Controlli Automatici - temi d'esame 2019 risolti, prof Carlo Rossi

Controlli Automatici M

Scritto del 10 gennaio 2019 — Testo 1

Lo studente deve consegnare tutti i fogli compilati con nome, cognome e numero di matricola, inclusi i fogli utilizzati per eventuali calcoli. La prova si intende superata con un punteggio maggiore o uguale a 18 punti. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi. Punteggi maggiori o uguali a 32 equivalgono alla lode. La durata della prova è di 2 ore e 30 minuti.

Esercizio 1

(punti 6)Per sistema lineare con funzione di trasferimento \(G(s) = \frac{10}{s^2+4s+16}\):a) si calcoli la risposta a regime quando in ingresso viene applicato il segnale \(u(t) = 0\) per \(t < 0\) e \(u(t) = 1 + \sin (3t + \pi/4)\) per \(t \geq 0\);b) si dica qual è il tempo di assestamento e la sovraelongazione della risposta a gradino;c) si dia una stima della banda passante del sistema.

Esercizio 2

(punti 6)Dato un sistema in retroazione unitaria con funzione di anello\(L(s) = k \frac{s+4}{(s+2)(s^2+1)}\)a) si tracci il luogo delle radici al variare del parametro k ≥ 0, identificando il punto di diramazione degli asintoti ed il baricentro del luogo, e si dica per quali valori di k il sistema è stabile;b) si progetti un regolatore R(s), in maniera tale che il sistema in retroazione sia stabile ∀k > 0. Si tracci il luogo delle radici della nuova funzione di anello \(L'(s) = R(s)L(s)\). Il regolatore individuato è una rete correttrice, e se sì di quale tipo?

Esercizio 3

(punti 4)Si traccino i diagrammi asintotici dei termini elementari ed il diagramma di Bode complessivo della funzione di trasferimento\(G(s) = 500 \frac{(s+1)(s+0.1)}{s^2(s+10)}\)

Esercizio 4

(punti 8)Per un sistema con funzione di trasferimento \(G(s) = 10 \frac{s+5}{(s+1)^2(s+10)}\) si vuole progettare un controllore in retroazione C di minima complessità in maniera che il sistema in retroazione soddisfi le seguenti specifiche:- errore a regime nullo nella risposta a gradino;- frequenza di attraversamento della funzione di anello pari a 10 rad/s;- margine di fase maggiore o uguale di 60°;

Esercizio 5

(punti 8)Si consideri un sistema non lineare descritto dalla equazione differenziale\(\ddot{\theta}(t) = \sin \theta(t)-k_e \theta(t)-h \dot{\theta}(t)+u(t)\)e si assuma l’ingresso u(t) = 0.a) Come si trovano i punti di equilibrio del sistema? Come è possibile stabilire se sono stabili?b) Il punto di equilibrio in \(\theta_e = 0\) è stabile o instabile?c) Si determini il numero dei punti di equilibrio al variare del parametro ke, e si dica quali di essi sono punti di equilibrio stabili e quali sono instabili.

Esercizio 6

(punti 4)Si consideri un sistema con anello uno zero a parte reale positiva (sistema a fase non-minima). Che cosa caratterizza la risposta a gradino di questo tipo di sistema? Quale tipo di limitazione uno zero a parte reale positiva introduce nel progetto di un sistema di controllo in retroazione? (Suggerimento: si pensi al luogo delle radici corrispondente). Si tracci l’andamento della risposta al gradino del sistema con Funzione di trasferimento\(G(s) = \frac{1-s}{(s+1)(10s+1)}\).

Esercizio 1 Risposta a Regime

\( x(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\1 + \sin \left(3t + \frac{\pi}{4}\right) & t \ge 0 \end{cases} \)

a) Risposta a Regime

Sistema lineare con G(s) asintoticamente stabile e segnale di ingresso sinusoidale

Posso applicare th del regime permanente

\(y(t) = X |G(j\omega)| \sin(\omega t + \varphi + \arg(G(j\omega)))\)

• \(x = 1\)
• \(w = 3\)
• \(\varphi = \frac{\pi}{4}\)

\(|G(j3)| = 0,475\)

\(\arg(G(j3)) = -87,3^\circ\)

\(y(t) = 0,975 \sin (3t + \frac{\pi}{4} - 87,3^\circ)\)

\(y(t) = 0,475 \sin (3t - 42,30^\circ) + q.e.

Aggiungo la risposta al gradino per sovrapposizionedegli effetti

b) Determinazione tempo di assestamento e sovraelongazione

Abbiamo un sistema del 2° ordine con 2 poli reali, distinti e pari a zeta\

Quindi non si ha sovraelongazione poiché il sistematende al valore di regime senza mai superarlo

• Ta,5% = 3T = 3 \times 0,5 = 1,5 s

c) Stima della banda passante

\( G(s) = \frac{1} {( \frac{\zeta}{4} ) ( \frac{\zeta}{2} )} \)

Dal diagramma di Bode è immediato capire che ilsistema si comporta come un filtro passa bassofino a \(\omega_R = 2 rad/s\)

ESERCIZIO 4 PROGETTO REGOLATORE

G(s) = 5 x ^{s + 1}/_{s(s² + 0,5s + 4)}ω_c = 10 rad/s M_g ≥ 60°SPECIFICHE

Valutazione sommarica G = 5 x ^{s + 1}/_{s(s²(0,1s + 4))}

ω₁ = 1 ω₂ = 1/0,1 = 10

arg G(jωc) = tan^-1(0,2ω_c) - 2tan^-1(ω_c) - tan^-1(0,1ω_c) = -150,14°

Mf = 180° + arg G(jωc) = 29,86° < 60°

Siccome senza ω_c => 0 dobbiamo predisporre un polo nell'origine → PID Inoltre siccome M_g^v < M_g ^s serve una rete di anticipo Avendo preso Ti=1 per cancellazione del polo a frequenza inferiore

PI = k_p(T_ss + 1)/T_is = (s + 1)/s k_p

arg PI(jωc) = arctan(ω_c) - 90° = -57,1

ϕ_a = M_k-M_g ^tot = arg PI(jωc) = 35,86 < 80 RECUPERABILE

α = (1 - sin(ϕ_a))/(1 + sin(ϕ_a)) = 0,261 τ_c = 1/(ω_c√α) = 0,496

RA = τ_ss + 1/ατ_ss + 1

D(z) = PI x RA = k_p(s + 1)/s x ^{0,496s + 1}/_{0,05s + 1}

ESERCIZIO 1 FUNZIONI DI SENSITIVITÀ

22/11/2019

G(s) = ⁹/_s+4

R(s) = ¹/₅

a) Calcolare la funzione di sensibilità

L(s) = R(s)G(s) = ⁹/_5(s+4)

S(s) = ¹/_1+L(s) = ¹/_{1 + ⁹/5(s+4)} = ^s(s+4)/_s(s+4)+9 = ^s(s+4)/_s²+5s+9

F(s) = ⁹/_s(s+4)+9 = ⁹/_s²+5s+9

Q(s) = ^R(s)/_1+L(s) = ^{(1/₅) (s(s+4))}/_s²+5s+9 = ^s+4/_s²+5s+9

b) Risposta a regime quando H(t)=1 e d(t)=sin(3t)

d(t)=sin(3t) x=1 ω=3 φ=0

Studi la funzione di sensibilità

|S(3j)| = ^√10 S(3j) = 1+3*j |S(3j)| = ∠arg S(3j) = 79,5°

y_e(t) = |S(jω)| sin(3t + arg S(jω)) = √10 sin(3t - 79,5°) + ¹/₅

Risposta al gradino più sovrapposizione 2 effetti

c) F(s) = ⁹/_s²+5s+9 = ³²/_s²+6ds+3² → δ = ¹/₆ → τ_asso = ³/_dum = ³/_(¹/6)3 = 6s

S% = 58,8%

d) Margine di fase e ampiezza

|L(jω)|_F=1 = ⁹/_{√ω² (√uc²+1)} ≤ 1 → 81= ω_c²(u_c²+1)

ω_c⁴+ω_c²−81=0 ω_c=±2,91

arg L(jω_c)=−90°−t^an−1 =−169°

M_f = 180°−169°= 11°

Esercizio 4: Stabilità e Linearizzazione

_{ẍ(t) = -4x²(t) + 2x(t) - RΘ(t) + u²(t) + u(t)}

1. Calcolare punti di equilibrio per μ(t) = 0

All'equilibrio costanti → Derivate Nulle

b) x_eq = 0

0 - 4x² + 2x x_eq Punti di equilibrio

Punti (x_e, Θ_e, μ_e) Pe1 = (0, 0, 0) Pe2 = (1/√2, 0, 0) Pe3 = (-1/√2, 0, 0)

b) Fdt del sistema linealizzato e stabilità

δx = f(x_e, Θ_e, μ_e) + ∂f/∂x |_eq δx + ∂f/∂Θ |_eq jΘ + ∂f/∂μ |_eq δu

ḋx = ( -12 x_e² + 2) δx - h jΘ + (3μ_e² + 1) δu

s² x(s) = ( -12 x_e² + 2) x(s) - h_s Θ(s) + μ(s)

x(s) (s² + 12 x_e² - 2) = μ(s) - h_s Θ(s)

P_e2 μ_e = 0 Fdt = h_s / (s² + 12 x_e² - 2)