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Ingegneria Elettrica

Controlli Automatici

Seconda prova di verifica del 28/05/2020 - Gruppo 1

Esercizio

Si traccino le approssimazioni asintotiche del diagramma di Bode della funzione di trasferimento

G(s) = (-190(s + 8)k) / ((s - 1)(s² + 32s + 40))

utilizzando il valore k = 1.

Se possibile, evidenziare sul grafico e valutare:

• la pulsazione di attraversamento del guadagno ω_g;
• la pulsazione di attraversamento della fase ω_p;
• il margine di fase MF;
• il margine di guadagno MG₀ in dB, valutando successivamente il corrispondente valore di MG.

Si disegni il diagramma polare di G(jω) con k > 0. A tal fine, senza calcolare la parte reale e la parte immaginaria di

G(jω), si tengano presente i comportamenti asintotici del modulo |G(jω)| e della fase ∠G(jω) e l'andamento

generale dei diagrammi di Bode di ampiezze e fasi.

Quindi si analizzi la stabilità del sistema a ciclo chiuso con il criterio di Nyquist al variare di k nel campo dei numeri

reali positivi o negativi, specificando in caso di instabilità il numero di poli “instabili” (a parte reale positiva).

Quiz a risposta multipla: 10 domande

Ogni domanda ammette una sola risposta esatta.

Rispondere barrando con una crocetta X la relativa casella – cioè con ☒.

In alternativa indicare sul foglio del compito la domanda e la lettera associata per la risposta ritenuta corretta.

Esempio: Domanda 1: A, Domanda 2: B, Domanda 3: C, ecc.

Per correggere una risposta errata, annerire la casella errata – con ■ – e barrare con X quella corretta.

Alla stessa maniera correggere sul foglio.

Esempio (correzione della risposta alla prima domanda): Domanda 1: ■ B.

1. Il tipo di un sistema di controllo è:

• A ▢ il numero di poli nell'origine che presenta la funzione di trasferimento del ramo diretto
• B ▢ il numero di poli nell'origine che presenta la funzione di trasferimento utile al calcolo della costante di errore
• C ▢ il numero di poli nell'origine che presenta la funzione di trasferimento del guadagno di anello

2. L'errore a regime permanente in risposta ad un riferimento a gradino è nullo:

• A ▢ Se la funzione di trasferimento del ramo diretto è di ordine 1
• B ▢ Se la funzione di trasferimento del sistema retroazionato è di tipo 1
• C ▢ Se la funzione di trasferimento per il calcolo della costante di errore è di tipo 1
• D ▢ Se la funzione di trasferimento per il calcolo della costante di errore è di tipo 0

3. L'effetto di disturbi a gradino sul ramo diretto di un sistema di controllo:

• A ▢ È sempre nullo a regime permanente
• B ▢ È nullo a regime permanente se non è presente un'azione integrale a monte dei disturbi
• C ▢ È nullo a regime permanente se è presente un'azione integrale a monte dei disturbi
• D ▢ È nullo a regime permanente se non è presente un'azione integrale a valle dei disturbi

4. Un sistema, sollecitato da un segnale sinusoidale, all'equilibrio presenta una risposta sinusoidale:

• A ▢ Se il sistema è lineare, stazionario e stabile
• B ▢ Se il sistema è lineare, stazionario e non presenta poli nell'origine
• C ▢ Se il sistema è lineare, stazionario e non presenta poli sull'asse immaginario
• D ▢ Se il sistema è lineare, stazionario e presenta poli a parte reale negativa

5. Un sistema con due poli in -1e -10, sollecitato da un ingresso sinusoidale con frequenza angolare ω_u = 100 rad/s:

• A ▢ risponde dopo circa 5 secondi con una sinusoide con la stessa frequenza angolare
• B ▢ risponde dopo circa 50 secondi con una sinusoide con la stessa frequenza angolare
• C ▢ risponde con una sinusoide con frequenza angolare pari a ω_u = 10 · 100 = 1000 rad/s
• D ▢ risponde con una sinusoide con frequenza angolare pari a ω_u = 2 · 100 = 200 rad/s

6. Il picco di risonanza di un sistema del secondo ordine con pulsazione naturale ω_n e fattore di smorzamento ζ = 0.8:

• A ▢ È definito in una pulsazione di risonanza ω_r > ω_n
• B ▢ È definito in una pulsazione di risonanza ω_r < ω_n
• C ▢ È definito in una pulsazione di risonanza ω_r ≈ ω_n
• D ▢ È indipendente da ζ

7. Il ritardo massimo tollerabile in un anello di controllo:

• A ▢ È legato al margine di fase
• B ▢ È legato al margine di guadagno
• C ▢ È indipendente dal margine di fase e dal margine di guadagno

8. Un sistema modellato da una funzione di trasferimento G(s) a fase non minima:

• A ▢ È caratterizzato da zeri nel semipiano sinistro
• B ▢ È tale che il sistema a ciclo chiuso ottenuto chiudendo G(s) in retroazione presenta un diagramma di Bode a fase non minima
• C ▢ determina sicuramente instabilità del sistema a ciclo chiuso ottenuto chiudendo G(s) in retroazione
• D ▢ può determinare instabilità del sistema a ciclo chiuso ottenuto chiudendo G(s) in retroazione

9. Il criterio di Nyquist:

• A ▢ Si può applicare solo a sistemi stabili in anello aperto
• B ▢ Si può applicare anche a sistemi instabili in anello aperto
• C ▢ Si può applicare solo a sistemi instabili in anello aperto
• D ▢ Si può applicare a volte a sistemi instabili in anello aperto

10. I regolatori PI portanti con il metodo dell'ottimo simmetrico:

• A ▢ determinano una funzione di anello con un diagramma di Bode simmetrico rispetto alla pulsazione di crossover del guadagno
• B ▢ determinano una funzione di anello con un diagramma di Bode simmetrico rispetto alla pulsazione di crossover della fase
• C ▢ determinano una funzione di anello con il solo diagramma di Bode delle ampiezze simmetrico rispetto alla pulsazione di crossover
• D ▢ determinano una funzione di anello con il solo diagramma di Bode delle fasi simmetrico rispetto alla pulsazione di crossover

ω_c = 2 rad/s

-20 db/decade

±π/2 + 20db/decade

-π

-1

0

0,1

0

1

2

10

80

200

Il sistema come dicevamo delle

risposte impreciso el gradino è

non limitato in ampiezza essendo

il gradino un ingresso limitato in

ampiezza possiamo dire che il

allora che

il sistema BIBO instabile, poichè

che allora posso BIBO instabile possiamo

fa che guardare la G(s) in quanto

che tale a parte reale nulla

s = -9

s = j4

s = -j4

s = 0

s = 13/2

s = j4

1 mm

g(t) = [2t e^-3t + e^-3t cos(6t)] [

g(s) = ¹⁰⁄_{(s+2)²(s²+4)} = (s+2)²(s²+4)

= ¹⁰⁄_{(s+2)² (s²+4)}

Y_λ(s) = ¹⁶⁄_{s(s+2)²(s²+4)} = ^K1λ⁄_s + ^k21⁄_(s+2)² + ^K22⁄_s+2 + ^αs⁄_s²+4 + ^β⁄_s²+4

k_1λ = lim_s->0 [Y_λ(s) ⋅ s] =   ¹⁄_s |

k₂₁ = lim_s->2 [(s+2)² Y_λ(s)] | =

= ¹⁶⁄_-16 = -1

Y₂₁ = Y₁ - ^k1⁄_(s+2)² = ^16-82-4s-⁄_{s(s+2)(s²+4)} = ^-⁄_{s(s+2)(s²+4)}

k22 lim_s->2 [Y₂₁ (s+2)]

=