Criterio del confronto e del rapporto di serie numeriche

Esercizi serie

numeriche con il

criterio del confronto e

il criterio del rapporto.

Utilizzando i criteri del confronto e del rapporto, determinare il carattere delle seguenti serie:

+∞ 1

∑

a) 2

+

n(1 n )

=

n 1

+∞ n +

2 1

∑

b) n +

5 1

=

n 1

+∞ 1

∑

c) −

n lnn

=

n 1

+∞ n!

∑

d) n

n

=1

n

+∞ 2n - 1

∑

e) n

( 2 )

=1

n

+∞ n

 

11 1

∑  

f) 5

 

10 n

=

n 1

Risoluzione

Studiamo il carattere delle serie assegnate:

1 1 1

≤ =

Vale: ;

a) 3 / 2

2 3

+ n

n(1 n ) n

+∞ 1

∑

poiché la serie converge, per il criterio del confronto anche la serie data converge.

3/2

n

=

n 1 + n

n n 1 n

+ ⋅  

2 1 2 2 2 2

≤ ≤ =  

2

b) Vale: ;

n n n  

+ + 5

5 1 5 1 5 2

la serie geometrica di ragione converge quindi converge la serie data.

5

1 1

≥

c) Vale: ;

−

n lnn n +∞ 1

∑

poiché la serie armonica diverge, la serie data diverge.

n

=

n 1 n

n

+  

a (n 1)! n n

+

n 1 =  

d) Vale: = ;

+ +

n 1  

+

a n! n 1

(n 1)

n

allora