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Calcolo differenziale Integrale -Appunti

Appunti di Calcolo differenziale integrale per l’esame del professor Gramtchev. Gli argomenti trattati sono i seguenti: serie numeriche: definizioni(somma parziale, convergenza), convergenza assoluta, criteri di convergenza per serie a termini non negativi.

Esame di Calcolo Differenziale Integrale docente Prof. T. Gramtchev

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Calcolo differenziale Integrale

Risoluzione degli esercizi

Serie numeriche: definizioni(somma parziale, convergenza) ∑ . Costruiamo un’altra successione {s

Data una successione di numeri reali {a } si chiama serie dei termini a }

n n n

definita da . Il numero s si chiama somma parziale

n

∑ ∑

ennesima della serie . Le somme parziali si possono esprimere: per n che va da 0 a infinito.

Si dice che la serie è convergente se la successione {s } delle sue somme parziali è convergente. In particolare

n ∑

s

se {s } è convergente, con s si dice che s è la somma delle serie e si scrive . In questo caso

n n

∑ ∑ .

Condizione necessaria per la convergenza

∑ s

Supponiamo che la serie sia convergente e che s sia la sua somma. Ciò significa che s di conseguenza si ha

n

. Per cui la condizione necessaria affinchè una serie converga e che il termine

generale a tenda a 0. Supponiamo che sia convergente, allora per ogni n risulta convergente anche la serie

n

∑ 0

, che si chiama resto della serie di partenza. per n ossia il resto di una serie convergente è

infinitesimo.

ESEMPI:

Serie Geometrica: Sia a = con q . Se q , utilizzando la formula della progressione geometrica, si ha

n . Se q=1 abbiamo che s =n+1. Prendendo il limite per n+ si ha

n

| | ∑

{ {

. Per cui la serie .

∑ ∑

Serie Armonica: è data da . Serie di Mengoli; dove

Convergenza assoluta: Stabiliamo un criterio di convergenza per serie i cui termini non siano sottoposti a restrizioni di

segno. Poniamo la seguente definizione. Diremo che una serie converge assolutamente se converge la serie dei

∑ | |

moduli dei suoi termini cioè se . Vale il seguente criterio: Una serie convergente assolutamente è

convergente. Per il teorema sull’esistenza del limite di una successione

Criteri di convergenza per serie a termini non negativi:

monotona, esiste il tale che n . Questo limite è finito oppure + infinito se la successione è

limitata oppure no. Esistono più criteri di convergenza:

∑ ∑

Criterio del confronto : Siano due serie a termini non negativi tali che per ogni n si ha .

Valgono allora le seguenti implicazioni:

∑ ∑ ∑ ∑

1) Se è convergente allora anche lo è, e vale .

∑ ∑

2) Se invece diverge positivamente allora anche divergerà.

∑ ∑ ∑

La serie è detta maggiorante, la serie è detta minorante. Dimostrazione. Siano e

∑ la successione delle ridotte k-esime delle due serie. Si ha chiaramente per ogni k N. Inoltre

sappiamo che le due successioni ammettono limite per k 0 e che per confronto . Se

dunque , anche R ed il punto (1) è dimostrato. Se invece , anche

, ed il punto (2) è così dimostrato.

Criterio del confronto asintotico: Se le due successioni a termini positivi { } e { } sono asintotiche, quindi

∑ ∑

, allora le corrispondenti serie hanno lo stesso carattere, ossia o sono entrambe

1

convergenti o entrambe divergenti. Dimostrazione: Dire che per n significa che per

. Ciò significa che per ogni ε>0 si ha

n , ossia . Per il teorema

∑ ∑

del confronto, la prima delle 2 disuguaglianze, implica che se converge, convergerà anche , mentre la seconda

∑ ∑

disuguaglianza implica che se diverge anche , diverge. Quindi le due serie hanno lo stesso carattere.

∑ √

Criterio della radice: Sia una serie a termini non negativi. Se esiste il , se l >1 la serie diverge, l

<1 la serie converge, se l =1 nulla si può concludere. Dimostrazione: GUARDARE PAG 237-238

Criterio del rapporto: Sia una serie a termini positivi. Se esiste il , se l >1 la serie diverge, l <1 la

serie converge, se l =1 nulla si può concludere. Dimostrazione: GUARDARE PAG 238

Serie Taylor e di McLaurin per alcune funzioni elementari: Con le premesse precedenti si può ora vedere se data una

funzione derivabile, esiste un polinomio che nell’intorno di un punto fissato, approssima la funzione meglio della sua


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AUTORE

jiustin

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in informatica (CAGLIARI)
SSD:
Università: Cagliari - Unica
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher jiustin di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Calcolo Differenziale Integrale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Cagliari - Unica o del prof Gramtchev Todor.

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