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Vettori e operazioni sui vettori
Prodotto di un vettore per uno scalare
d = dx i + dy j + dz k
c ∈ ℝ
b = c d = (c dx) i + (c dy) j + c dz k
|b| = c |d|
- Somma di due vettori
d = dx i + dy j + dz k
b = bx i + by j + bz k
c = d + b = (dx + bx) i + (dy + by) j + (dz + bz) k
c2 = (dx + bx)2 + (dy + by)2 + (dz + bz)2
γx = arc cos (dx + bx) / c
γy = arc cos (dy + by) / c
γz = arc cos (dz + bz) / c
coseni direttori
REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA
C^2 = HC^2 + (CA + HA)^2
C^2 = b^2 sin^2 θ + (a + b cos θ)^2
C^2 = b^2 sin^2 θ + a^2 + b^2 cos^2 θ + 2ab cos θ
C^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos θ
tan γ = CH/CH' = b sin θ/a + b cos θ
- differenza tra due vettori:
- d - b = d + (-1) b
- prodotto scalare tra due vettori:
d = dx i + dy j + dz k
b = bx i + by j + bz k
d · b = dx bx + dy by + dz bz
C = d · b = d b cos θ
Nel caso in cui θ = 1 → d · b = bx
Momento di una forza rispetto ad O
Mo = (P - O) × F
Fx = F cos 30° = 100 √32 N = 50√3 N
Fy = F sin 30° = 100 12 N = 50 N
xy = 2 cos 60° = 20 12 mm = 10 mm
yy = 2 sin 60° = 20 √32 mm = 10√3 mm
1o metodo
Mo = i j k | 10 10√3 c 5√3 50 | c = (500 - 1500) k = -1000 N mm k
2o metodo
Mo = F·b = 100 N · 20 mm · sin 30° = -1000 N mm
Mo = -1000 N mm k × regola della mano destra
3o metodo
Mu = M0x + Muy
Fx = F cos 30° = 50√3 N Fy = F sin 30° = 50 N
Mo = (P - O) × F = (P - O) × Fx + (P - O) Fy = zy Fx - zx Fy
= 50√3 N · 10√3 mm - 50 N · 10 mm = 1000 N mm
Mo = -1000 N mm k
Analisi Cinematica Grafica
Uno spostamento rigido piano infinitesimo può essere raccolto in infiniti modi ad una rototraslazione che ha sempre il medesimo vettore rotazione.
Sp = Sq + ω x (P-Q)
Sp = Sr + ω x (P-R)
Può essere raccolto in un unico modo ad una rotazione attorno ad un punto chiamato CIR.
∃Ω SP = ω x (P - Ω)
SΩ = 0
1)
2GdL
1GdL
3GdL → struttura isostatica
3GdL
SE ∃ Ω1 allorà Ω1 ≡ A
SE ∃ Ω2 allorà Ω1 ∈ Ι2
Non Labile
Se J1 allora Ω2 = λ0
Se J2 allora Ω2 ∈ t
Struttura labile
Regola della biella
Ω ∈ Ω
Ω ∈ S
Ω ∈ t
Regola dell'arco a 3 cerniere
Se le 3 cerniere non sono allineate → struttura non labile
Se le 3 cerniere sono allineate → struttura labile (si intende se le cerniere sono proprie, punto o se sono improprie)
19)
1
A
B
E
3
5
C
1
2
D
1
2
Doo
1
1
2
3
1
2
2
ab
20)
3
C
B
D
A
E
F
H
Z
4
12 C0H
12 C0HV
Non LABILE
Baricentro e Momenti Statici
(G - O) = \[ \frac{\int_{\Omega} (P - O) \, dA}{A} \]
A = \[ \int_{\Omega} dA \]
(G - C) = \[ \frac{\Sigma_{i}^{1} (P_{i} - O) \, A_{i}}{A} \]
con A = \[ \Sigma_{i}^{1} A_{i} \] per un sistema discreto
- Distribuzione continua
- Distribuzione discreta
G rappresenta il punto in cui il momento è nullo
Il corpo rimane in equilibrio nella posizione in cui si trova
\[ M_{C} = \int_{\Omega} (P - G) \times g(P) \, dA e = 0 \] per \(\forall e\)
- xG = \[ \frac{\int_{\Omega} x \, dA}{A} \] = \[ \frac{S_{y}}{A} \]
- yG = \[ \frac{\int_{\Omega} y \, dA}{A} \] = \[ \frac{S_{x}}{A} \]
Sy = \[ \int_{\Omega} x \, dA \] -> momento statico della sezione \(\Omega\) lungo y
Sx = \[ \int_{\Omega} y \, dA \]
Jxx' = Jxxcos2α + Jyysin2α - 2Jxycosα sinα
Jyy' = Jxxsin2α + Jyycos2α + 2Jxycosα sinα
Jxy' = Jxxsinαcosα - Jyysinα cosα + Jxy(cos2α - sin2α)
{
Jxx' = Jxx + Jyy - Jxx - Jyy cos2α - Jxysin2α
2
Jyy' = Jxx + Jyy + Jxx - Jyy cos2α + Jxysin2α
2
Jxy' = Jxx - Jyy sinα + Jxy cos 2α
Jxy': Jxy' |α = α0 = 0
tan (2α0) = -2 Jxy → α0 = 12 arc tg -2 Jxy
__________
Jxx - Jyy
ass. principali di inerzia d' una sezione considerata → Jxy = 0
α1 = d Jxx'| (α = α1) = 0
____
dα
α2 = d Jyy'| (α = α2) = 0
____
dα
α1 = α2 = αc
→ legge assi principali d' inerzia viene massimizato il momento d'inerzia assiale
Jpo = ∫R2 r2 dA = ∫R2 α2(P) dA = ∫02π ∫0r ρ2 ρ dρ dΘ
dA = ρ dΘ dρ
α(P)2 = ρ2
ρ ∈ (0, r), Θ ∈ (0, 2π)
= ∫02π ∫0r ρ3 dρ dΘ = ∫02π ρ4 / 4 dΘ
= ∫02π r4 / 4 dΘ = π r4 / 4 2π = π r4 / 2
Jpo = π α4 / 32
momento d'inerzia polare per una superficie circolare
Jpo = Jxx + ⎯Jyy = >
Jxx = ⎯Jyy = π α4 / 64
Sono assi di simmetria
3)
Jpc = Jpo - I' Jpo - Jpi
de di de
= - π / 32 (de4 - di4)
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
