Teorema criterio del rapporto per le serie numeriche

Teorema (criterio del rapporto)

Sia _m ≥ 0. Allora se lim _m+1 / _m = _m:

• Converge se > 1
• Diverge se = 1

Dimostrazione:

1. Caso:

Dalla definizione di limite: ∀ ε > 0, ∃ K ∈ ℕ tale che m > K => m+1/ _m.

Siamo nel caso m+1/ _m => ∀ m ≥ K, _m+1/ _m < 1 - ε/2 [consideriamo 1 + ε/2 = q].

_m+1/ _m ≤ q => _m+1 ≤ q => possiamo scrivere:

• _m+1 < _m q
• _m < _m-1 q
• _m-1 < _m-2 q; ...
• ₂ < ₁ q

⇒ _m+1 < _m q < _m-1 q² < _m-2 q³ ...

⇒ _{m+1 1} q^m => _m+1 < ₁ q^m

=> Per il criterio del confronto ∑ _m 1 q^m => ∑ _m converge.

Teorema (criterio del rapporto)

Sia a_m ≥ 0. Allora se lim a_m+1/a_m = l:

• Se l < 1, ∑a_m converge
• Se l > 1, ∑a_m diverge
• Se l = 1

Dimostrazione:

1. Caso: l < 1

Dalla definizione di limite: ∀ ε > 0, ∃ K ∈ N tale che m > K => l - ε/2 < a_m+1/a_m < l + ε/2.

Siamo nel caso l < 1, dunque concludo a_m+1/a_m < l + ε/2 < 1 + ε/2.

⇒ ∀ m ≥ K, a_m+1/a_m < 1 - ε/2 [consideriamo 1 + ε/2 = q].

a_m+1/a_m < q => a_m+1 < q ⋅ a_m => possiamo scrivere:

• a_m+1 < a_m ⋅ q
• a_m < a_m-1 ⋅ q
• a_m-1 < a_m-2 ⋅ q; ...
• a₂ < a₁ ⋅ q

⇒ a_m+1 < a_m ⋅ q < a_m-1 ⋅ q² < a_m-2 ⋅ q³ ⋅ ... < a₁ ⋅ q^m.

a_m+1 < a₁ ⋅ q^m => Per il criterio del confronto ∑ a_m < a₁ ⋅ ∑ q^m < +∞ => ∑ a_m converge.