Calcolo differenziale Integrale -Appunti

ESEMPI:

Serie Geometrica: Sia a = con q . Se q , utilizzando la formula della progressione geometrica, si ha

n . Se q=1 abbiamo che s =n+1. Prendendo il limite per n+ si ha

n

| | ∑

{ {

. Per cui la serie .

∑ ∑

Serie Armonica: è data da . Serie di Mengoli; dove

Convergenza assoluta: Stabiliamo un criterio di convergenza per serie i cui termini non siano sottoposti a restrizioni di

∑

segno. Poniamo la seguente definizione. Diremo che una serie converge assolutamente se converge la serie dei

∑ | |

moduli dei suoi termini cioè se . Vale il seguente criterio: Una serie convergente assolutamente è

convergente. Per il teorema sull’esistenza del limite di una successione

Criteri di convergenza per serie a termini non negativi:

monotona, esiste il tale che n . Questo limite è finito oppure + infinito se la successione è

limitata oppure no. Esistono più criteri di convergenza:

∑ ∑

Criterio del confronto : Siano due serie a termini non negativi tali che per ogni n si ha .

Valgono allora le seguenti implicazioni:

∑ ∑ ∑ ∑

1) Se è convergente allora anche lo è, e vale .

∑ ∑

2) Se invece diverge positivamente allora anche divergerà.

∑ ∑ ∑

La serie è detta maggiorante, la serie è detta minorante. Dimostrazione. Siano e

∑ la successione delle ridotte k-esime delle due serie. Si ha chiaramente per ogni k N. Inoltre



sappiamo che le due successioni ammettono limite per k 0 e che per confronto . Se

dunque , anche R ed il punto (1) è dimostrato. Se invece , anche

, ed il punto (2) è così dimostrato.

Criterio del confronto asintotico: Se le due successioni a termini positivi { } e { } sono asintotiche, quindi

∑ ∑

, allora le corrispondenti serie hanno lo stesso carattere, ossia o sono entrambe

1

convergenti o entrambe divergenti. Dimostrazione: Dire che per n significa che per

. Ciò significa che per ogni ε>0 si ha

n , ossia . Per il teorema

∑ ∑

del confronto, la prima delle 2 disuguaglianze, implica che se converge, convergerà anche , mentre la seconda

∑ ∑

disuguaglianza implica che se diverge anche , diverge. Quindi le due serie hanno lo stesso carattere.

∑ √

Criterio della radice: Sia una serie a termini non negativi. Se esiste il , se l >1 la serie diverge, l

<1 la serie converge, se l =1 nulla si può concludere. Dimostrazione: GUARDARE PAG 237-238

∑

Criterio del rapporto: Sia una serie a termini positivi. Se esiste il , se l >1 la serie diverge, l <1 la

serie converge, se l =1 nulla si può concludere. Dimostrazione: GUARDARE PAG 238

Serie Taylor e di McLaurin per alcune funzioni elementari: Con le premesse precedenti si può ora vedere se data una

funzione derivabile, esiste un polinomio che nell’intorno di un punto fissato, approssima la funzione meglio della sua

…….

retta tangente. Sia una funzione definita insieme alle sue n derivate successive , in

ogni punto dell’intervallo si ha

che è la formula di Taylor. L’ultimo termine è l’unico non noto perché non si conosce

con ,

0.

ma a condizione che sia limitata nell’intervallo Quest’ultimo termine si

, per n

chiama resto secondo Lagrange. La serie di Taylor per la funzione f centrata in si può anche scrivere

∑ 0

. Se si ha la serie di McLaurin. Se accade che per ogni x di un intervallo I diremmo

che la funzione f(x) è sviluppabile in serie di Taylor nell’intervallo I.

Serie Taylor e di McLaurin per alcune funzioni elementari sono:

1) Serie esponenziali 2) Serie delle funzioni trigonometriche elementari 3) Serie di potenze p 246-247-

248

Cenni su successioni e serie di funzioni: Supponiamo che in un intervallo I contenuto in R siano definite le funzioni fn

che vanno da I a R. Per ogni x I, si può considerare la successione di numeri reali { } con n che va da 1 a infinito.

∑

A partire dalla successione si può considerare la serie di funzioni che per ciascun x I fissato può essere

∑

convergente, divergente o irregolare. Questo si esprime dicendo che la serie di funzioni convergente,

⊆

divergente o irregolare in un certo punto x I. Se la serie converge in tutti i punti di un intervallo I* I , la somma della

∑

serie è una nuova funzione f definita in I*. esempi di serie di funzioni sono: la serie geometrica con -

∑ ∑

1<x<1; la serie esponenziale per ogni x R; serie della forma dove le funzioni hanno la

forma e perciò si chiamano serie di potenze.

ESERCIZI e RISOLUZIONE IN SINTESI (Tramite esempi di compiti)

1°ES x n x

Scala infiniti: log n<n <x <n!< e per n∞.

a

=…. Dimostrare l’esist del limite…:

1) a Definizione: Data una successione numerica an ||(limite di f(x) che tende al

n lim ε>0, v(ε)>0 |an-

limite l per x->infinito) si dice che essa ha per limite il numero L, per n∞: an|||f(x)=l quando

∞

x



l|<ε ε>0, soddisfatta per

n>v |||| N>0 tale che |f(x)-l|<ε |x|>N. Sfruttando quindi la definizione si calcola il limite

fissando un numero ε>0 arbitrario.

lim an|||f(x). Si dimostra che la successione an ha per limite (valore del limite -7/5),

∞

x

 |<ε. Si dimostra che essa risulta soddisfatta per n> v. Quindi |an+7/5|<ε. Siccome n>=1

Si ha quindi |an-valore limite

possiamo scrivere che n>2/ε (esempio). Posto quindi v=2/ε la successione per cui |an+7/5|<ε è soddisfatta per ogni n>v.

an…:

2) Cerchiamo di mettere in evidenza al num e denom la potenza maggiore con le proprietà delle potenze.

lim….. Determinare l’ordine superiore con il teorema delle funzioni continue.

3) : risolvere il limite.

2°ES ⊆R

la definizione di derivata…:

1)Scrivere Definizione: Sia f(x) una funzione tale che I e sia x I, f si dice derivabile in

Scrivere la funzione f(x)…. e

x0 se esiste ed è finito il limite: (lim del rapp incrementale).

x0=… .Scriviamo l’eq della retta tangente al grafico di f nel punto (x0,f(x0)) ’ (x0)(x-x0).

di eq y-f(x0)=f Si valuta la

funzione nel punto x0=… Calcoliamo la derivata della f(x)… Valutiamo la derivata prima nel punto x0=… Si

sostituiscono i valori.

Scrivere la definizione della continuità….:

2) Definizione: Si dice funzione continua in un punto x0 se esistono i limiti

per x0 da destra e sinistra e sono uguali. La funzione è derivabile in x0 se il limite del rapporto incrementale destro e

sinistro esistono, sono finiti e uguali. L’eq della retta tangente a f(x) ci dà info sul coefficiente angolare della retta

tangente al punto. Risolvere la derivata di f(x)per entrambe le funzioni. Si studia il lim dx della prima e sx della seconda

di x0. Dopo aver verificato che è continua, si calcola f ‘ (0) per entrambe. Sostituire i dati all’eq.

3°ES Per poter disegnare il grafico della funzione f(x)=.. ci servono alcune info estendere l’intervallo a 2π. E’

1) Fourier:

periodica se f(x+2π)=f(x) Calcolare f(es. 2013π/4) andando a sostituire e notando se appartiene

x e pari se f(x)=f(-x).

all’intervallo o no. Trovo la serie di Fourier: f(x) è una funzione pari, quindi sarà pari il prodotto e dispari il

∫ ∫ ∫

prodotto . Sistema con , .

Se si integra nell’intervallo [0, π]. Per ottenere l’intervallo si sostituisce a f(x) i valori dell’intervallo di 2 π .

[ ]

∫ ∫ ∫ ∫

. a = k pari(sostituire k=2), k

∑

dispari(sostituire k=1). La serie di Fourier è . sostituisco il valore ottenuto per k

dispari ad ak e lo moltiplico per cos(kx). Nella formula poi a tutti i k sostituisco 2k-1 e risolvo. 2) Serie..: Si applica il

della serie sarà ƿ=1/elle.

criterio del rapporto usando la formula allora il raggio di convergenza Andiamo

a svolgere e troviamo rò. Il raggio di convergenza è l’area della retta intorno al quale la funzione inizia la sua

Troviamo ora l’insieme di tutte le x tali

convergenza. Il centro del raggio è il punto di convergenza. che la serie converge.

| |

Essa di sicuro converge per . Risolta la diseq, studiamo la convergenza della serie negli estremi

∑

dell’intervallo. Scrivere la serie sostituendo x=intervallo. Se la serie è del tipo è divergente (serie armonica), se è

∑ converge per il criterio di Leibniz.

= 1) La prima è una eq differenziale lineare di primo ordine. La soluzione generale dell’eq y’=a(x)y+b(x) è data da

4°ES ∫ ∫

∫ ∫

y(x) = . Sostituendo si ricava: a=.. b=.. Si risolve Si trovano le radici con

il delta e si pone l’integrale = minimo comune multiplo per il 2° membro e poi si mette evidenza

poi sistema di A+B=0 e -7A+B=0, si trovano i valori e si sostituiscono ad A e B in . 2) La seconda è una eq

differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti (cioè omogenea). 3 tipi: se Δ>0 y(x)= (2sol

reali e distinte) se Δ=0 y(x)= se Δ<0 y(x)=

(2sol reali e coincidenti)

….per esempio per α=-2 β=2 (2radici complesse).

-2+/-2i 2

5°ES =Derivata Direzionale: Definizione: Sia A un aperto di R e sia la funzione f:AR. La derivata direzionale di f nel

punto P(x,y) A. La derivata parziale di f rispetto a x in P è se esiste ed è finito., di y

2

.||| Differenziabilità: Sia A un aperto di R e sia la funzione f:AR. Si dice che f + differenziabile

nel punto P(x0,y0) A se: f è derivabile in (x,y), cioè se esistono le derivate parziali e se vale la relazione Dvf(x0,y0)=

. ||| GRADIENTE: Calcolo le derivate parziali fx e fy.

| |

Per calcolare la derivata direzionale nella direzione di un qualsiasi versore v(v1,v2) nel punto è dato da: Dvf =

(fx,fy)*(v1,v2). Ricavo l’eq del piano tangente: z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0). Calcolo i max e min, che

Per determinarli si studia l’hessiano della

sono quei punti che annullano le derivate. Fare sistema e trovo punto P(x,y).

funzione e si calcola il det (se<0 è punto di sella, se >0 e fxx<0 è max rel, se >0 e fxx>0 è min rel, se =0 è indefinito). Per

trovare i punti di min e max assoluti, si trasforma la funzione come somma di 2 quadrati. { ∫

Sia a(x,y)dx+b(x,y)dy una forma differenziale in R^2 e sia ƴ:[a,b]R^2

6°ES = una curva , allora

( ) ( )

∫ . W esatto in R^2 si trova con la formula generale dell’eq differenziale

w=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Una forma differenziale si dice esatta se &egr