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Stabilità

Dato:

R(s) = 1+s⁄1+2s   G(s) = 10k (5H)⁄s(s+1)(s+3)2

Con ξ1=0 ξ2=0 per quali k il sistema retroazionato è stabile?

Equazione caratteristica:

1 + 10k (5H)⁄s(s+1)(s+3)2 = 0 → s(s+1)(s+3)2 + 10k (s+1) → uso Routh

  1. Calcolo punti equilibrio con ne≥0 a fronte di ingressi costanti u(t)=3 e r(t)=2

    pe-ne+ue = 0

    • pene=3
    • pe-ne=2
    • ne2+ne-3=0

    ne = -2±√(4±10)⁄2

    ne = -3 non accettabile (ne≥0)

    pe = ne+2 = 3

  2. Calcolo FDT tra r(t) e p(t) del sistema linearizzato nei punti di equilibrio trovati

    δp(t) = -ne δp(t)-pe δn(t)+2 δu(t)

    δn(t) = δp(t)-δn(t)-δr(t)

    Trasformate secondo Laplace:

    P(s) = -1(-pe)N(s)+U(s)⁄s+ne = -3U(s)+U(s)⁄s+1

    N(s) = 1⁄s+1 P(s)-R(s)

    GTpR(s) = -3⁄(5H)2 = -3⁄(s+2)2

    G0n = 1⁄(5H)2 = 1⁄(s+2)2

    Calcolo FDT tra u(t) e n(t)

4) Punto equilibrio stabile? Si, e 2 pdt hanno stessa pol. doppio polo reale negativoil sistema linearizzato e stabile, da cui si puo concludere la stabilita del punto diequilibrio del sistema non linear di partenza.

5) Si consideri il sistema in retro

con D scritto dall'equazione:

ẏ(t) = -y2(t) + y(t) + u(t)

a) Calcolare punti di equilibrio con riferimento re(t)=req costante e verificare cheper req⍷(-9/16, ∞) il sistema non ha punti di equilibrio.

0 = -ye2 + ye + ue

M = 4 guadagno di R(s) = s+4/s+4 => dalla scheda ottengo ue = λ(req-ye)=c1(req-ye)allora:

-ye2 + ye + 4req - 4ye = 0 => -ye2 - 3ye + 4req = 0

ye = 3±√(9+16req)/2

b) Con req = 1 studia la stabilita del sistema in retroazione nell'intorno dei puntidi equilibrio trovati.

lineralizzo:

ẟẏ(t) = (-2ye+1)ẟy + ẟu

caso ye = -4 :

ẟẏ(t) = 9ẟy + ẟu linalizzo Y(s) = 1/s2+9 U(s) => G(s) = 1/s2-9 D(s)

calcolo eq. carateristica:

1 + L(s) = 0 => Δ+ s+4/s+1 1/s2-9 = 0 => (s+4)(s2-9) + s+4 = 0

= s3-9 + s2-9s + s + 4 = 0 => s3 + s2-8s-5 = 0

root:

  • -1 - 8
  • -1 - 5
  • -3 - 2
  • -15 3

1 cambia segno => 1 rende d + re+ del sistema retro instabile

caso ye = 1

D(s)= 1/s2+4

D(s)= B(s)R(s) 1/s2+4 s+4/s+4 = 0=> (s+2⍷(1+s1 + s4) = 0 s3 + 5s2 + 2s + 5 = 0

root:

  • 1; 2 onda;1
  • -3 - 3 +4

1 cambia segno => 2 renda re+ de sistema retro instabile

k=caso 1:

D(s)+kN(s)=k.kcu.(sI)+s s1s2s3=s3+s2+s(1+kku(s))+skkk

ROOTU

1   1

1+k-ku   1+k-ku

1   5-kk-ku

(1) -1(skku-1-kkcu)   PUNTO (1)>0

-skku,1+kkcu

c) è POSSIBILE OTtenere UNa STAbilitA del pe con ζe=-1 se R(s) e un pID autuChe un pi

Ra(s): s-z/s-p   2n=1/2(1-2+5+p-z)<0→p-z<-4   p-./-3

Ra(s)= 5+2/5+3

Ra(s) è quindi UNa rete DI antiCipo e Quindi il regoLAtore COMPRESSIVO è UN pID.

(2) DATO:

  1. xi=-x33+x1 x22
  2. x2=-x2+ x1 x2

studIA StabilitA origine.

Lyapunov:

V(x1,x2)= 1/2 (x12+x22) → D.P. ∀ x1,x2

V̇ (x1,x2)= x1 x14+x12 x2 - x22-=x14-x22-x12-x22=-2 x14-2 x24 D.N. ∀ x1,x2

PUNTO EQUIlibrio a.s. (origine) GLOBALMeNTE.

(3) DATO:

  1. xi= -x32 x1 x2
  2. x2= -x2+0

TROvARe V(x1 x2) che RenDA STAbilicE L’origine

V(x1,x2)= 1/2 (x12+x22) D.P. ∀ x1,x2

V̇(x1,x2)= x1 x12 x

Dettagli
Publisher
zyzzthekingo
A.A. 2021-2022
52 pagine
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SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-INF/04 Automatica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher zyzzthekingo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controlli automatici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Bologna o del prof Rossi Carlo.