Continuità, derivabilità e polinomi di Taylor

CALCOLO DIFFERENZIALE

il limite

R una funzione. Se

Definizione = sia I un intervallo. Sia f: I

è detto derivata della f in x ed è denotato con:

) allora diremo che f è derivabile in x

Inoltre se f’(x ) è finito (cioè f’(x ) =

Inoltre diremo che f è derivabile in I quando è derivabile

Funzione f(x)

Tabella derivate funzioni elementari = Derivata f’(x)

Interpretazione geometrica della derivata =

Considero una funzione . Considero x ed h così piccolo da avere

ed il pt

Considero la retta secante tra . Questa retta ha equazione

Quindi ha come coefficiente angolare

Che è detto “rapporto incrementale di f relativo ad x con incremento h”.

Mi aspetto: per h la retta secante retta tg e quindi dia il coeff.

angolare della retta tg, cioè coeff. ang. della retta tg al grafico di y=f(x) nel pt x

Definizione di retta tg = diremo cge la retta y=ax+b e la “retta di miglior approssimazione lineare di f in un itorno di x ”

(oppure che “è la retta tg al grafico di f(x) in x ) quando:

Proposizione = sia f derivabile in x . Allora la retta di miglior approssimazione lineare in x e vale: (Retta tg)

Dimostrazione = f derivabile significa

Corollario = 1) se f è derivabile in x . Allora

2) se f è derivabile in x , allora f è continua in x .

Dimostrazione 2 = f continua in x

N.B. = f derivabile in x (Il viceversa è falso ed è errore standard)

Cioè in x=0 è continua ma non derivabile

Definizione = sia x un pt di acc dx [sx] di dom f. Se viene chiamato derivata destra

[sinistra] di f in x e viene denotato con

Inoltre, se il limite è anche finito allora diremo che f è derivabile da dx [sx] in x

Proposizione sulle proprietà di f’ e f’ = se f è derivabile da dx [sx] in x , allora:

+ -

Relazione tra f’ e f’/f’ = si ha: f è derivabile in x Nel caso: f’(x ) = f’

Dimostrazione = basta usare il teorema che assicura:

PUNTI DI NON DERIVABILITÀ

Definizione = sia f: (a,b) R. Sia x (a,b). Sia f continua in x . Allora diremo:

1) “f ha un flesso a tg verticale in x ”quando

2) f presenta un punto angoloso in x quando e almeno uno è finito

(Se sono entrambi finiti sono =, se no la f sarebbe derivabile in x )

3) “f presenta una cuspide in x “ quando I . Siano f e g derivabili in x

Teorema sull’algebra delle derivate = siano f e g due funzioni definite sullo stesso intervallo I. Sia x

Allora : è derivabile in x con:

è derivabile in x con:

è derivabile in x con:

Dimostrazione = Teorema sull’algebra dei limiti

Teorema = f derivabile. Allora: - f pari f’ dispari

- f dispari f’ pari

Teorema sulla derivata della funzione composta = siano f e g due funzioni. Sia g°f definita su un intervallo I . Sia x Si abbiano:

- f è derivabile in x

- g è derivabile in f(x )

Allora la funzione g°f è derivabile in x con dereivata:

Introduco una funzione ausiliaria:

Dimostrazione = Osserviamo che F è continua in y=f(x ), infatti:

Assumiamo momentaneamente che valga:

studiamo separatamente i due casi

Rimane a dimostrare

- caso

- caso

Teorema sulla derivata della funzione inversa = sia I un intervallo. Sia f una funzione continua ed invertibile su I . Sia x

Allora la funzione inversa di f, f è derivabile

Sia f derivabile in x con

nel punto e vale:

Dimostrazione = sappiamo che f è continua ed invertibile su un intervallo. Per il teorema sulla continuità della funzione inversa

abbiamo che anche f è continua. Inoltre, f continua e invertibile su un intervallo anche che f è strettamente

monotona sull’intervallo. Allora anche f è strettamente monotona. Allora abbiamo ottenuto

Passiamo al calcolo della derivata di f

Applicazioni = calcolare la derivata di: DERIVATE SUCCESSIVE

una funzione con I un intervallo. Sia f derivabile in I (cioè f derivabile in x . Allora è ben definita la f’:

Sia f:

Definizione = siano ed I come sopra. Se finito diremo che la funzione f è

derivabile 2 volte in x e denoteremo il valore del limite con:

Defnizione = sia f: come sopra. Sia f derivabile (n-1) volte in I . Se la f è ancora derivabile in x allora diremo che f è

derivabile n volte in x e denoteremo

Notazioni =

Teorema (formula di Leiniz: è una generalizzazione della derivata del prodotto di due funzioni).

Allora la funzione e vale:

entrambe derivabilin volte in x

Siano f, g: è derivabile n-volte in x

MAX E MIN RELATIVI

Definizione = sia I un intervallo; sia f: ; sia x è pt di estremo su

Diremo che x è un pt di estremo relativo (o locale) per f quando:

Diremo in particolare che x è pt di massimo [minimo] relativo (o locale) per f quando:

Diremo che x è pt di massimo [minimo] relativo stretto per f quando:

x è pt di max locale stretto

Graficamente = x è pt di min locale strettoà

Su tutto l’intervallo abbiamo pt di max e min locali simultaneamente

Teorema di fermat = sia f: (a, b) R. Sia x (a, b) un pt di estremo locale di f. Sia f derivabile in x . Allora vale f’(x )=0

Dimostrazione = sappiamo che x è pt di estremo locale; allora x è pt o di max o di min locale. Supponiamo che x sia pt di max

locale (l’altro caso è analogo). Calcoliamo

Abbiamo:

Allora, poichè f è derivabile in x e per il teorema sulla relazione tra abbiamo:

Quindi:

Definizione = dirmo che x è un pt stazionario di f quando

- se cerco i pt di max e min di f su [a, b], è inutile cercarli tra i pt di (a, b) con

Applicazioni el teo di Fermat = - in altre parole, se cerco i pt di di max e di min di f su [a, b] basta cercarli tra:

Pt estremi dell’intervallo: x=a, x=b

Pt di (a, b) dove f non è derivabile

Pt stazionari di f

Osservazione = 1) il viceversa del teoremadi fermaqt non è vero:

2) se f ha un pt di max in x , non è detto che essa sia def crescente per x x e def decrescente per x x

3) f può avere pt di max/min relativo senza avere pt di max/min assoluti

TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

Teorema di Rolle = sia f Allora

Sia

Dimostrazione = per il teo di Weirstrass la funzione ammette max e min su [a, b]; cioè

Abbiamo 2 casi: 1) almeno un pt tra x e x non cade sugli estremi di [a, b], cioè almeno uno tra x e x sta in

Supponiamo x (a, b). (L’altro caso è analogo). Allora x è pt di min di f e f è derivabile in

x (perchè x Per il teorema di Fermat:

Per concludere basta scegliere c=x

2) sia x che x cade sugli estremi dell’intervallo. Allora abbiamo:

E inoltre

Poichè f(a)=f(b) otteniamo: Allora otteniamo:

quindi f è costante. Allora f’(x)=0

Posiamo concludere scegliendo di (almeno) un pt c (a, b) dove la retta

Graficamente Il teorema di Rolle assicura l’

tg al grafico di f sia orizzontale

Teorema di lagrange = sia f Allora

Dimostrazione = consideriamo la funzione

Proprietà di g: g(x) ha la stessa regolarità di f: cioè poichè

Allora g verifica le ipotesi del teorema di Rolle; ne deduciamo: (almeno) un pt c (a, b) dove la retta

Graficamente = Per il teorema di lagrange deve

tg al grafico sia alla retta passante per

Teorema di caratterizzazione delle funioni costanti = sia f una funzione definit su [a, b]. Allora: f è costante

Ovvia

Dimostrazione = Siano

Allora abbiamo: Applico il teo di Lagrange alla f su

deduciamo

. Poichè sappiamo

ottengo che La funzione è costante

Scelgo x =a e faccio variare x Allora ottengo

Oservazioni = nell’ultimo teo è indispensabile che la funzione sia definita su un intervallo.

Allora

Teorema di cauchy = siano f, g e se vale:

In particolare, se Allora abbiamo:

Teorema di monotonia = sia f f è crescente su [a, b]

f è strett crescente su [a, b]

Analogalmente per f decrescnete e strett decrescente

Osservazione = in 2, a dx, è troppo richiedere

(È una condizione sufficiente per avere f strett crescente ma non è necessaria)

Dimostrazione = sappiamo che f è crescente; dobbiamo dimostrare:

Infatti abbiamo:

Sapiamo dobbiamo dimostrare che f è crescente. Dobbiamo quindi dimostrare:

allora da

Posso applicare il teorema di lagrange alla funzione f su ed ottenere:

allora abbiamo

Basta osservare: a) una funzione f crescente su [a, b] deve verificare una delle due seguenti possibilità:

- f è strettamente crescente su [a, b]

- f è crescente ma non strettamente crescente

b) f è crescente ma non strettamente crescente su [a, b] Uso il caso

dove f è costante

I f è crescente, II dove f è costante teo di caratteriz. della f cost

Applicazioni del teo di monotonia = Per trovare gli intervalli di crescenza/decrescenza di f

sia pt di max/min o nessuno dei due

Per stabilire se un pt stazionario (cioè x

Teorema di De L’Hopital = siamo a, b R* con a b. Siano f, g entrambe infinitesime o infinite per x

Con: basta richiedere

Allora:

Analogalmente per x Quindi abbiamo:

Dimostrazione = vediamo solo il caso e entrambe le funzioni sono infinitesime e

Poichè valgono queste 3 ipotesi possiamo estendere per continuità f e g con

Supponiamo per assurdo: Allora abbiamo

Dimostrazione di I : Per il teorema di Rolle:

Ciò contraddice l’ipotesi

Abbiamo:

Dimostrazione di II : e possiamo applicare il teorema di Cauchy:

Osservo:

Allora la relazione può essere scritta come

Allora abbiamo:

Osservazioni = il teo di DLH dà una condizione sufficiente ma non necessaria per il calcolo di

In particolare: non è corretto scrivere: Questo passaggio è corretto solo se il secondo limite

Notazione = per ovviare a questo problema, useremo le seguenti notazioni: per intendere che l’uguaglianza

vale se il limite a dx

Applicazioni delteo DLH = . In realtà può essere applicato

Il teo richiede di avere una forma inderteminata del tipo

anche in altri casi, basta prima ricondursi a una delle due F.I.

Direttamente con un esmpio: sappiamo

Esercizio: Quindi abbiamo:

Ne deduco: Proseguimento dello sviluppo del coseno

Allora

Teorema sella relazione tra derivata e suo limite:

f è derivabile da dx in x=a con

Dimostrazione: abbiamo:

Osservazione: il teo dà solo una condizione sufficiente ma non necessaria per l’ Infatti se

allora il teo non permette di concludere nulla.

CONCAVITÀ E CONVESSITÀ

Definizione di funzione convessa = sia I un intervallo; sia f: I R. Diremo che f è convessa su I quando:

. Diremo che f è concava si I quando -f è convessa su I .

Geomet