(2)′ > 0− sin(2) ⋅ cos(2) > 0sin(2) ⋅ cos(2) < 0 = 2

Poniamo per semplicità: ed osserviamo che:

1 sin(2α) = 2sin ⋅ cos → ⋅ cos = sin(2)2sin ⋅ cos < 01 sin(2) < 02sin(2) < 0sin(4) < 0 [0; < 4 < 2 2]

In aggiungiamo il periodo e dividiamo per 4: + 2 < 4 < 2 + 2 + < < + 4 2

La funzione è strettamente crescente in intervalli di questo tipo.

Dominio e derivata

L’esponente è fratto + 2 ≠ 0 → ≠ −2]−∞; ]−2; [ = −2[ ∪ +∞

Derivazione della funzione

Deriviamo:

1 1− −′ = 1 ⋅ + ⋅ ⋅+2 +2 2( + 2) 1−′ = ⋅ +[1 ]+2 2( + 2)

La funzione derivata è il prodotto di due fattori di cui il primo è sempre positivo. Studiamo il segno del fattore algebrico:

1+ > 02( + 2)2 + 4 + 4 + > 02( + 2)2 + 5 + 4 > 02( + 2)( + 4)( + 1) > 02( + 2)+4 >0 > −4 > −1 + 1 > 0 →{{ 2 2( (+ 2) > 0 + 2) >

≠ −2

Quadro dei segni: ]−∞; −4[ ]−1; +∞[