Derivabilità e Teoremi del calcolo differenziale

Il denominatore

a -2 e a +2.

Deriviamo la funzione. 2 2

(8)( (4

1 + 4) − − 16)(2)

′

= ⋅

2 2 2

4 − 16 ( + 4)

2

+4

2 2 2

(8)( (4

+ 4 + 4) − − 16)(2)

′

= ⋅

2 2 2

(

4( − 4) + 4)

3 3

8 + 32 − 8 + 32

′

= 2 2

4( − 4)( + 4)

64

′

= 2 2

4( − 4)( + 4) 16

′

= 2 2

( − 4)( + 4)

Studiamo il segno della derivata

16 >0

2 2

( − 4)( + 4)

> 0 → 16 > 0 → > 0

2 < −2 ∨ > 2

{ − 4 > 0

> 0 → → {

2 ∀ ∈

+4>0

quadro dei segni per la derivata: Monotonia di f(x): ]2;

+∞[

è strettamente crescente in ]−∞;

−2[

è strettamente decrescente in 2

3

La funzione è definita e continua in tutto R =

Deriviamo

′ 3

= 4 cos ⋅ (− sin ) − 2 cos ⋅ (− sin )

′ 3

= −4 cos ⋅ sin + 2 cos ⋅ sin

Cerchiamo sempre di trasformare l’espressione algebrica della funzione derivata in modo da

poterne studiare il segno. 2 cos ⋅ sin

Raccogliamo a fattore comune:

′ 2

= 2 cos ⋅ sin (1 − 2 cos )

dalle formule di duplicazione abbiamo:

2 sin = sin(2)

2

(1 − 2 cos ) = −cos(2)

quindi: ′

= − sin(2) ⋅ cos(2)

′

> 0

− sin(2) ⋅ cos(2) > 0

sin(2) ⋅ cos(2) < 0 = 2

poniamo per semplicità:

ed osserviamo che : 1

sin(2α) = 2sin ⋅ cos → ⋅ cos = sin(2)

2

sin ⋅ cos < 0

1 sin(2) < 0

2

sin(2) < 0

sin(4) < 0 [0;

< 4 < 2 2]

in

aggiungiamo il periodo e dividiamo per 4:

+ 2 < 4 < 2 + 2

+ < < +

4 2

La funzione è strettamente crescente in intervalli di questo tipo. 4

Dominio

L’esponente è fratto

+ 2 ≠ 0 → ≠ −2

]−∞; ]−2; [

= −2[ ∪ +∞

Deriviamo 1

1 1

− −

′

= 1 ⋅ + ⋅ ⋅

+2 +2 2

( + 2)

1

−

′

= ⋅ +

[1 ]

+2 2

( + 2)

La funzione derivata è prodotto di due fattori di cui il primo è sempre positivo, studiamo il segno del

fattore algebrico:

1+ >0

2

( + 2)

2

+ 4 + 4 + >0

2

( + 2)

2

+ 5 + 4 >0

2

( + 2)

( + 4)( + 1) >0

2

( + 2)

+4 >0 > −4

> −1

+ 1 > 0 →{

{ 2 2

( (

+ 2) > 0 + 2) > ≠ −2

Quadro dei segni: ]−∞;

−4[ ]−1; +∞[

è strettamente crescente in ]−4;

−2[ ]−2; −1[

è strettamente decrescente in

-4 è punto di massimo relativo

-1 è punto di minimo relativo 5

= 4 +

Dimostra che la funzione è invertibile in tutto R. Detta g(y) la funzione inversa,

calcola g(1) e g’(1). 1

= 0, ’(1) =

[(1) ]

5

() = 4 +

: →

Per essere invertibile, la funzione deve essere biunivoca. Le funzioni monotone in senso stretto sono

biunivoche se si considera come codominio il loro insieme immagine. Esse ammettono sempre la funzione

inversa. Verifichiamo dunque che la funzione data sia monotona in senso stretto: cioè strettamente

crescente o decrescente.

Calcoliamo la derivata prima:

′() = 4 +

′

() > 0 ∀ ∈ →La funzione è strettamente crescente nel suo dominio→f(x) è invertibile.

Sia g la funzione inversa: −1

() = ()

Cerchiamo ora la controimmagine di 1 mediante f.

−1 (1)

() = 1 ⇔ = (1)

4 + = 1

Questa equazione risolta per via grafica, fornisce

= 0,

come soluzione ascissa del punto di

intersezione delle due curve.

=0

=

= −4 + 1 → →{

{ =1

= −4 + 1

dunque :

(1) = 0

Ricordiamo che vale la formula per la derivata della

funzione inversa: 1

−1 ′

( ) () = ′ −1 ())

(

per cui: 1

′() = ′

(())

1 1 1 1

′

(1) = = = =

′ 0

(0) 4+ 5

′

((1)) 6

Derivabilità e parametri

() ∈

Determinare a e b in modo che la funzione risulti continua e derivabile per ogni

pag 1709 (), ≤ 1 ≠ ∧ ≠ −1

Il ramo di è definito per

= 1,

Per la continuità in deve essere: lim () = lim ()

− +

x→1 x→1

2

− 1

lim = lim ln + 1

+

− +

x→1 x→1

−1 =1→−1=+1→=+

1+

Calcoliamo la derivata prima dei due rami:

2 2

2( + ) − ( − 1) + 2 + 1

, ≤ 1 , ≤ 1

2 2

( (

+ ) + )

′ ′

() ()

= → =

1 1

, > 1 , > 1

{ {

= 1,

Per la derivabilità in deve essere: lim ′() = lim ′()

− +

x→1 x→1

2

+ 2 + 1 1

lim = lim

2

( + )

− +

x→1 x→1

+ + =

( + ) a b

Risolviamo il sistema delle due equazioni nei parametri incogniti e :

= + =+2 =+2

+ + →{ →{

{ 2 2

= + 2 + 1 = + 2 + 1 + 2 = + 2

( + )

=+2 =+2

→{

{ 2 2 2

+ 2 + 2( + 2) = + 2 + 2 + 2 + 4 = + 2

{

= + 2 → = 0

=+2 =0

→{ →{ →{

= −2

2 ( + 2)( + 1) = 0 →

+ 3 + 2 = 0 { = −2

= −1

≠ −1

Per quanto visto nel domino deve essere :

L’espressione di f(x)è perciò la seguente: 2

− 1 , ≤ 1

() = { +

ln + 1, > 1 7

− 1 − 0

lim =

−

− 2 + 0

x→0

applichiamo il teorema:

− 1 − − 1 0

lim = lim =

− −

− 2 + − 0

x→0 x→0

possiamo riapplicare:

− 1 1 1

lim = lim = =

− −

− + 1+1 2

x→0 x→0

− 2 + − 2 0

√ √2

lim =

2

( − 2) 0

+

x→2 1 2

+

2√ − 2 2√2

lim =

2( − 2)

+

x→2 1 1 1 1

+ + +∞

+

2√ − 2 2

√2 0

= lim = = = +∞

+ +

2( − 2) 0 0

+

x→2 8

2 + sin 3 0

lim =

+ tan 5 0

x→0 2 + 3cos 3 2+3 5

lim = =

5 1 + 5 6

x→0 1+ 2 (5)

cos

oppure 2 + 3cos 3 2+3 5

lim = =

2

(1 (5)

1 + + tan ⋅ 5) 1 + 5 6

x→0 ln(cot ) +∞

lim =

3

ln 2 −∞

+

x→0

Ricordiamo i grafici delle funzioni cotangente e logaritmo:

+

( → 0 )

quando x tende a zero da destra la

+∞.

funzione tende a

Deriviamo ed applichiamo il teorema di De L’Hospital:

1 1 sin 1 1

[ln(cot )] = ⋅ (− ) = − ⋅ =−

2 2

cot sin cos sin cos ⋅

1 3

3 2

)] (6 )

[ln(2 = ⋅ =

3

2

1

−

ln(cot ) 1

cos ⋅

lim = lim = lim − ⋅ =

3

3

ln 2 cos ⋅ 3

+ + +

→0 x→0 x→0

9

usiamo il limite notevole: sin

lim = 1 = lim

sin

x→0 x→0

1 1 1

lim − ⋅ = −1 ⋅ = −

sin 3 cos 3 3

+

x→0 1 1

− − +∞

−

∞

cos 0

lim = = =+

tan −∞ −∞ −∞

+

π

x→ 2 +

Il coseno tende a zero per valori negativi quando −∞ →

La tangente tende a quando 2

+ +

−

→ → cos = 0

2 2

Deriviamo sin

1 1

− −

= ⋅

[ ]

cos cos 2

cos

1

[tan ] = 2

cos 1 sin

1 −

− ⋅

cos

sin

1 1

cos 2

cos − −

2

lim = lim = lim ⋅ cos = lim ⋅

cos cos

1 2

tan cos

+ + + +

π π π π

x→ x→ x→ x→

2 2 2 2 2

cos 1

− +∞

lim ⋅ = ⋅ 1 = +∞

cos

+

π

x→ 2 2 −∞

lim ⋅ = +∞ ⋅ = +∞ ⋅ 0

x→−∞

Forma indeterminata in cui si può usare il teorema, trasformando il prodotto in un quoziente: 10

0

2