Serie numeriche, serie a segno alterno, criterio di Leibniz

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie Numeriche

• Serie a segni alterni
• Criterio di Leibniz
• Ridotta n-esima di una serie

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie Numeriche

• Serie a segni alterni
• Criterio di Leibniz
• Ridotta n-esima di una serie

Verifica che la serie _n=1^+∞ (-1)ⁿ / 2 + n⁴ converge. Stabilisci con quale errore approssimi la somma utilizzando la ridotta di ordine 3. Poi determina il valore di n per il quale la ridotta s_n approssima la somma della serie con un errore inferiore a 10^-5.

La serie è a termini di segno alterno e la successione dei loro valori assoluti è a_n = 1 / 2 + n⁴. Applichiamo il criterio di Leibniz:

a_n è decrescente, infatti a_n+1 = ₁ / _{2 + (n + 1)⁴} < ₁ / _{2 + n⁴} = a_n;

lim_n→+∞ a_n = 0.

Pertanto la serie data è convergente.

Se una serie è convergente, il valore della sua somma S può essere approssimato dalla ridotta n-esima S_n, cioè dalla somma dei primi n termini della serie. L’errore che si commette è il resto della serie che chiamiamo v_n, e dal criterio di Leibniz risulta:

| S - S_n | = | v_n | ≤ | a_n+1 |.

Nel nostro caso risulta:

| S - S₃ | = | v₃ | ≤ a₄ = ₁ / _{2 + 4⁴} = ₁ / _{2 + 256} = ₁ / ₂₅₈.

L’errore che si commette approssimando la serie con la sua ridotta di ordine 3 è ₁ / ₂₅₈ ≃ 0,00387.

Per calcolare il valore di n per cui l’errore commesso approssimando la serie con la ridotta di ordine n è inferiore a 10^-5, basta porre:

a_n+1 ≤ 10^-5.

Risolviamo quindi la seguente disequazione:

₁ / _{2 + (n + 1)⁴} ≤ 10^-5

2 + (n + 1)⁴ ≥ 10⁵

(n + 1)⁴ ≥ 10⁵ - 2

n + 1 ≥ ⁴√10⁵ - 2

n ≥ ⁴√10⁵ - 2 - 1 ≃ 16,78.

Pertanto, per n ≥ 17 si commette un errore minore o uguale a 10^-5.